換個方位去思考——運用整體化思想解題

這是2010年山西省的一道中考試題：如圖1，直線y=kx+b交坐標軸于A（-3，0）、B（0，5）兩點，則不等式

-kx-b＜0的解集為（ ）

A.x＞-3B.x＜-3

C.x＞3D.x＞3

剖析：由于直線y=kx+b過點A（-3，0）、B（0，5），可待定系數k、b，再解一元一次不等式-kx-b＜0，這是同學們通常都會采用的一種解法，解題過程也不復雜.但如果我們換個角度來思考，撇開求k、b的具體過程，也不求出具體的數值，而是從整體考慮，由于y=kx+b，所以不等式-kx-b＜0，即-y＜0，故y＞0，形數結合，由圖象可知，解得x＞-3.兩種解法的優劣不言而喻，這正是整體化思想解題的魅力.下面我們再舉幾個例子.

例1（2010年寧波市中考試題）若x+y=3，xy=1，則x2+y2= .

剖析：由已知條件解方程組，求出x、y，再代入計算，似乎很簡單，但求出的x、y是無理數，計算較麻煩.如把x+y、xy當成兩個新的數，由熟知的恒等變形公式x2+y2=（x+y）2-2xy，整體代入計算，得x2+y2=32-2×1=7.

例2（2010年南通市中考試題）設x1、x2是一元二次方程x2+4x-3=0的兩個根，2x1（x■■+5x2-3）+a=2，則a=.

剖析：如果通過解方程求出x1、x2，也會遇到與例1相似的困境.如果揭示題中的隱含條件，由x2是方程x2+4x-3=0的根，得x■■+4x2-3=0，整體代入，這樣x■■+5x2-3=x■■+4x2-3+x2=x2，已知條件轉化為2x1x2+a=2，而x1·x2

=-3，所以a=2+6=8.

例3（2010年杭州市中考試題）已知直四棱柱的底面是邊長為a的正方形，高為h，體積為V，表面積等于S.（1）略.（2）當V=12，S=32時，求■+■的值.

剖析：由題意得a2h=12；4ah+2a2=32，即（2h+a）a=16，通過解方程組，求出a、h的難度很大，不信，你去試一試.

轉換一下思考的方向，我們要求的是代數式■+■的值，又■+■

=■，可有意識地尋找求值代數式與已知條件的整體聯系，發現■

=■.整體代入，得原式=■=■.或者利用2h

+a=■，ah=■，整體代入，原式=■=■.

例4（2010年武漢市中考試題）如圖2，直線y=-x+b與y軸交于點A，與雙曲線y=-■x+b在第一象限交于B、C兩點，且AB·AC=4，則k=.

剖析：尋求k與AB·AC=4之間的聯系是解題的關鍵，直線y=-■x+b與y軸交于點A，得A（0，b）.設直線交x軸于點D，則D（■b，0），所以∠ADO=30°，作BE⊥y軸于點E，CF⊥y軸于點F，由■=cos30°，得BE

=■AB，即xB=■AB，同時xC=■AC，推出■AB·AC=xB·xC，由于AB·AC=4，得xB·xC=3.將已知條件整體轉化為xB·xC=3，即直線與雙曲線的兩個交點的橫坐標之積為3，解題思路頓時打開.解方程組y＝－■x+b，y＝■.消去y，得■=-■x+b，化簡得■x2-bx+k=0，從而得到xB·xC=■

=■k，因此■k=3，得k=■.

例5（2009年廣州市中考試題）如圖3，邊長為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割為四個小矩形，EF與GH交于點P.（1）略.（2）略.（3）若Rt△GBF的周長為1，求矩形EPHD的面積.

剖析：設DE=a，DH=b，則矩形EPHD的面積為ab，尋求與已知條件的聯系，在正方形ABCD中，BG=1-b，BF=1-a，由于Rt△GBF的周長為1，所以有：1-b+1-a+■=1，即■=a+b-1，希望從中求出a和b，但兩個未知數只有一個方程，根本無法求出.能否將ab作為一個整體直接求出呢？這就只能寄希望于對已知條件的化簡.兩邊平方，得(1-a)2+(1-b)2=(a+b-1)2.又(a+b-1)2=[(a+b)

-1]2=（a+b)2-2(a+b)+1=a2+2ab+b2-2a-2b+1，所以1-2a+a2+1-2b+b2=a2+2ab

+b2-2a-2b+1，化簡得2ab=1，所以矩形EPHD的面積是■.

尋找待求值的代數式與已知條件整體間的聯系是運用整體化思想解題的實質.在尋求聯系的過程中，要注意對求值代數式的化簡，同時也要注意對已知條件的化簡，進而揭示彼此的聯系.解題思路的轉換，使一些似乎無法解決的問題獲得了簡便的解法.

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