基于均質實體的切片輪廓非接觸三維測量方法

甘 勇，孫遨然，孫 寧，韋荔甫

（桂林電子科技大學，桂林 541004）

0 引言

目前，對于能測物體內部輪廓的非接觸測量方法主要包括利用發射和接收電磁波信號的雷達成像，利用聲波信號的超聲波成像，利用物體對X射線吸收的計算機體層攝影(CT)等，多應用于特定專業領域，造價較高，且精度和分辨度差異較大；MRI測量法基于核物理學的磁共振理論，能深入物體內部且不破壞物體，對生物沒有損害，在醫療上應用廣泛。但其造價高，目前對非生物材料不適用；采用超聲波的數字化方法相對CT 和MRI而言，設備簡單，成本較低，但測量速度較慢，且測量精度不穩定，目前主要用于物體的無損檢測和壁厚測量。依托圖像處理技術，斷層數據的三維重構技術的應用主要集中在醫學領域，該技術在工業上的應用前景廣闊，其中對新的測量技術與重構算法的研究是其焦點問題之一[1]。參考工業CT的相關測量原理，本文設計了一種基于均質實體的輪廓切片非接觸三維測量方法，突破了目前三維非接觸測量裝置、三維重構算法研發的局限，能對各種形狀的實體輪廓進行測量，該方法的研制成功將有著重要的經濟價值和廣闊的應用前景，并能測量含有通孔等內部輪廓的實體。

1 基于均質實體的輪廓切片非接觸三維測量方法工作原理

如圖1所示，任何一個物體都可以看成是由很多個平行片層組成，每個片層都有很多個微小的正方體組成，一個微小的正方體稱為一個單元體素體，則物體是由很多個單元體素體構成的。根據阿基米德定律：浸在液體里的物體受到向上的浮力，浮力的大小等于物體排開的液體的重量，即浮力的大小與液體的密度和物體排開的液體的體積有關，而與物體的形狀無關。

圖1 空間單元體素體表示的圓環體

本測量方法利用阿基米德定律, 假設被測實體均質并由一個個很小的正方體單元實體組成，所選液體的密度已知，設計浮力測量裝置在精密運動平臺驅動下作垂直運動，液面逐層浸入被測實體一定垂直距離（通常取單元體素體的邊長），利用三維物體的空間單元表示法，可將三維物體離散為有限小的正方體單元的集合，正方體單元沿坐標方向對齊布置，其質量視為單元質量1，稱之為實單元；在被測實體每一片層的相應位置，1表示正方體單元被填充，即實體存在，反之空單元以0表示（如圖2所示）。通過電子天平測量并計算得到相應薄片層的浮力變化值及每片層重力矩等信息，分別對X、Y、Z三個方向的測量、結合液體密度和力臂等參數，逐層計算并提取其質量、重心等信息，轉換測量狀態，經過數據處理，利用重構算法[2]推算出各層面上微小實體單元在三維坐標系中的位置，獲取被測實體的三維信息，重構出被測實體的片層輪廓和三維尺寸。

圖2 正方體單元被填充示意圖

2 測量方案設計及工作過程

根據測量工作原理，浮力測量的精確度直接關系到最后的重構精度，因此測量關鍵是如何準確測量浮力大小。根據本方法測量原理及其重構算法，測量總體方案設計如圖3所示。本測量系統主要包括由平衡系統、精密運動控制系統、液面控制系統、配重系統、精密測重系統等組成的硬件系統和采集數據處理系統等組成的軟件系統。

由阿基米德定律：浸在液體里的物體受到向上的浮力，浮力的大小等于物體排開的液體的重量：

圖3 測量方案結構示意圖

式中，F1為被測物體在液體中受到的浮力，ρ1為液體的密度，V1為排出液體的體積。

要實現被測物體每層體積的測量，除了直接用高精度力傳感器2測出排出液體的重量，再根據式(1)算出排出液體的體積外，為了對潤濕效應和液體表面張力帶來的影響進行補償和修正，還通過設計平衡系統，采用杠桿原理對排出液體重量進行測量，利用高精度力傳感器1測出每層排出液體后浮力的變化，進而算出排出液體的體積，結合兩次所測體積值進行補償和修正。同時，建立空間坐標系，應用杠桿原理可以測出被測物體每層的重力矩，從而可以計算出每層實體的重心位置。分別對被測實體X、Y、Z三個方向進行測量，根據每層算出的體積推算出每層所含單元體素體數量，結合每層重力矩信息、重心信息推算出每個單元體素體的空間位置坐標[2]。測量時，首先把被測實體完全浸入液體中，液體取表面張力系數很小的混合配制液體，通過配重系統調節系統平衡，并保證此時高精度力傳感器1受力很小，計算機軟件對此自動記錄。精密運動控制平臺初始狀態保證容器1中液面處于溢流臨界狀態。通過高精度力傳感器2把初始重量記錄在計算機中。當精密運動控制平臺帶動容器1上升一微小位移時，容器1排出液體流入容器2中，高精度力傳感器2把流入液體的重量送入計算機中，計算機算出這層的體積并記錄。同時，由于液面的變化，系統要維持平衡，則高精度力傳感器1的受力將改變，計算機記錄平衡時的數值，根據杠桿各支點的受力和距離關系可算出該層的重力矩、重心坐標和體積。當液面逐層上升使高精度力傳感器接近其量程時，分別啟動配重系統進行配重，并記錄配重完后各個狀態數值，然后重復進行測量。

由于所測浮力要求很高，采用瑞士Metter－Toledo AB203-S電子分析天平1，最大稱量值為220g，測量精度0.1mg[3]，它通過串口與計算機直接相連，用于測量被測實體浸入液體中每薄層所受的浮力。測量中，橫桿可由力傳感器1和2測量讀數判斷其是否處于平衡狀態。精密運動控制平臺采用美國BAYSIDE LM 系列運動平臺[4]，其重復定位精度達±5μm，它的作用是通過控制定位平臺，實現工作臺的定位，精密運動控制平臺通過計算機根據PMAC控制指令[5]，控制浮力測量裝置液面按指定高度逐層浸沒被測實體，保證被測實體每次浸入容器1中液體的深度都相等。測力傳感器選用航天科技集團703所研制的BK3型電阻應變式測力與稱重傳感器，具有良好的輸出特性和抗偏能力，測量精度高，安裝使用方便，性能穩定可靠，并匹配XSB-I型稱重顯示控制儀，其作用是保護系統穩定和使橫梁處于水平及平衡，從而使配重實體所受的合力與被測實體的重量相當，保證被測實體測量的順利進行。

3 計算每一片層的重力矩與重心坐標位置的數學建模

1）計算被測實體每浸入液體一片層厚度時排開液體體積和其片層質量，對測量控制系統工作原理示意圖3中的組件進行受力分析，如圖4所示。

圖4 測量控制系統原理圖各部件受力分析

圖4中G為被測實體所受的重力，W、W1分別為配重物和配重系統配重物重力；F浮i1，Ti1分別為被測實體在第1位置測量時第i層浸入液體中平衡后所受的浮力、拉力；Nil為被測實體在第1位置測量時第i層浸入液體中平衡后橫桿所受的拉力；T'i1和Tli、Nil和N'i1分別為作用力和反作用力；T天平i1分別為被測實體在第1位置測量時第i層浸入液體中平衡后天平受到的力，通過天平讀數計算得到；L為位置1下掛力作用線距支點距離。L1為天平上下掛懸線與支點距離，L2為配重系統上下掛懸線與支點距離，L3為位置2下掛力作用線與支點距離，ιi、ιi+1分別為在第1位置測量時第i層和i＋1層重心與支點距離。

（1）在位置1測量時，對被測實體進行受力分析，當被測實體在第i層浸入液體中平衡后，由受力平衡和杠桿平衡，有：

（2）在位置2測量時，保持被測實體的測量狀態不變，只改變測量位置，當被測實體在第i層浸入液體中平衡后，由受力平衡和杠桿平衡，有：

當被測實體在第i＋1層浸入液體中平衡后，由受力平衡和杠桿平衡，有：

當被測實體在第i＋1層浸入液體中平衡后，由受力平衡和杠桿平衡，有：

由于是同一層不同位置浸入液體中，則 F浮il=F浮i2，由式(6)減去式(3)：

2）計算每一片層的重心位置

為研究的方便，可取邊長為單位1的正方體為體素單元，其質量為單位1，此正方體單元的重心位于其幾何中心，實測數據可轉化為由質量單元表示的重量。根據式(2)和式(7)，有：

式中，mj為第i層相應實單元體素體。

（2）由實單元體素體定義并根據二進制圖像象素值只取0或1，有：

3）建立空間坐標系，由質點系重心坐標公式，求相應片層重心坐標。

由于重力作用在物體的每一微小部分上，為一分布力系，工程上通常把物體各微小部分的重力視為空間平行力系。物體的重心即物體重力合力的作用點，相對于物體本身來說就是一個確定的幾何點，重心相對于物體的位置是固定不變的。測量時液面逐層浸沒被測實體，考慮實體薄層的重心。由合力矩定理，設空間直角坐標系oxyz，其中z軸平行于物體的重力，設薄層實體由許多微小單元（稱為單元體素體）組成。設第i單元重力為Wi，該實體重心C在x、y軸的坐標為（xc，yc）， 為實體的總重力，分別求實體的重力對x、y軸的矩。將實體固定在坐標系中，隨坐標系一起繞x軸旋轉90°，使y軸鉛垂向下，對x軸應用合力矩定理，得到薄層實體重心C的坐標（xc，yc，zc）公式為：

同樣，可得其他狀態時相應片層質量與重心等參數的方程，建立求解數學模型聯立求解，由于未知數個數很多，上述方程組系超定方程，傳統的求解方法難以求解，通過智能計算聯立求解，可計算各層單元體素體質量和相應坐標。

4 結論

通過實驗分析驗證，對電子天平測量浮力時由于液體的波動而導致的動態測量誤差、PMAC平臺定位誤差引起的測量誤差、橫梁變形產生的誤差、支點處摩擦與偏移產生的誤差、滾珠絲杠熱變形產生的誤差、環境溫度變化引起的測量誤差和液體表面張力引起的測量誤差等進行補償。已經能實現對被測實體的片層輪廓單元體素體（邊長為0.5mm）的測量。由于本課題數學模型提供的解是在空間坐標系下有序的點云圖，利用點云拓撲關系，對點云數據進行預處理。采用快速鄰點搜索、三角網格等方法，利用反求工程CAD建模軟件和方法，可以對基于有序點云圖的片層輪廓圖形進行重構，根據被測實體所有片層輪廓進而可以實現其三維重構。

[1] 孫宇臣,葛寶臻,張以謨.物體三維信息測量技術綜述[J].光電子.激光,2004,2:248-253．

[2] Yong GAN,Ning SUN,Qing-hua KONG.Research On Method of 3D Contour Digital Measurement For Equal-density Entity.Proceedings of ICMEM2007,2007,12:395-400.

[3] 梅特勒－托利多B-S系列天平操作手冊[Z].Mettler-Toledo instruments(shanghai)Co.

[4] BAYSIDE 精度定位平臺[Z].北京元茂控制設備技術有限責任公司.

[5] PCOMM32PRO SOFTWARE REFERENCE MANUAL[Z].DELTA TAU Data Systems,Inc.2003.