柯西不等式的應用

柯西不等式通常應用于證明代數不等式、幾何不等式、三角不等式，同時它在實數的大小比較、解方程、確定參數的取值范圍、求最值等方面都有著廣泛的應用，歸納起來有兩大類：一類是證明與不等式有關的命題；一類是求解有關的數學命題.但無論用柯西不等式處理何種類型的問題，都必須依照柯西不等式的結構特點，恰當地選取兩個數組，構造符合柯西不等式的形式及條件，繼而達到使用柯西不等式證明、求解有關問題的目的．

一、證明與不等式有關的數學問題

1. 巧乘因式

柯西不等式左右兩邊共有3個因式，當要證的不等式只有兩個因式時，可巧妙地在不等式一邊乘上一個和為定值的因式，或與要證的不等式中某個因式有聯系的因式，構造成柯西不等式的形式．

例1設a，b，c都是正數，且a+b+c=1 ，證明：++≥9．

證明：∵a，b，c∈R+，依柯西不等式得：（a+b+c）（++）≥（++），即++≥9.

2. 變量替換

引進適當的變量，通過代換把需證的不等式變形為柯西不等式的結構．

例2設a，b，c分別為葒ABC的三邊長，證明：a2b（a-b）+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0．

證明：令a=x+y，b=y+z，c=z+x則x、y、z>0．

故原不等式等價化為++≥x+y+z．

∵（y+z+x）（++）≥（x+y+z）2， ∴++≥x+y+z，故原不等式成立．

3. 重排序

有某些不等式，直接利用柯西不等式不能得到預想的結論，當把某些因式中的某些項調換一些次序，就能用柯西不等式得到想要的結論．

例3已知a，b為非負數，a+b=1，x1，x2∈R+，求證：（ax1+bx2）（bx1+ax2）≥x1x2．

證明：∵a，b為非負數， a+b=1，x1，x2∈R+，∴（ax1+bx2）（bx1+ax2）=（ax1+bx2）（ax2+bx1）≥（a+b）2=（a+b）2x1x2=x1x2，即（ax1+bx2）（bx1+ax2）≥x1x2．

二、求解相關的數學問題

1． 實數的大小比較

例4設a，b，c，d，m，n都是正實數，p=+，q=#8226;，試確定p與q的大小．

解：由柯西不等式得（ma+nc）（+） ≥（）=（+）2．

∴≥+

∴p≤q．

2. 解方程或方程組

例5解方程+2=．

解：原方程可以變形為

#8226;+2=．

由柯西不等式可得15=［（）2＋２２］［(2x+) 2+(1-2x)2］≥(#8226;+2=)=15，

其中等號成立的充要條件為=．

解得x=-，∴ 原方程的解為x=-．

3. 求參數的取值范圍

例6設姿是實數，對任意實數x，y，z恒有（x2+y2+z2）2≤姿（x4+y4+z4）成立，試求姿的取值范圍．

解：由柯西不等式得：

3（x4+y4+z4）=（12+12+12）[（x2）2+（y2）2+（z2）2]≥（x2+y2+z2）2．

再由已知易知姿的取值范圍是[3，+∞)．

責任編輯 羅 峰

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