高中數學探索性問題的基本解決策略

在高中數學學習中，存在一類問題，或者因為其條件不完備，或者因為其結論具有發散性，從而要求解答者結合已有條件，進行觀察、分析、比較和概括，展開深入探索.這類問題通常稱為探索性問題，解答它們要求學生具有較好的數學意識和較高的綜合運用數學方法的能力.

一、條件追溯型

這類問題的基本特征是：針對某一特定結論，在題設條件不完備的情況下，對題設條件進行增、刪探索，或者對題設條件的正、誤加以判斷.

解決條件追溯型問題的基本策略是：執果索因，先尋找結論成立的必要條件，再通過檢驗或認證找到結論成立的充分條件.

在“執果索因”的過程中，特別需要注意的是，應充分考慮推理過程的可逆與否，不要誤將必要條件當作充分條件.

例1：空間中是否存在四點A、B、C、D，滿足AB=CD=8cm，AC=BD=10cm，AD=BC=13cm？

分析： 本題屬于條件追溯型問題，根據四點構成的線段間等量關系，探索四點之間是否存在相應的位置關系.在探索時，可以假設存在滿足條件的四點，從特殊位置關系的角度展開研究.

小結：在解決條件探索型問題時，由于其結論明確，因此，可將結論和題設都視為已知條件，借助演繹推理探尋出所需尋求的條件是否存在、或是否合理.在探索的過程中，應從正、逆兩個方向不斷變換思維角度，努力向目標靠近．

二、條件重組型

這類問題的基本特征是：題設給出了一些相關命題，但需對這些命題進行重新組合以構成新的復合命題，并判定復合命題的正確性；或題設初步設定探求方向，要求對條件和結論進行新的組合，并從正確性的角度加以判斷.

解答條件重組型問題的基本策略是：對條件進行多種重組、逐一探求，以排除不合理、不符合條件或錯誤的命題.

例2：已知三個不等式：ab>0，bc-ad>0，->0（其中a，b，c，d均為實數），用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結論組成一個命題，可組成的正確命題的個數是（）

A. 0B. 1C. 2D. 3

分析：題設中的三個不等式存在三種組合關系，因此，可以構造三個命題，需要對構造的三個命題的正確性逐一加以判斷.

小結：條件重組型問題綜合性強，解答思路靈活，特別是往往需要進行分類探索，對每種情況都要加以細致分析，因此，對學生思維的嚴謹性要求很高.

三、存在判斷型

這類問題的基本特征是：根據題設給定的條件，判斷在某些確定條件下的某一數學對象(數值、圖形、函數等)是否存在或某一結論是否成立.

解決存在判斷型問題的基本策略是：通常假定題中的數學對象存在(或結論成立)或暫且認可其中的一部分的結論，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導出矛盾，則否定假設；否則，給出肯定結論.其中反證法在解題中起著重要的作用.

例3：在平面直角坐標系xOy中，已知圓心在第二象限，半徑為2的圓C與直線y=x相切于坐標原點O．橢圓+＝1與圓C的一個交點到橢圓兩點的距離之和為10．（1）求圓C的方程．（2）試探求C上是否存在異于原點的點Q，使Q到橢圓右焦點P的距離等于線段OF的長．若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

分析：橢圓的方程為+=1，右焦點為（4，0），OF＝4．要探求是否存在異于原點的點Q，使得該點到右焦點F的距離等于OF的長度4，可以轉化為探求以右焦點F為頂點，半徑為4的圓（x-4）2+y2=8與（1）所求的圓的交點數．通過聯立兩圓的方程解得x＝，y＝．即存在異于原點的點Q（，），使得該點到右焦點F的距離等于OF的長．

小結：“存在”就是有，證明有或者可以找出一個也行.“不存在”就是沒有，找不到.這類問題常用反證法加以認證.“是否存在”的問題，結論有兩種：如果存在，找出一個來；如果不存在，需說明理由.這類問題常用“肯定順推”的方法.

責任編輯羅峰

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