不確定離散廣義系統的D穩定魯棒非脆弱可靠控制

李吉祥，武俊峰，樊麗影

(1. 哈爾濱理工大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱，150080；2. 哈爾濱理工大學 應用科學學院，黑龍江 哈爾濱，150080)

在設計控制系統時，為了保證系統具有一定的穩態和動態性能，使系統的閉環極點位于一個給定的圓盤區域內[1]。對于離散系統，這個圓盤區域則指位于圓心在原點的單位圓內的圓形區域。在實際系統中，存在著各種不確定性，這些不確定性可能導致系統結構發生改變，甚至造成系統不穩定。因此，不考慮不確定性因素的系統控制可能將難以獲得理想的實際效果[2-6]。人們對不確定系統的區域極點配置問題進行了大量的研究，目的是對所有容許的不確定性，使不確定系統的閉環極點位于指定的區域[1-3,7-8]。可靠控制是將系統部件可能發生的故障考慮在控制器設計過程中，所得到的可靠控制器可使閉環系統無論部件是否出現故障都能保持漸近穩定性和可接受的性能指標[9-13]。在D穩定可靠控制方面，人們也進行了很多研究[2-3,7-8]。孫金生等[2]研究了一類多變量不確定離散線性系統的D穩定魯棒容錯控制；Yand等[9]利用連續的傳感器故障模型研究了輸出反饋的 LQG 控制問題；顧洲等[10]研究了考慮執行器故障的容錯控制器的設計問題，使得系統閉環H∞均方內指數漸近穩定, 且具有H∞范數界的故障分布依賴的解；王福忠等[7]研究了求解一凸優化問題，且解滿足相應的約束，使控制器不僅滿足閉環系統可靠性的要求，而且還滿足D穩定、方差和H∞范數約束的要求，但是，在離散不確定廣義系統中沒有考慮滿足可靠性條件下系統的控制參數存在不確定性的研究。基于這個問題，本文作者研究了不確定離散廣義系統的D穩定魯棒非脆弱可靠控制問題，解決了系統參數及控制參數在某一區間變化時，該控制器能確保閉環系統的正則性、因果性和D穩定性，所得結論均以線性矩陣不等式的形式給出，應用MATLAB中的LMI工具箱，可以方便地求解出其D穩定的控制器。

1 問題描述

1.1 系統描述

本文研究的對象是不確定廣義離散系統：

式中： E ∈ Rn×n，并且rank(E)≤n； x ( k) ∈ Rn，為系統的狀態向量； u ( k) ∈ Rm，為系統的狀態反饋控制向量。

式中：A∈Rn×n；B ∈ Rm×n；H，D1和 D2為具有適當維數的已知實常數矩陣。

1.2 故障描述

當執行器發生故障情況下，系統執行器的輸出可能出現輸出失效(大于、小于正常值或等于零)的情況。

定義執行器的故障矩陣[14]為：

其中：0≤mli≤mi≤mui；mli＜1；mui≥1；i=1，2，…，p。顯然：當mi=0時，表示執行器第i條通道完全失效；當mi=1時，表示執行器第i條通道正常工作；當0≤mli≤mi≤mui且 mi≠1 時，表示執行器第 i條通道部分失效。

引入如下矩陣：

本文的研究目的是設計適當魯棒非脆弱可靠控制器：

使得系統(1)在控制器(4)作用下的閉環系統：

滿足正則、因果和D穩定。其中： KΔ= K + ΔK，K為狀態反饋增益；ΔK為狀態反饋的不確定項，

M1和N為具有適當維數的已知實常數矩陣，

為了證明方便，引入以下約定和引理。

約定： H e{ A} = A + AT

引理 1[15]設Y為對稱矩陣，N1和N2為適當維數的矩陣，Θ 為時變適維矩陣，且 ΘTΘ≤I，標量β＞0，則

的充要條件為

引理2[1]離散廣義系統

正則、因果且穩定的充要條件是存在可逆對稱陣 P＞0，使得以下2個不等式成立：

引理3[1]考慮離散廣義系統：

其中： a ∈ C ； b ∈ C ，并且b≠0。

下面2條性質是等價的：

(1) 系統(8)和系統(10)有限特征根滿足：

λ10=a + bλ8

(2) 系統(8)是正則、因果的，當且僅當系統(10)是正則、因果的。

2 主要結果

定理1 對于給定的α和r，且r＞0廣義系統(8)是正則、因果和D穩定的，滿足 σ (E , A ) ∈ D(α , γ)，如果存在正定對稱矩陣P ∈ Rn×n、滿秩 R ∈Rn×(n -r)和Q ∈ R (n- r )×n，滿足以下2個線性矩陣不等式：

其中：ETR=0。

證明 考慮系統(8)，選擇系統的 Lyapunov函數為：

它沿系統(8)的前向差分為

因為ETR=0，故

式(13)加式(14)后，有：

將上式經過計算整理后得：

其中：

因為ETR=0，所以，

若Σ＜0，即ΔV(x(k)＜0，則系統(10)是正則、因果且穩定的。由引理3可得：系統(8)如果是正則、因果且滿足D穩定，即 σ (E, A) ∈ D(α, γ)，當且僅當系統(10)正則、因果且穩定的。

證畢。

定理2 當存在控制器u(k)=Kx(k)，使得離散廣義系統(1)是正則、因果的，且滿足 D穩定，滿足σ(E, A) ∈ D(α, γ)。若存在正定對稱矩陣P ∈ Rn×n，S ∈ Rn×n，Q，G和實數 ε(ε＞0)，滿足如下線性矩陣不等式：

式中：

當式(16)有解時，不確定廣義離散系統的控制器為：

證明 系統(1)的閉環系統可以改寫為：

根據定理1，若系統(17)是正則、因果和 D穩定的，并且滿足 σ (E, B ) ∈ D(α, γ)，則下式成立：

經過計算后，

令?→0+，得到下式：

因為 det(zE-(A+BK-E))=det(zET-(A+BK-E)T)，所以，(E，(A+BK-E))是正則、因果并且D穩定的，當且僅當(ET，(A+BK-E)T)是正則、因果并且D穩定的。則式(18)等價于下式：

將系統(1)代入上式，得：

在開發運城市數字城市系統中，我們采用了基于3DGIS數字化城市海量模型數據調度策略，并用OSG(OpenSceneGraph)技術設計實現。

其中： Ac= A + B K - E。由引理1得下式成立：

由Schur補性質得下式成立：選取G=KS，則式(16)成立。

證畢。

定理3 當存在控制器u(k)=MKx(k)，使得離散廣義系統(1)是正則、因果且滿足D穩定的魯棒可靠控制系統，滿足 σ (E, A) ∈ D(α, γ)，如果存在正定對稱矩陣P，S，Q，G和實數ε＞0，β＞0，滿足如下不等式

證明 由定理2可得下式成立：

經計算整理后上式等價于下式：

根據引理1，可得下式成立：

經2次應用Schur補性質得：

證畢。

定理4 離散廣義系統(5)是正則、因果且滿足D穩定魯棒非脆弱可靠控制系統，并滿足σ(E, A) ∈ D(α, γ)，如果存在正定對稱矩陣P，S，Q，G和實數ε＞0，β＞0，ρ＞0，滿足如下不等式：

則 K=GS-1是 D 穩定非脆弱可靠控制器(4)的反饋增益。

證明 根據定理3可得，

將上式整理后得：

將控制器的不確定性代入上式，并整理公式得下式成立，

根據引理1，可得下式成立：

由Schur補性質可得式(20)成立。

證畢。

3 數值實例

考慮不確定離散線性廣義系統(1)的魯棒控制，其參數為：

取 σ (E, A) ∈ D(0.2, 0.4)。故障矩陣M=diag(m1，m2)。其中：0≤m1≤1；0≤m2≤0.8。

由定理3中的方法設計系統的控制器，有：

相應的狀態不確定可靠控制器為：

系統(1)在可靠控制器作用下系統的閉環極點分布如圖1所示；當控制器存參數存在擾動時設擾動的值 ΔK=diag(-0.1，0.1)時，系統(1)的閉環極點分布如圖2所示。從圖1和圖2可以看出：當控制器參數存在攝動時，對于系統參數的不確定性，閉環極點不全部位于給定的區域之內。

由定理4的設計方法設計非脆弱可靠控制器，有：

對應的狀態不確定可靠控制器增益為：

當非脆弱控制器作用于系統(1)，且控制器存在不確定性 ΔK=diag(-0.1，0.1)時，閉環極點在控制器參數攝動時仍然位于給定的區域之內，如圖3所示。

從仿真結果可以看出：對于同樣的控制器參數攝動，可靠控制系統的閉環極點已經超出了給定的區域，如圖1和圖2所示；而非脆弱可靠控制系統的閉環極點仍然位于給定的區域，如圖3所示。因此，不確定廣義系統的非脆弱可靠控制表現出的魯棒性能優于不確定廣義系統的可靠控制表現出的魯棒性能。

圖1 可靠控制下發生執行器故障閉環極點分布圖Fig.1 Pole placements under reliable control with actuator failures

圖2 當控制器參數變化時，可靠控制下發生執行器故障的閉環極點分布圖Fig.2 Pole placements under reliable control with actuator failures and uncertain controller

圖3 非脆弱可靠控制下發生執行器故障閉環極點分布圖Fig.3 Pole placements under non-fragile reliable control with actuator failures

4 結論

(1) 針對一類不確定的離散廣義系統，設計了魯棒非脆弱可靠控制，使得閉環系統正則、因果，且D穩定。

(2) 給出了不確定離散廣義系統的正則、因果和D穩定的條件。當不確定離散線性系統在執行器發生連續增益故障時，設計了仍然能滿足系統性能的可靠控制器。研究了不確定離散系統的D穩定魯棒非脆弱可靠控制存在的條件。

(3) 利用求解線性矩陣不等式(LMI)的方法，求得系統的控制器，可以保證系統在執行器發生故障的情況下，仍能一定限度地保證系統的性能指標。仿真實例驗證了本文所提出的設計方法的正確性和有效性。

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