二元函數可微性的研究

摘要：本文敘述了可微性、偏導數的定義、偏導數的幾何意義、切平面的定義、二元函數可微性一些應用。論述了二元函數的可微性與偏導數以及連續三者的關系：可微則偏導數存在，但偏導數存在不一定可微；可微一定連續，但連續不一定可微。并通過實例來列舉說明可微性與偏導數以及連續三者的關系。說明了二元函數可微性判定的一些條件，從定理1：如果函數[z=f(x，y)]在[(x0，y0)]點的某鄰域內兩個偏導數都存在，并且兩個偏導數在[(x0，y0)]點連續，則函數在[z=f(x，y)]在[(x0，y0)]點可微。進行分析，然后來推導出二元函數可微的其他條件得到定理2與定理3。

關鍵詞：可微 偏導數 連續

引言

在高等數學中，函數可微占有重要的主導作用，與一元函數一樣，由一元函數可微性引入二元函數可微性。本文先闡述了二元函數偏導數，可微性與全微分的定義。再通過討論二元函數連續，存在偏導數與可微這三個分析性質之間的關系，弄清可微的其他條件。

定義1（可微性）設函數[z=f(x，y)]在點[P0(x0，y0)]的某鄰域[U(p0)]內有定義，對于[U(p0)]中的點[P=f(x，y)=(x0+x，y0+y]，若函數[f]在點[P0]處的全增量可表示為[z=f(x0+x，y0+y)-f(x，y)=Ax+By+(p)]…（1.1）

其中A，B是僅與點[P0]有關的常數，[p=x2+y2，(p)]是較[p]高階的無窮小量，則稱函數[f]在點[P0]處可微.全微分: [dzP0=df(x0，y0)=Ax+By]在使用上，有時.也把（1.1）式寫成如下形式[z=Ax+By+αx+βy，] …（1.2）

這里[lim(x，y→(0，0)α=lim(x，y)→(0，0)β=0.]

一、二元函數可微與偏導數以及連續的關系

設二元函數[z=f(x，y)]在點[P0(x0，y0)]可微，則[z=f(x，y)]在點[P0(x0，y0)]的兩個偏導數存在；若二元函數[z=f(x，y)]在點[P0(x0，y0)]的兩個偏導數存在，則不一定能推出[z=f(x，y)]在點[P0(x0，y0)]可微。

①若二元函數[f]在點[(x0，y0)]可微，則[f]在點[(x0，y0)]處的全增量可由（1.1）式表示.現在討論其中A、B的值與函數[f]的關系.為此，在（1.2）式中令[y=0(x≠0)]，這時得到[z]關于[x]的偏增量[xz]，且有[xz=Ax+αx]或[xzx=A+α]現讓[x→0]，由上式便得A的一個極限表示式

A=[limx→0xzx=limx→0f(x0+x，y0)-f(x0，y0)x.] …（2.1）容易看出，（2.1）式右邊的極限正是關于[x]的一元函數[f(x，y0)]在[x=x0]處的導數．類似地，令[x=0(y≠0)]，由（1.2）式又可得到B=[limy→0yzy=limy→0f(x0，y0+y)-f(x0，y0)y.]它是關于[y]的一元函數[f(x0，y)]在[y=y0)]處的導數．故兩個偏導數存在。

②再考察函數[f(x，y)=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0]在原點的可微性．解按偏導數。

二、二元函數的可微性的判定條件

通過上述討論偏導數、全微分、連續及偏導存在、偏導連續等之間的關系，可得出以下定理：

定理1：如果函數[z=f(x，y)]在[(x0，y0)]點的兩個偏導數都存在，并且在[(x0，y0)]點連續，則函數在[z=f(x，y)]，[(x0，y0)]點可微。

證明：我們把全增量

[z]寫作[z]=f(x[0+x，y0+y)-f(x0，y0)]=

[f(x[0+x，y0+y)-f(x0，y0+y)]+[f(x0y0+y)f(x0，y0)].]

在第一個括號里，它是函數[f(x，y0+y)]關于[x]的偏增量；第二個括號里，則是函數[f(x0，y)]關于[x]的偏增量。對它們分別應用一元函數的拉格朗日中值定理，得[z=fx(x0+θ1x，y0+y)x+fy(x0，y0)+θ2y)y，] …（3.1）0[<θ1，θ2<1]屬于由于[fx]與[fy]在點[(x0，y0)]連續，因此有[fx(x0+θ1x，y0+y)=fx(x0，y0)+α，]…（3.2）[fy(x0，y0+θ2y)=fy(x0，y0)+β，]…（3.3）其中當[(x，y)→(0，0)]時，[α→0，β→0]將（3.2）（3.3）代入（3.1）式，則得[z=fx(x0+y0)x+fy(x0，y0)y+αx+βy，]由（3.1）式便知函數[f]在點[(x0，y0)]可微。上述定理1可以適當的減弱為：如果函數[z=f(x，y)]在[(x0，y0)]點的兩個偏導數都存在，并且其中有一個偏導數在[(x0，y0)]點連續，則函數在[z=f(x，y)]，[(x0，y0)]點可微。即得：定理2：如果函數[z=f(x，y)]在[(x0，y0)]點的兩個偏導數都存在，并且其中有一個偏導數在[(x0，y0)]點連續，則函數在[z=f(x，y)]，[(x0，y0)]點可微。

參考文獻:

[1]華東師范大學數學系，數學分析[M].北京，高等教育出版社，2001

[2]同濟大學應用數學系，高等數學[M].北京，高等教育出版社，2001