質(zhì)點運動型問題

【問題】如圖1，在平面直角坐標系中，點A坐標為(12，0)，點B坐標為(6，8)，點C為OB的中點，點D從點O出發(fā)，沿△OAB的三邊按逆時針方向以2個單位長度每秒的速度運動一周．

（1）點C坐標是(，)，當點D運動8.5秒時所在位置的坐標是(，)；

（2）設點D運動的時間為t秒，試用含t的代數(shù)式表示△OCD的面積S，并指出t為何值時，S最大；

（3）點E在線段AB上以同樣速度由點A向點B運動，如圖2，若點E與點D同時出發(fā)，問：在運動5秒鐘內(nèi)，以點D、A、E為頂點的三角形何時與△OCD相似(只考慮以點A、O為對應頂點的情況)？

【命題意圖】本題是2010年淮安市的一道中考試題，它涉及平面直角坐標系內(nèi)點的坐標的求法、一次函數(shù)的最值、相似三角形的性質(zhì)等知識點．著重考查了運動變化、分類討論的數(shù)學思想，以及同學們應用數(shù)學知識解決綜合問題的能力．

【解題指導】（1）求點C的坐標時，我們可以過該點作x軸的垂線，直接應用相似三角形的性質(zhì)求出點C的坐標；要求運動了8.5秒時點D的坐標，我們不妨先確定點D所在的位置，再尋找圖形中的相似三角形，進而應用相似三角形的性質(zhì)求出點D的坐標；（2）當點D在不同的邊上時，三角形的形狀發(fā)生了變化，其面積也是不同的，因此，解答時，需要我們應用分類討論的思想，并根據(jù)圖形之間的關(guān)系求出函數(shù)解析式，然后根據(jù)求最值的方法解決；（3）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，建立關(guān)于時間t的方程進行解答．

【解題過程】（1）C(3，4)、D(9，4)．

（2）當D在OA上運動時，S=■×4×2t=4t(0＜t＜6).

當D在AB上運動時，過點O作OE⊥AB，過點C作CF⊥AB，垂足分別為E和F，過D作DM⊥OA，過B作BN⊥OA，垂足分別為M和N，如圖3.

設D點運動的時間為t秒，

所以DA=2t-12，BD=22-2t，

又因為C為OB的中點，

所以CF為△BOE的中位線，所以CF=■OE.

又因為■AB·OE=■OA×8，所以OE=■，所以CF=■.

因為BN⊥OA，DM⊥OA，所以△ADM∽△ABN.

所以■=■，所以DM=■.

又因為S△OCD=S△OAB-S△OAD-S△BCD，

所以S△OCD=■×12×8-■×12×■-■（22-2t）×■，

即S△OCD=-■+■(6≤t＜11)，

所以當t=6時，△OCD面積最大，為：S△OCD=-■+■=24.

當D在OB上運動時，O、C、D在同一直線上，S=0(11≤t≤16)．

（3）設當運動t秒時，△OCD∽△ADE，則■=■，即■=■，所以t

=3.5；

設當運動t秒時，△OCD∽△AED，則■=■，即■=■，

所以2t2+5t-30=0，所以t1=■，t2=■(舍去).

所以，當t為3.5秒或■秒時，兩三角形相似．

【追根溯源】本題源于蘇科版《數(shù)學》九年級上冊教材第97頁“思考與探索”：

如圖4，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A沿AB向點B 以1cm/s的速度移動；同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，問：幾秒后△PBQ的面積等于8cm2？

【變式拓展】

如圖5，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形AOCB是梯形，AB∥OC，點A的坐標為（0，8），點C的坐標為（10，0），OB=OC．

（1）求點B的坐標；

（2）點P從C點出發(fā)，沿線段CO以5個單位每秒的速度向終點O勻速運動，過點P作PH⊥OB，垂足為H，設△HBP的面積為S（S≠0），點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出自變量t的取值范圍）．

【參考答案】

（1）如圖，過點B作BN⊥OC，垂足為N．由題意知OB=OC=10，BN=OA=8，∴ON=■=6，∴B（6，8）；（2）∠BON=∠POH，∠ONB=∠OHP=90°，∴△BON∽△POH，■=■=■.∵PC=5t，∴OP=10-5t，∴OH=6-3t，PH=8-4t，∴BH=OB-OH=10-(6-3t)=3t+4，∴S＝■（3t+4）（8-4t）=-6t2+4t+16（0≤t≤2）.

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