新增汽車數量問題

【問題】隨著人們經濟收入的不斷提高及汽車產業的快速發展，汽車已越來越多地進入普通家庭，成為居民消費新的增長點．據某市交通部門統計，2007年底全市汽車擁有量為150萬輛，而截至2009年底，全市的汽車擁有量已達216萬輛．

（1）求2007年底至2009年底該市汽車擁有量的年平均增長率；

（２）為保護城市環境，緩解汽車擁堵狀況，該市交通部門擬控制汽車總量，要求到2011年底全市汽車擁有量不超過231.96萬輛；另據估計，從2010年初起，該市此后每年報廢的汽車數量是上年底汽車擁有量的10%．假定每年新增汽車數量相同，請你計算出該市每年新增汽車數量最多不能超過多少萬輛.

【命題意圖】本題是2010年成都市的一道中考試題，它著重考查同學們對實際生活問題的數學建模能力，根據題意建立方程、方程組或不等式、不等式組解決實際問題的能力．

【解題指導】保護城市環境，緩解汽車擁堵狀況，是當前政府部門著力解決的實際問題．問題的第（1）問隱含著一個等量關系式：2007年底全市汽車擁有量×(1+年平均增長率)2=2009年底全市的汽車擁有量，因此，可列一元二次方程進行求解，要注意檢驗最后的結果是否符合實際情況；問題的第（2）問隱含著一個不等量關系式：(2010年初全市的汽車擁有量×90%+新增汽車數量)×90%+新增汽車數量≤231.96，因此，可以列出關于每年新增汽車數量為未知數的不等式，求出符合要求的范圍．

【解題過程】（1）設該市汽車擁有量的年平均增長率為x．根據題意，得：

150(1+x)2=216.解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合題意，舍去)．

答：該市汽車擁有量的年平均增長率為20%．

（2）設全市每年新增汽車數量為y萬輛，則2010年底全市的汽車擁有量為(216×90%+y)萬輛，2011年底全市的汽車擁有量為[(216×90%+y)×90%+y]萬輛．

根據題意得：

(216×90%+y)×90%+y≤231.96．解得：y≤30．

答：該市每年新增汽車數量最多不能超過30萬輛．

【追根溯源】本題是一道融一元二次方程和一元一次不等式于一體的實際問題，它類似于蘇科版《數學》八年級下冊教材第20頁練習第3題、九年級上冊教材第99頁第2題：

1．甲、乙兩隊進行足球對抗賽，規定每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分．兩隊一共比賽了10場，甲隊保持不敗，得分超過22分．甲隊至少勝了多少場？

2．某農場的糧食產量在兩年內從3000 t增加到3630 t，平均每年增產的百分率是多少？

【變式拓展】

1．2010年暑假期間一種“女人必看”的網絡病毒在QQ群中傳播得非常快，如果一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染．請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？

2．某中學的高中部在A校區，初中部在B校區，學校學生會計劃在3月12日植樹節當天安排部分學生到郊區公園參加植樹活動，已知A校區的每位高中學生往返車費是6元，每人每天可栽植5棵樹，B校區的每位初中學生往返的車費是10元，每人每天可栽植3棵樹，要求初高中均有學生參加，且參加活動的初中學生比參加活動的高中學生多4人，本次活動的往返車費總和不超過210元，要使本次活動植樹最多，初高中各有多少學生參加？最多植樹多少棵？

【參考答案】1．設每輪感染中平均每一臺電腦會感染x臺電腦，依題意得：1

+x+x(1+x)=81，即(1+x)2=81，解得x1=8，x2=-10(舍去)，(1+x)3=(1+8)3=729＞700．答：每輪感染中平均每一臺電腦會感染8臺電腦，3輪感染后，被感染的電腦會超過700臺.2．設參加活動的高中生有x人，則初中生為(x+4)人，依題意，得6x+10(x

+4)≤210，∴16x≤170，x≤10.625，所以參加活動的高中學生最多為10人.設本次活動植樹為y棵，則y與高中學生人數x之間的函數關系式為y=5x+3(x+4)

=8x+12，∴y隨著x的增大而增大.∵參加活動的高中學生人數最多為10人，當x=10時，y最大=8×10+12=92（棵）．答：應安排高中學生10人，初中學生14人，最多可植樹92棵．