求函數值域的若干方法

函數是中學數學課程的主要內容之一，而函數的值域就是函數內容的一部分．在學習函數內容時，函數值域的求法就是教學中的難點之一．本文舉例說明函數值域的若干求法與技巧，以培養和提高學生的觀察、分析能力和理解能力．

反函數法

所謂反函數法，就是先求出原函數的反函數，然后用判斷反函數的定義域來確定原函數的值域．

例：求函數y =的值域.

分析：反函數的定義域就是反函數的值域.

解：把原函數變形得（y －1）ex= －（y+1），當y≠1時，得 ex= ，所以 x=ln（），所以原函數的反函數的解析式為y= ln（）.

由于＞0，解得－1＜x＜1，定義域為{x | －1 ＜x＜ 1}，故原函數的值域為y∈（ －1， 1）.

說明：形如y=（c≠0）類型，可以選擇反函數法來求函數值域，這種方法實質上是從函數的解析式中解出x，并由此尋找因變量y的可取值范圍，這就是所求函數的值域．

配方法

所謂配方法就是通過對原函數變形，把它化成含有平方的形式（y=（ax+b）2+c）再判斷函數值域.

例：求函數y=－sin2x＋4cos2 的值域.

解：y=－sin2x＋4cos2

=cos2x－1+2+2cosx

=（cosx+1）2

當 cosx= 1 時 ，y 取最大值 4

當cosx= －1時 ， y 取最小值 0

∴ 函數值域是[0，4].

說明：配方法是求二次函數類值域最基本的方法，求y=ax2+bx+c型函數的值域均可用配方法.

換元法

所謂換元法就是把某些含有未知數的復雜的式子用一個簡單的字母t來表示，并求出t的取值范圍，然后用字母t來表示整個函數，最后求得函數值域．

1. 代數換元法

例：求函數y=2x+的值域.

分析：根式中x的次數可視為，因此前后x的次數比為2比1的關系，可采用換元法轉化為二次函數來解決．

解：令 =t（t≥0）則 x=

∴ y =-t2+ t + 1

=-t-2+

當 t=時， 即x=時，y的最大值為，無最小值.

∴ 函數的值域為-∞，.

2. 三角換元法

例：求函數y=x-的值域.

分析：前后x的次數比為1比1，本題不能采用上題的換元法．注意到x∈[-1，1]，可采取三角換元，既符合題目要求，又能利用三角恒等式化簡根式．

解：設x=sin?茲，?茲∈-，

原式=sin?茲-=sin?茲-cos?茲=sin?茲-cos?茲=sin（?茲－）?茲∈-，

函數在上?茲∈-，先減后增，∴－１≤sin（?茲－）≤.

說明：帶根式的函數，本身求值域比較難，這時可考慮用換元法將其變形，換元適當，事半功倍．換元之后應考慮新的變量的取值范圍，在此基礎上再求函數值域．形如y=ax+b+的類型，都可以用換元法來解．函數y=2x+與 y=2x+函數形式類似，都可以用換元法來解，但又有不同，前者在定義域上不是單調函數，不能用函數單調性來解．

判別式法

采用判別式法求值域的函數應滿足三個要求：1. 分子分母至少有一個是二次；2. 函數的定義域是函數的自然定義域；3. 分子分母不再可約．

例：求函數 y= 的值域.

解：采用判別式法，整理得

﹙y + 1﹚x2－﹙y + 1﹚x +1－y =0

要使得x有實數解，即方程有實數根

則△x=﹙y+1﹚2 －4﹙y+ 1﹚﹙1- y﹚≥0

即5y2+2y-3≥0

解之， 得y ≤-1或y≥

當 y= ， 代入原式解得x=

當y = -1 ， 代入原式，沒有相應的x值

所以所求函數值域為y∈（-∞，－１）∪［，∞）.

說明：形如y=的類型，都可以用判別式法，但是利用判別式法求值域時，要審查等號是否成立．也就是說，能否在定義域內找到的值，使函數達到最大值和最小值.

以上舉例說明了幾種求函數值域的方法，各法各有特點，不同的函數類型有不同的解法．我們在求解函數值域時，一定要結合題目的特點，分清函數類型，然后選擇適合的方法并靈活運用．

責任編輯羅峰

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