高強度鋼板在雙向等曲率模中的成形回彈研究

廖娟，周馳，阮鋒

(華南理工大學 機械與汽車工程學院，廣東 廣州，510640)

隨著節能與環保逐漸成為汽車行業的主要需求，汽車輕量化概念應運而生[1]。為了在減少汽車質量的同時，不降低汽車的安全性能，高強板在汽車工業中的應用越來越普遍[2]，但是，由于高強板具有較高的屈強比，其回彈問題相對于普通鋼板更為嚴重，因此，也限制了高強板的進一步推廣應用[3-7]。沖壓回彈是由于卸載后沖壓件內部的彈性應變能釋放而產生的一個彈性回復過程。對于一個復雜的沖壓件，如果將其離散成多個四邊形曲面片，回彈問題就轉換為各個曲面片單獨的彈性應變能釋放以及它們之間的互相影響問題。當曲面片足夠小時，每個曲面片可以近似地認為是一個雙曲率的曲面片。因此，研究雙曲率形狀沖壓件的一些成形特性及規律可以為復雜沖壓件回彈的預測及控制奠定一定的基礎。對于板料的回彈問題，國內外已經進行了大量的研究工作，但是，大部分的研究主要是針對二維彎曲回彈問題。對于三維板料沖壓回彈問題，由于成形的曲面大多數是不可展面，板料在成形過程中不可避免會同時受到膜力和彎矩的作用，兩者共同決定板內應力分布和變形模式[8]，因此，在成形及回彈的計算過程中需要綜合考慮膜力和彎矩的作用。雙曲率面是比較典型的不可展面，其變形過程中同樣受到膜力和彎矩的共同作用，其力學模型比單純的二維彎曲變形要復雜許多，回彈的預測及控制也較困難。這方面的研究受到了國內外一些研究者的關注。如：Yu等[9]研究了銅、鋁、軟鋼在雙向曲模中的沖壓變形過程，得出了不同階段的變形模型；Parsa等[10]通過物理實驗得出了板料厚度及模具曲率對雙曲率零件回彈的影響。但是，目前這些研究工作大多是針對普通鋼板的，對于高強板在雙曲模中的成形特性及回彈規律的研究還比較少。在回彈預測方面，由于有限元方法能處理復雜的幾何形狀及邊界條件，因而在回彈問題的處理上具有不可替代的優勢；但是，有限元方法處理回彈問題時包括成形和預測兩部分，成形部分的計算精度對回彈計算的精度產生重要影響，而影響成形精度的因素又非常多，計算所需時間較長，系統開銷大[11]。Xue等[12]提出的基于塑性膜理論的能量法預測模型簡單易行，具有計算速度快的優點，但其僅能夠對膜力占絕對優勢的雙曲率形狀的零件進行快速地回彈預測，并不具有普遍性。本文作者在文獻[12]的基礎上進一步改進算法，綜合考慮彎矩和膜力對回彈的影響，并采用 Khan-Huang本構模型[13]來表征高強度鋼板的應力應變曲線，建立了方形高強板在雙向等曲率模具中的沖壓回彈預測模型。最后，進行高強度板在雙向等曲率模具中成形的實驗研究，探討其回彈規律，并驗證了該預測模型的有效性。

1 能量法預測回彈的理論計算模型

下面的理論分析模型主要針對方形毛坯在雙向等曲模沖壓下的變形及回彈過程，如圖1所示。分析之前，先引入一些基本假設。

1.1 基本假設

(1) 材料是不可壓縮的，即變形過程中體積不變。

(2) 忽略橫向剪應力。

(3) 材料是非線性硬化的，應力-應變關系采用Khan-Huang本構模型描述。

1.2 能量法求解應變

圖1所示為1/4方形毛坯及其成形后的形狀(中心層)，方板的邊長為 2a，毛坯以邊長為半徑分為圓內OAC和圓外ABC 2個部分。在OAC以內，假設沿經線方向將a均分成n段，每段的徑向應變設為iφε，i=1，2，…，n。當n足夠大時，可認為每段內iφε為常量。

設成形后球的曲率半徑為 R。由成形前后的幾何與應變關系可以推導出如下第i段周向應變iθε與徑向應變的關系[7]。

圖1 方形板及其離散示意圖Fig.1 Schematic illustration of square plate and its discretization

由體積不變的假設可知：

其中：εφ，εθ和 εz分別為徑向、周向及法向的應變。而由塑性形變理論可知：

式中：σm為平均應力。

設σφ，σθ和σz分別為徑向、周向及法向的應力，根據塑性成形原理可知，等效塑性應力σe、等效塑性應變εe分別為：

平均應力σm為：

式中：E為材料的彈性模量；v為泊松比；εm為平均應變。

由式(2)和(4)可以推出：

由假設(3)及文獻[13]得等效應力σe與等效應變εe的表達式：

其中：k1，k2，m1和m2為材料參數。

因此，單位體積內的應變能u為：

由于本文的研究對象為方形板，因此，除了圓形毛坯內部的應變能外，還應加上外圍四邊角部的應變能，如圖1所示，將ABC部分沿徑向按相同的寬度繼續等分成n′段，假設這部分的周向應變沿半徑方向呈線性變化遞減，到B點時應變為0。則ABC部分第i段徑向應變 εφi與周向應變 εθi分別為[12]：

設OAC部分的總應變能為U1，ABC部分的總應變能為U2，ui為第i段的單位體積應變能，h為板料的初始厚度，則在2個區域分別取式(8)體積分可得：

因此，僅考慮膜應變時方形板總應變能為：

進一步考慮彎曲的影響，則板沿厚度方向劃分的各層纖維中有部分將被拉伸，部分將被壓縮，各層應變值不能單由中心層應變來代替。

考慮彎曲效應時需增加2個假設：

(1) 彎曲變形前后板料厚度變化可以忽略；(2) 彎曲變形前后截面滿足平截面假設。

如圖2所示，將厚度為h的板劃分成2n1+1層，每層的厚度為 h1=h/(2n1+1)，則從中心層算起的第 q層第i段的徑向應變 εφiq和周向應變 εθiq分別為[14]：

其中：iφε和iθε為第i段中心層的膜應變，其表達式見式(1)。由式(13)計算時，q的符號如此規定：q為壓縮層時為負，為拉伸層則為正。

圖2 板彎曲示意圖Fig.2 Schematic illustration of a bent plate

將式(13)代入式(6)可得第q層的等效應變εeiq為：

將式(14)的 εeiq代替式(10)和(11)中的 εei，可得第 q層的應變能 U1q和 U2q的表達式，再對各層的應變能求和，則可得考慮膜效應及彎曲效應的整個殼的總應變能為：

根據最小能量原理，在一切滿足條件的應變場中，只有使系統總能量為最小的應變，才是真實的應變，因此，有：

由此可以得到n+n′個非線性方程組，從而可以解出沿經線方向的各段應變，再由式(1)和(9)可以分別算出OAC及ABC部分圓周方向中心層的應變εθi。

1.3 回彈預測

1.3.1 膜效應引起的回彈

當卸除外加沖壓力后，工件由于彈性應變的釋放而產生回彈。根據廣義虎克定律，可知卸載引起的中心層第 i小段徑向彈性應變 ε′φi及周向彈性應變 ε′θi分別為：

結合式(3)和(5)，式(17)可簡化為：

工件卸載后，由于彈性應變的釋放從而產生回彈，零件幾何形狀的變化如圖1所示。由應變與幾何關系可以推導出中心層回彈后第A′i點的坐標(xi，yi)[12]：

其中：

由式(20)即可求得膜效應引起的工件的回彈后各點坐標xi和yi。

1.3.2 彎曲效應引起的回彈

根據彎矩定義可知，施加在板橫截面上的徑向彎矩Mφi、周向彎矩Mθi(單位寬度)分別為：

由式(3)和(7)得 σφiq及 σθiq，再代入式(21)可得：

已知回彈后曲線的曲率求回彈后的曲線形狀，這里采用文獻[15]所提出的分段近似求解，當段距足夠小時，可以將任意小段的曲率看成是沿弧長線性變化的，即

其中：s為弧長；θ為曲線的切線方向角；k為曲率；m和n為參數。然后，根據曲線的微分幾何理論推導可求得下式(推導過程見文獻[10])：

根據每段的曲率弧長可以分段求出參數mi和ni，而參數ci則由每段的邊界條件決定。

第i段的弧長計算公式為：

采用數值方法求解式(26)，可以求得第i點由彎矩卸載引起的回彈后零件各坐標 x′i和 y′i。

將膜效應及彎曲效應引起的回彈進行疊加，可預測出工件最終的回彈后零件各點最終坐標位置

得到各點坐標后，采用樣條曲線進行擬合，即可得回彈后零件最終形狀。

2 實例研究

為了驗證上述理論，下面對1個實例進行預測。零件尺寸如圖3所示，其中R1=R2=180 mm，2a=150 mm。

圖3 實驗模具尺寸示意圖Fig.3 Dimensions of the experimental die

為了便于對比，實驗采用5種厚度均為1 mm的材料進行沖壓，其中包括2種高強度板Docal 1000DP和 Docal 1200M。5種材料的應力-應變曲線如圖 4所示。

2.1 計算與實驗結果的比較

根據1.2節的算法對2種高強度板在上述雙曲模中成形后的應力應變進行求解，計算中2種高強板的K-H本構模型中的參數取值，如表1所示。計算后可得出試件成形末端的應力和應變。圖5所示是當n取30時計算出的高強板Docal 1000DP各小段的徑向、周向及等效應力。

圖4 5種材料的真應力-真應變曲線Fig.4 Stress-strain curves of five materials

表1 2種高強板的K-H本構模型擬合參數Table 1 Parameters in K-H constitutive model of two AHSS

圖5 Docal 1000DP 板成形后各段的徑向、周向及等效應力Fig.5 Stress in meridional, circumferential direction and effect stress of deformed plates made of Docal 1000DP

求得各應力后根據1.3節中的算法進行回彈預測。圖6所示為Docal 1000DP與Docal 1200M 2種試件的預測回彈形狀。其中：預測形狀1表示的是僅考慮膜效應預測所得回彈形狀，預測形狀2為綜合考慮膜效應及彎曲效應所得回彈形狀。表2所示為2種預測形狀與實驗所得形狀的最大法向偏差及平均法向偏差。由表2可知：預測模型2預測的高強板Docal 1000DP與Docal 1200M的平均法向偏差比預測模型1分別減少了82%及71%。同時，由表2及圖6可以看出：膜效應對回彈的影響不可忽略，但是，綜合考慮膜效應及彎曲效應后預測的形狀更接近實驗所得回彈形狀。改進后預測模型的最大法向偏差均小于0.35 mm，平均法向偏差均小于0.15 mm。

表2 理論預測形狀與實驗所得形狀偏差對比Table 2 Difference comparison between prediction profiles and experiments

圖6 Docal 1000DP與Docal 1200M 的理論預測回彈形狀與實驗結果對比Fig.6 Comparison of profiles of sheets made of Docal 1000DP and Docal 1200M obtained by theoretical prediction and stamping

2.2 結果討論

2.2.1 最終曲率的分布

圖7所示為高強板Docal 1000DP在沖壓力分別為320 kN和640 kN下的最終曲率k1和k2為弧長的關系對比。由圖7可見：k1和k2均表現為中間部分曲率波動較均勻，靠外緣部分曲率波動較大，臨界點位于弧長比例s約0.25及0.75處，這一現象在其他幾種材料上也有發現，不過高強板的曲率突變更為明顯。與試件比照可知，曲率的高峰值對應板邊緣輕微起皺的部分。

由圖5可知：該曲率突變點剛好與周向應力為零(約第 15段處)的臨界點對應，當 0.25＜s＜0.75時，板處于雙向受拉的狀態；而當s＜0.25或s＞0.75時，板處于徑向受拉，周向受壓的狀態，因而更容易起皺。

2.2.2 回彈影響因素分析

根據Yu等[9]的研究發現：當無量綱沖壓力P/(σrS)滿足 P/(σrS)＞h/(2R)，平均回彈比 η幾乎趨于常數。其中，P為沖壓力；σr為屈服強度；S為零件橫截面積；h為板料厚度；R為雙向等曲率零件的曲率半徑。對于本例這個臨界值為2.8×10-3，實驗對不同材料設置了不同的無量綱沖壓力，所設置的各沖壓力均遠大于該臨界值。

表3所示為本次沖壓實驗的方案及所得結果。由表3可以看出：在超過臨界值之后，沖壓力的改變對平均回彈比的影響非常小。材料參數對平均回彈比的影響比較大。從整體看，隨著材料屈彈比σr/E的增大，η減小，回彈增大。2種高強板的回彈明顯比前3種材料要大很多，Docal 1200M的回彈最大，回彈比達到了0.58。

圖7 Docal 1000 DP板在沖壓力分別為320 kN和640 kN作用下k1和k2的分布Fig.7 Distribution of final curvature of Docal 1000DP plates after being pressed by pressures of 320 kN and 640 kN

表3 不同材料在不同沖壓力下試件的回彈比Table 3 Ratios of springback for different materials under different stamping forces

3 結論

(1) 在雙曲率零件的成形回彈過程中，膜效應與彎曲效應對回彈的影響需要同時考慮，綜合考慮2種效應的預測模型所得結果更加接近實驗結果。2種高強板預測形狀與實際的平均法向偏差均小于0.15 mm。

(2) 當沖壓力滿足 P/(σrS)＞h/(2R)的情況下，進一步增大沖壓力對試件回彈的影響不明顯；而材料的屈彈比對試件的回彈影響很大；隨著屈彈比的增加，回彈增大，特別是高強板，其回彈量甚至比一些普通鋼板的回彈量高約40%。

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