抽獎中的方案設計問題

【問題】某廠為新型號電視機上市舉辦促銷活動，顧客每買一臺該型號電視機，可獲得一次抽獎機會，該廠擬按10%的比例設大獎，其余90%為小獎．

廠家設計的抽獎方案是：在一個不透明的盒子中，放入10個黃球和90個白球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，摸到黃球的顧客獲得大獎，摸到白球的顧客獲得小獎．

（1）廠家請教了一位數學老師，他設計的抽獎方案是：在一個不透明的盒子中，放入2個黃球和3個白球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出2個球，摸到的2個球都是黃球的顧客獲得大獎，其余的顧客獲得小獎．該抽獎方案符合廠家的設獎要求嗎？請說明理由；

（2）右圖是一個可以自由轉動的轉盤，請你將轉盤分為2個扇形區域，分別涂上黃、白兩種顏色，并設計抽獎方案，使其符合廠家的設獎要求．（友情提醒：1．轉盤上用文字注明顏色和扇形的圓心角的度數；2．結合轉盤簡述獲獎方式，不需說明理由．）

【命題意圖】本題是2010年南京市的一道中考試題，著重考查對概率意義的理解和把握，以及正確應用樹狀圖或列表法求簡單隨機事件的概率，并要求設計符合條件的方案，凸顯了對概率計算考查的基礎性和應用性．

【解題指導】（1）是否符合要求是指該數學老師設計的方案能否體現“10%得大獎，90%得小獎”的廠家意圖，因此可將數學老師的方案用排列法或畫樹狀圖的方法得到概率． （2）本題求解方法不唯一，畫圖時只需將該轉盤(圓)平均分為10份，某種顏色占1份，另一種顏色占9份．規定顧客購買該型號電視機時獲得一次轉動轉盤的機會，指向1份顏色獲得大獎，指向9份顏色獲得小獎．

【解題過程】（1）該抽獎方案符合廠家的設獎要求．

分別用黃1、黃2、白1、白2、白3表示這5個球．從中任意摸出2個球，可能出現的結果有：（黃1，黃2）、（黃1，白1）、（黃1，白2）、（黃1，白3）、（黃2，白1）、（黃2，白2）、（黃2，白3）、（白1，白2）、（白1，白3）、（白2，白3），共有10種，它們出現的可能性相同．

所有的結果中，滿足摸到2個球都是黃球（記為事件A）的結果有1種，即（黃1，黃2），所以P（A）=■，即顧客獲得大獎的概率為10%，獲得小獎的概率為90%．

（2）本題答案不唯一，下列解法供參考．

如圖，將轉盤中圓心角為36°的扇形區域涂上黃色，其余的區域涂上白色．顧客每購買一臺該型號電視機，可獲得一次轉動轉盤的機會，任意轉動這個轉盤，當轉盤停止時，指針指向黃色區域獲得大獎，指向白色區域獲得小獎．

【追根溯源】本題可以從我們的課本習題找出它的“身影”，它類似于蘇科版《數學》八年級下冊教材第163頁第5題與第167頁第3題．這道試題的第（1）問中，廠家請教了一位數學老師，他設計的抽獎方案不同于“從袋中摸出一只球，再放入袋中攪勻后又摸出一只球”，因此，本題又高于課本題．

第163頁第5題：一只不透明的袋中裝有白球2個和紅球1個，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記下顏色后放回，攪勻后再從中任意摸出1個球，2次都摸出紅球的概率是多少？

第167頁第3題：設計一個轉盤，使任意轉動這個轉盤1次，轉盤停止時，指針指向紅色區域的概率為■．

【變式拓展】

小明和小華為了獲得一張2010年上海世博園門票，他們各自設計了一個方案：

小明的方案是：轉動如圖所示的轉盤，當轉盤停止轉動后，如果指針停在陰影區域，則小明獲得門票；如果指針停在白色區域，則小華獲得門票（轉盤被等分成6個扇區，若指針停在邊界處，則重新轉動轉盤）．

小華的方案是：有三張卡片，上面分別標有數字1、2、3，將它們背面朝上洗勻后，從中摸出一張，記錄下卡片上的數字后放回，重新洗勻后再摸出一張，若摸出兩張卡片上的數字之和為偶數，則小華獲得門票．

（1）在小明的方案中，計算小明獲得門票的概率，并說明小明的方案是否公平.

（2）用樹狀圖或列表法列舉小華設計方案中可能出現的所有結果，計算小華獲得門票的概率，并說明小華的方案是否公平.

【參考答案】（1）小明獲得門票的概率為P（小明）=■=■，所以方案公平．

（2）作出樹狀圖：

共有9種等可能的結果，其中兩張卡片上的數字之和為偶數的有5種，小華獲得門票的概率為■，所以小華的方案不公平．

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