數學教學中的錯覺現象剖析

一、關于數學錯覺現象

數學錯覺就是在數學學習中，學生對較抽象的概念、定理、法則等不易接受，抓不住其內在本質，而被一些表象所迷惑，產生了錯誤感知的現象．如圖１，線段a=b，但實際看起來圖中的a＜b．這就是數學錯覺的實例．

錯覺的產生有很多方面的原因，但歸納起來主要有兩方面：主觀原因和客觀原因．客觀上主要有知覺條件的變化、周圍環境對知覺對象的影響；主觀上與個人的知識經驗、情緒、態度等因素有關．

筆者通過教學實踐，覺得有必要對此進行研究，以糾正學生學習過程的失誤．

二、數學錯覺現象的類型

1． 同化錯覺. 即學習者在把新知識納入原有的認知結構并使之分化、擴充，形成新的認知結構、尤其是頭腦中的原有知識對新知識產生錯誤作用，從而造成學習者在解決問題時容易造成的一種錯誤傾向．這種錯誤傾向往往在由單個知識體系向完整的知識體系過渡時出現．

筆者曾組織初一年級50名學生測試一道數學題：個位數字為X，十位數字為Y，這個兩位數表示為（）：

（A）YX（B）10Y+X

（C）10X+Y （D）10（X+Y）

結果有43%的學生選擇（A）．可見學生在由常量數學向變量數學的學習轉變過程中遇到了障礙．究其原因，是因為學生以前是用具體的兩個數字來表示兩位數（如35），而這種書寫形式掩蓋了兩位數的本質特征，從而對現在用字母表示兩位數的書寫形式產生了同化錯覺．

又如，學習復數的乘方、開方運算時，對于解形如（x+1）6=（1+i）（x∈C，i是虛數單位)的方程，很多學生往往只得到一解x=i． 而事實上，上述解是錯誤的．那么，為什么會出現這樣的錯誤呢？仔細分析，不難發現，學生實際上受實數指數運算法則的影響，對于z∈R+時，（zn）=z這個結論經常會不加思索地用到復數范圍，從而導致了以上的錯解．也就是說，原來的實數指數運算法則對復數運算產生了同化錯覺的影響．所以，在進行復數開方教學時，就應著重加強復數范圍與實數范圍的開方運算的比較．

2． 定勢錯覺. 定勢是指心理活動的一種準備狀態，它影響并決定同類后續活動的趨勢．定勢錯覺是指學習者受大腦中原有的認知結構、解題方法、技能習慣等的“慣性作用”的影響，容易依照既定的方向、模式或方法去思考，從而對思維活動造成的一種誤導．這種現象在學生學習數學的過程中出現的頻率最高．

其中最明顯的一個例子如解答題：求實數m，使方程x2+（m+2i）x+2+mi=0（其中i是虛數單位）有實根．

不少學生解此題時，常常這樣做：

解：原方程有實根，所以判別式△=（m+2i）２－4（2+mi）≥0，即m2－12≥0.

解得m≥2或m≤－2.

所以m≥2或m≤－2時，方程x2+（m+2i）x+2+mi=0有實根．

以上解答看似很正確、完整，而實際上是錯誤的．因為當m取4時（4＞2），方程的兩個根1－i和1+i均為虛數．

那么，產生錯誤的原因是什么呢？學生是受到實系數方程根的判別方法的定勢錯覺的影響，把只能用于實系數方程的根的判別式，機械地搬用于復系數方程．這也正是思維定勢負遷移作用的結果．

又如選擇題：不等式x2>9的解集為（ ）．

（A）x＞±3

（B）x＞3

（C）x＜－3或x＞3

（D）－3＜x＜3

很多學生容易選擇（A），為何會造成這樣的錯選呢？這正是由于學生受解方程x2=9所形成的技能習慣定勢造成的．這種習慣性差錯，在解題過程中，會不知不覺地被定勢錯覺引向錯誤的結論．

3． 泛化錯覺. 根據巴甫洛夫的條件反射理論，學習就是學會對刺激作出反應，即條件反射．所謂條件反射，就是某種刺激與反應之間聯系的形成．然而就是這種條件反射，有時也會對學習起負面作用．在巴甫洛夫所提倡的學習規律中，有一條是泛化律：即某一種條件反射一旦確立，就可以由類似于原來條件刺激的刺激引發．在數學學習中，由于對概念、命題等缺乏實質性理解，如果遇到與大腦中原有的知識結構中類似的問題，就會自然地引發大腦產生一種傾向：用現有的模式去解決它，從而容易導致錯誤，這樣一種現象叫做泛化錯覺，它的特點就是把原有的知識結構的適用范圍擴大化了．

例如，在對數運算中，常常會出現一些學生“編造”出來的公式，教師應予以特別注意，其中最常見的有：

lg（M+N）= lgM+lgN ……（1）

lg（M－N）=lgM－lgN……（2）

=lg（M－N） ……（3）

lg（5M）=5lgM ……（4）

類似的還有：

sin（?琢-?茁）=sin?琢-sin?茁 ……（5）

a÷（b+c）=a÷b+a÷c ……（6）

（a-b）２=a2-b2……（7）

出現（1）~（6）錯誤的一個重要原因就是學生把符號“lg”、“sin”看成一個數，根據平日的運算法則，作乘法分配律、交換律等，甚至認為分配律也適用于除法，從而犯了上述性質的錯誤．而（7）式的錯誤則是因為學生把先前學習的公式（ab）n=anbn的適用范圍擴大了．

4． 視覺錯覺. 由于刺激于視覺器官的刺激物中各個成份的相互影響，或是主體某種生理和心理的原因，往往造成視覺失誤，通常稱為視覺錯覺．這是視覺的負效應的表現．這種錯覺主要是由于對圖形的認識不徹底、不深刻而引起的．在幾何學習中，這樣的例子最為多見．

如：已知二面角α－MN－β， ∠BAC=∠ACD．有些學生根據圖形的觀察，就想當然地認為AB∥CD，而實際上二者異S=h（2r）=×2×（2×2）=4（cm2）．

錯因就是由視覺判斷失誤引起的．很多學生就憑視覺觀察想當然認為“軸截面是面積最大的截面”．事實上，由圖3易得軸截面頂角為１２０°，設PCD為過頂點P的任一截面，∠DPC=?茲，則SPCD=（２）２＋２２#8226;sin?茲，當?茲=90°時，最大截面積S=×16=8（cm2）．

一般地，當軸截面頂角不大于90°時，軸截面為面積最大的截面，而當軸截面頂角大于90°時，以頂角90°為的截面才是面積最大的截面．

三、消除數學錯覺現象的策略

在數學學習過程中，針對上述造成的各種錯覺現象，教師在教學中，應研究有效的教學策略，采取預防性措施，使學生突破思維定勢，排除影響感知與思維的干擾．

1． 闡明知識形成過程，呈現知識的本質含義，揭示各知識點之間的聯系與區別

教學實踐表明：闡明知識形成、探索的過程，用數學思想方法揭示各概念、命題的本質含義，對于學生理解課本內容是大有幫助的．眾所周知，課本中的概念、定理、法則等的差異并未明顯地敘述出來，都是隱含在知識深處的，這就需要教師去研究、挖掘，讓學生真正明確、理解概念、公式、定理的實質以及它們之間的聯系與區別，防止死套公式，張冠李戴的各種錯覺產生．

2． 對基礎知識、基本技能的訓練進行正誤比較教學

學生在學習過程中，對基礎知識、基本技能的掌握都是從不完善逐步走向完善，從零碎走向完整的，思維隨之也從單一走向多元．在這個過程中，學生難免會出現這樣那樣的錯覺，那么教師就應緊緊地抓住這一點，進行正誤比較，讓學生自己找出錯在哪里，為什么錯，以后應怎樣避免．這樣一來，學生就會吃一塹長一智．

3． 通過正反辨析教學法揭示問題實質，增強對課本知識理解的準確性和深刻性

課本中的概念、法則無論多么簡短、明了，它們都刻劃出了事物的本質屬性，而學生學習時往往容易停留在對這些概念、法則表面意義上的理解，而沒有挖掘其內在的本質，勢必會產生各種錯覺．因此，在實際教學中，教師就要善于把握這一點，對基本概念、原理、方法等從正反兩方面加以比較辨析，找到容易混淆、模糊的地方，予以強調突出，特別是要注意運用反例和特例進行比較教學．因為反例和特例具有鮮明的直觀特征，容易引起學生的注意，也易為學生所接受，是消除錯覺的有效方法之一．

4． 通過多媒體輔助教學的手段，促使學生更好地理解知識的本質內涵

在課堂教學中，適當地使用多媒體進行教學是非常必要的，因為多媒體教學把視覺、聽覺等融匯起來，更能調動學生的學習積極性和參與性，尤其是在學習困難生比較多的班級中更適用．其次，利用多媒體的動畫功能，顯示平時在黑板上描寫不出來的知識發生、發展、形成的過程，讓學生真正理解知識的本質、內涵及其演變過程，更有利于學生本身對知識的建構、內化和運用．

責任編輯羅峰