巧用“向量法”解立幾題

向量是高中數學新增的內容．由于向量特有的“神（坐標形式）形（幾何形式）兼備”這一特征，使向量及其平行、垂直的充要條件都有其坐標表示形式和幾何表示形式，加之向量的數量積不僅是一個實數，而且與向量的夾角及其余弦值緊密相關，使它成為中學數學知識的一個交匯點，成為聯系多項內容的媒介．因此，新高考常把向量與立體幾何、解析幾何、三角函數等與平行、垂直、夾角等有關問題結合起來作為命題的切入點．

一、向量法求空間角

空間角的計算是歷年高考的熱點問題．傳統的綜合推理方法是采用“形到形”的推理，即要求學生根據題設的條件，將空間圖形轉化為平面圖形．不論是求異面直線所成的角、直線和平面所成的角，還是二面角，傳統的綜合推理方法都是通過“一作二證”轉化為在三角形中求平面角，即由“一作二證三求”完成．但對大多數的學生來說，掌握這種“形到形”的推理方法比較困難．如果借助向量加以解決，把立體幾何代數化，學生就可以運用他們熟悉的代數方法進行推理來掌握空間圖形的性質．而通過向量工具，可以把求角問題用求向量、的夾角θ（即用cosθ= ）來計算，這樣就大大降低了思維難度，充分體現了幾何代數化的優勢．

利用向量法求空間角極為方便，無須具體考慮如何作輔助線，從而避開抽象幾何推理和繁雜的計算，使解題過程順暢，乃至簡捷．具體解題步驟可歸納為：

1. 求異面直線所成角：設，分別為異面直線a與b的方向向量，設異面直線a、b所成角為θ，則cosθ=.

2. 求直線與平面所成角：設直線a與平面α所成的角為θ，是直線a的一個方向向量，是α的一個法向量，則sinθ=cos（，）=.

3. 求二面角：設二面角α-β-γ的大小為θ（0≤θ≤π），、分別是α、β的一個法向量，則<，>與θ相等或互補，再結合題設的條件就能確定θ的大小.

二、向量法求空間距離

空間距離包括異面直線的距離、點到平面的距離、線面平行求距離及面面平行求距離等．課本中只是學習了利用向量的方法求兩條直線的夾角，而對求兩異面直線的距離還是停留在找、求公垂線上，這就給學生帶來了知識的局限性．

利用向量射影法求空間距離，可避開尋找公垂線段而帶來的麻煩，降低了解題的難度．具體解題步驟可歸納為：

1. 求異面直線的距離：設是異面直線a、b的公垂線的一個方向向量，在a、b上各取任一點 A和 B，設異面直線a、b的距離為d，則d=.

2. 求點到平面的距離：設A在平面α外，B在平面α上，向量 是平面 α的一個法向量，點 A到平面 α的距離為 d，則d=.

3. 線面平行求距離及面面平行求距離，可轉化為求點到平面的距離．

三、向量法解立體幾何開放性問題

開放性問題作為培養學生探究能力和創新精神的載體，在新課程改革中有著充分的體現，在高考中所處的地位也越來越突出．

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠CCB=∠CCD=∠BCD=60°，當的值是多少時，能使 A1C⊥平面 C1BD，請給出證明.

由#8226;=0#8226;=0

由向量數量積的意義，得：

２（λcos60°+λ２-1-cos60°）= 0

解得：λ=1或λ=-（舍去）.

即當的值為1時，能使 A1C⊥平面 C1BD.

此例若單純用立體幾何知識解答，方法雖多，卻均有一定的難度，但用向量法來進行處理，求解起來就顯得得心應手．

責任編輯羅峰

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