數形結合 優勢互補——淺析解析法解題

當引進平面直角坐標系后，用一對有序實數表示點，給出了數和形結合的一種重要形式，從而使用代數的方法來研究幾何圖形成為可能.用代數的演算來替代幾何推理，為研究幾何問題開辟了新的途徑，我們把這種方法稱為解析法.

一、要充分發揮解析法解題思路清晰、處理方法具有一般性的優勢

例1（2010年常州市中考試題）如圖1，一次函數y=-■x+2的圖象上有兩點A、B，A點的橫坐標為2，B點的橫坐標為a（0＜a＜4且a≠2），過點A、B分別作x的垂線，垂足為C、D，△AOC、△BOD的面積分別為S1、S2，則S1、S2的大小關系是（）

A.S1＞S2 B.S1=S2

C.S1＜S2 D.無法確定

剖析：1.B點的橫坐標是a，因B在直線y=-■x+2上，故可求出B點的縱坐標，從而求出S2.

2.比較S1和S2的大小，可采用比較法.

解：∵xA=2，∴yA=-■×xA+2=1，又∵xB=a，∴yB=-■a+2，

S2-S1=■a·（-■a+2）-■×2×1=-■a2+a-1=-■（a2-4a）-1

=-■［（a-2）2-4］-1=-■（a-2）2.

∵0＜a＜4，且a≠2，∴-■（a-2）2＜0，得S2＜S1.選A.

點評：采用解析法，用字母a表示OD的長，避免了對OD的討論.

例2（2010年武漢市中考試題）如圖2，直線y1=kx+b過點A（0，2），且與直線y2=mx交于點P（1，m），則不等式組mx＞kx+b＞mx-2的解集是.

剖析：解不等式組mx＞kx+b，kx+b＞mx-2，其中有字母系數k、m、b，似乎毫無辦法.減少字母系數的個數，會怎樣呢？不妨試一試.

解：y1=kx+b過點A（0，2），得b=2.又P（1，m）是兩條直線的交點，所以m=k+2，將b=2，m=k+2代入不等式組，得（k+2）x＞kx +2，kx+2＞（k+2）x-2.化簡得2x＞2，2x＜4.解集為1＜x＜2.

點評：消元是一種重要的解題途徑和方法.

例3（2010年黃岡市中考試題）如圖3，矩形紙片ABCD，AB=5cm，BC

=10cm，CD上有一點E，ED=2cm，AD上有一點P，PD=3cm，過點P作PF⊥BC于F，將紙片折疊，使P點與E點重合，折痕與PF交于點Q，則PQ的長是cm.

剖析：如果選取如圖所示的直角坐標系，則PQ的長就是Q點的縱坐標，設Q（3，a）.又E（0，2），且PQ=EQ，解題思路已明.實際解題時，作QH⊥CD于H，設PQ=a.在Rt△QEH中，有a2=（a-2）2+32，解得a=■（cm）.

點評：解析法思路直接，解法簡捷.本題原來的解答過程用了兩次相似才得解，相比顯得繁了.

二、在用解析法解題時，要注意充分揭示圖形的幾何特性，即圖形的內在性質，運用相關的幾何結論，常能簡化計算，收到事半功倍的效果

例4（2010年鹽城市中考試題）如圖4，A、B是雙曲線y=■（k＞0）上的點，A、B兩點的橫坐標分別是a、2a，線段AB的延長線交x軸于點C，若S△AOC=6，則k=.

剖析：分別過A、B作x軸的垂線，垂足為E、F，則OE=EF＝a，得S△AEF=S△AOE

=■，如能用k來表示出S△ACF，則問題已明.由于△ACF的高確定，問題歸結于求CF.

解：A、B在雙曲線y=■上，xA·yA=xB·yB=k，所以■=■=■=■，又BF∥AE，則■=■

=■，即CE=2CF.又CE=a+CF，∴CF=a.得S△CFA

=S△AEF=S△AOE=■，由S△AOC=6，得■=6，∴k=4.

點評：在雙曲線y=■（k＞0）中，k是雙曲線上任一點向兩條坐標軸所作的垂線與坐標軸圍成的矩形的面積，等底同高的三角形面積相等，有關面積的這些知識的運用，簡化了解題過程.

例5（2010年蘇州市中考試題）如圖5，已知A、B兩點的坐標分別為（2■，0）、（0，2），P是△AOB外接圓上的一點，且∠AOP=45°，則點P的坐標為.

剖析：1.Rt△AOB外接圓的圓心是斜邊AB的中點.2.在Rt△AOB中，AB=■=4，則∠A=30°.

解：取AB的中點M，則M為△AOB外接圓圓心，MO=MA=MP.過P作PE⊥OA于E，∵∠AOP=45°，∴PE=OE.過M作MF⊥OA于F，MG⊥PE于G，易證∠MPG=∠MOA=∠MAO=30°，MF=MG=1，得PE=1+■，∴P（1+■，1+■）.

點評：巧用直角三角形中30°角的性質，可簡化代數的運算.

現在我們再來對例2作一些探究.mx＞kx+b，就是y2＞y1，形數結合，由圖象可知x＞1（直線y2=mx在直線y1=kx+b上方部分的點的橫坐標集合）.作直線y3

=mx-2，就是把y2=mx向下平移2個單位，過點A′（0，-2），交y1=kx+b于點P′（如圖2）.在△AA′P′中，AO=OA′，OP∥A′P′，所以P為AP′的中點，得xP′+xA=2xP，因此xP′=2×1-0=2，同理kx+b＞mx-2的解是x＜2，所以解集為1＜x＜2.

點評：通過類比，作出直線y3=mx-2，利用圖象來解不等式kx+b＞mx-2，關鍵是求出P′的橫坐標，注意到P是AP′的中點，問題豁然開朗.

“形數結合”是一種重要的數學思想，而充分發揮、綜合利用數、形各自的優勢，盡量避免各自的不足，這就是數形結合思想的精髓.

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