聯想搜索 等價轉化

當我們遇到一個陌生的數學題時，都會不約而同地想到將它變成一個自己熟悉的問題，進而去解決它.可是實際操作起來卻不那么簡單，顯然它沒有一種固定的法則，而是必須通過對具體問題的認真、深入的剖析，聯想過去解類似習題的方法，尋求它們之間的聯系，才能實現從陌生到熟悉的轉化.

例1（2010年鎮江市中考試題）已知實數x、y滿足x2+3x+y-3=0，則x+y的最大值為.

聯想與思考：1.利用函數求最值是一種基本方法；2.若是求y的最值，由y=-x2-3x+3，利用二次函數可解決；3.求x+y的最大值，若將x+y當作一個變量，不妨試一試.

解：令u=x+y，由x2+3x+y-3=0，得u=-x2-2x+3u=-（x2+2x）+3=-［（x+1）2

-1］+3=-（x+1）2+4.

當x=-1時，x+y有最大值4.

點評：利用換元法，將原題轉化為求新變量u的最值問題.

例2（2010年蘇州市中考試題）如圖1，已知A、B兩點的坐標分別為（2，0），（0，2），⊙C的圓心坐標為（-1，0），半徑為1.若D是⊙C上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積的最小值是（）.

A.2B.1C.2－■D.2－■

聯想與思考：1.對于△ABE，以BE為底，高OA=2為定值，求S△ABE的最小值就轉化為求BE的最小值.

2.當直線AB繞點A逆時針旋轉時，與⊙C的位置關系產生著變化：由相離到相切到相交，AB與y軸的交點由B向O靠攏.當AB與⊙C首次相切時，AB與y軸的交點就是符合題意的交點E，此時BE為最小，問題轉化為求AD與⊙C相切時BE的長.

解：AD=■＝2■，OE=OA·tan∠DAC=2×■＝■.

S△BEA=S△AOB-S△AOE=2-■×■×2=2-■.

點評：①找出△ABE面積最小時E點的位置是解題的關鍵；②延伸：可輕易看出S△ABE的最大值為2+■.

例3（2010年揚州市中考試題）如圖2，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，點P是AB上一個動點，當PC+PD的和最小時，PB的長為.

聯想與思考：求點P，使P到C、D兩點距離之和為最小，能聯想到基本題型：C、D在直線l的同側，在l上找一點P，使PC+PD為最小.將題中AB視作直線l，它的解法大家都熟知.

解：延長DA到D′，使D′A=DA=4.

∵∠DAB=90°，∴D、D′關于AB對稱.

連接D′C交AB于點P.∵AD∥BC，∴△D′AP∽△CBP.

∴■=■，即■=■.解得PB=3.

點評：重要題型、經典習題常是實施轉化的依據與目標.

例4（2010年天津市中考試題）在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上.OA=3，OB=4，D為邊OB的中點.

（1）如圖3，若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標；

（2）如圖4，若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2.當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標.

聯想與思考：1.由于CD為定值■，△CDE周長的最小值轉化為DE+CE的最小值，問題已明.

2.四邊形CDEF周長最小，由于CD=■，EF=2，轉化為DE+CF為最小.但與基本題型并不相符，怎么辦？考慮將E、F兩點合二為一，通過將CF平移來實現.實際操作時，在CB上截取CG=2，連接EG，易證EG=CF.這樣又轉化成基本題型了.

解答過程略.

點評：對于出現的新情況，逐一解決，朝著基本題型去轉化.

例5（2010年河南省中考試題）如圖5，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6.點D在AB邊上，點E是BC邊上一點（不與點B、C重合），且DA=DE，則AD的取值范圍是.

聯想與思考：1.點D、E都是動點，但D點確定，E點也隨之確定.E點是以D為圓心、DA長為半徑的圓弧與線段BC的交點.

2.當點D由點A到點B變動時，⊙D與線段BC的位置關系就是本題所求，問題轉化為求⊙D與線段BC（除B、C點外）相切、相交時半徑的取值范圍.

解：當⊙D與BC相切時，E為切點，r+■

=AC=3，∴r=2.

當D為AB的中點時，⊙D是△ABC的外接圓.

由于點E不與點B、C重合，r=3不合題意.

綜上，2≤AD＜3.

點評：在動態變化的過程中去考察，結合幾何意義，進一步明確題意.

例6 （2010年濟南市中考試題）如圖6，矩形ABCD中，AB=4，BC

=4■，點E是折線段A—D—C上的一個動點（點E與點A不重合），點P是點A關于BE的對稱點，在點E運動的過程中，使△PCB為等腰三角形的點E的位置共有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

聯想與思考：1.點P是點A關于BE的對稱點，E點確定則P點唯一確定，求點E的個數就轉化為求點P的個數.

2.點P到點B的距離為4，又點E在折線段A—D—C上（與點A不重合），因此P在以B為圓心，AB長為半徑的半圓上（除A點外）.

3.原問題轉化為在該半圓上找點P，使△PCB為等腰三角形，這是一個熟悉的問題.

解：1.C為頂角的頂點，以C為圓心，CB長為半徑畫弧，交半圓于P1、P2.

2.B為頂角的頂點，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，與半圓無交點.（兩個同心圓）

3.P為頂角的頂點，即以BC為底邊，作BC的垂直平分線，與半圓交于P3、P4.

綜上，符合題意的P點有4個，選C.

點評：將求點E的位置轉化為求點P的位置，再轉化為大家熟悉的問題——求作等腰三角形.

還要指出，在轉化的過程中應該注意命題的“等價性”，若命題不等價，就要特別注意.例如分式方程轉化為整式方程來求解時，等價性可能被破壞，出現增根，這就需要通過驗根來解決.

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