基于廣義線性模型的概率風險評價方法及其應用

張進春，吳超

(中南大學 資源與安全工程學院，湖南 長沙，410083)

風險事件的發生是在多個影響因素共同作用下的隨機事件。風險評價就是根據多個影響因素的狀態確定事件可能處于的狀態及其發生的概率[1]。風險事件具體發生的狀態通常采用屬性變量或離散型變量表征，因此，風險評價屬于有序多類別評價問題，而隨機性則是其本質特性。常見的風險評價方法如模糊綜合評價法[2-3]、灰色理論評價法[4-15]、TOPSIS[6]法等基于專家經驗進行風險評價，無法避免主觀性；而神經網絡[7-15]、支持向量機等智能算法[9-10]基于樣本信息的先驗知識，克服了專家經驗的主觀性，評價結果的準確性較高。但上述方法均沒有給出風險事件發生的概率，最終導致評價結論為確定性結論，不能反映風險事件的隨機特性。近年來發展起來的廣義線性模型(Generalized linear models，簡稱GLM)[11]突破了傳統回歸模型對響應變量的正態性與方差齊性的要求，在2個方面對傳統回歸模型進行了推廣：一方面，響應變量的分布服從指數族分布，如二項分布、泊松分布等，不要求響應變量必須服從正態分布；另一方面，引進連接函數將響應變量的期望值與解釋變量的線性組合聯系起來。廣義線性模型具有對響應變量的寬泛要求等優越特性，特別適合于非線性、多類別問題的回歸。在此，本文作者基于廣義線性模型的基本原理，提出采用變換的風險事件發生的累計發生概率作為聯系函數，基于風險樣本的先驗信息建立風險評價回歸模型，并利用回歸模型進行概率風險評價的方法。

1 廣義線性模型的基本原理

廣義線性模型基于指數簇分布，可以對非正態分布的數據進行回歸分析，但又保留了很多正態線性回歸模型的常規思想。其基本形式表示為[11]：

式中：Yi為因變量向量；g(x)為聯系函數；Xij為已知自變量矩陣；βj為需要估計的模型參數向量；ξi為干擾項；φ為方差函數V(x)的散布參數；ωi為每一觀察值的信度或權重；var為方差。廣義線性模型的基本構成包括隨機部分、系統部分和聯系函數3個部分。

(1) 隨機成分用于明確因變量的概率分布。隨機成分包含自然指數分布族中某一個分布的若干獨立觀察值Y=(y1，y2，…，yn)。自然指數分布族概率分布的每個觀察值的密度函數為：

式中：a(·)，b(·)和 c(·)為已知函數；θ 為典則參數；φ為散度參數。任何一個可以寫成這種形式的分布都是自然指數分布族的一員。

(2) 系統成分確定預測解釋變量的線性函數。廣義線性模型的系統成分通過一個線性模型η=Xβ將向量η=(,…,η)T與一組解釋變量聯系起來。其n中：X為設計矩陣，包括解釋變量的 n個觀察值；η為線性預測向量。

(3) 聯系函數用于描述系統成分與隨機成分的期望值之間的函數關系。設 μi= E[Yi]=(1，2，…，n)，μi與 ηi通過 ηi=g(μi)聯系。其中，g(·)為任意單調可導函數。模型通過式(4)將因變量觀察值的期望值與解釋變量連系起來。

2 基于GLM的概率風險評價方法

2.1 風險概率GLM回歸

設某風險事件有J個類別或等級rj(j=1，2，…，J)；設 n 組觀測數據(y|X)i=(y|x1，x2，…，xk)i(i=1，2，…，n)。其中：y=(y1，y2，…，yJ)為表示風險事件的類別向量；yi∈(0，1，…，J)；X=( x1，x2，…，xk)，為自變量向量。設Pi為在自變量Xi條件下風險事件屬于某一等級rj的累計發生概率，Pi=P(yi≤j|Xi)。由于0≤Pi≤1，考慮到 Pi的微小變化很難用普通的方法發現或處理，Pi與 x1，x2，…，xk的關系很難用線性模型描述，因此，采用對Pi進行logistic變換[12]加以解決：

Q的取值區間變為(-∞，+∞)。假設Q與自變量之間X具有線性關系，基于廣義線性模型的基本原理，由式(4)和(5)取聯系函數：

式中：βi(i=1，2，…，k)為系數向量；εi為殘差。

利用極大似然估計，獲得參數β的估計β?，回代式(5)和(6)則得到回歸方程：

2.2 參數β的極大似然估計

普通線性回歸假設響應變量為正態分布，采用最小二乘法進行參數估計。廣義線性模型對響應變量的正態性不做要求，故不同于普通線性回歸，其參數 β采用極大似然估計法進行估計。n組觀測數據(yi|Xi)(i=1，2，…，n)在相互獨立的條件下，其似然函數表示各觀測的邊際概率的乘積，為了簡化計算，以對數似然函數表示：

則參數β的最優解存在于似然函數的最大極值點處，即似然函數對每個系數的一階導數為0：

采用Newton-Raphson[13]迭代算法求解，當似然函數收斂時，算法終止：

2.3 模型的檢驗

所建立的風險概率回歸模式是否具有較高的擬合優度，必須對其進行檢驗。普通線性回歸模型基于最小二乘法建立回歸方程，通過預測值與實際值的離差進行方差檢驗。當響應變量為連續型變量時，該方法適用。然而，由于在風險事件評價中，響應變量為屬性變量或離散變量，故基于離差的方差檢驗方法不適用。采用皮爾遜χ2檢驗法[14]對風險概率回歸模式方程的擬合優度進行檢驗：

式中：χ2為皮爾遜檢驗統計量；n為樣本總數；mj為樣本數據中屬于某風險類別rj的個數；Pj為相應風險類別的rj累計概率。

皮爾遜χ2檢驗根據各風險類別的實際觀測頻數與理論期望頻數的相對平方偏差的總和進行檢驗：若χ2充分大，則應認為回歸的擬合優度不顯著；否則，則認為顯著。

2.4 風險評價

對于某待評價樣本x? = (x?1,x?2,…,x?k)，代入式(4)求取樣本評價結果的J個累計概率(P ?1, P?2,…, P ?J)，進而求取樣本x?隸屬于各個特定評價等級的概率( p?1, p?2,… , p?J)：

3 評價方法在煤與瓦斯突出風險評價中的應用

在煤礦生產過程中，煤與瓦斯突出事故極易造成大量人員傷亡和財產損失，因其后果嚴重而成為煤礦災害之首。煤與瓦斯突出預測與評價也成為煤礦安全管理的重點。由于煤與瓦斯突出事故的內在機理極其復雜，迄今為止，仍然沒有得出突出影響因素與突出事件之間相關解析規律。基于經驗的傳統預測技術存在一定的不精確性，且很難反映出各突出影響因素下瓦斯突出的統計特性，即沒有給出概率。苗琦等[15]基于灰色關聯分析的神經網絡方法，以我國典型突出礦井的煤與瓦斯突出實例建立煤與瓦斯突出評價模型，并選擇云南恩洪煤礦為煤與瓦斯突出礦井評價對象進行評價。針對文獻[15]中的數據，利用基于GLM的概率風險評價方法對其進行風險預測與評價。

3.1 評價模型的建立

根據突出強度，將煤層煤與瓦斯突出分為4種情況：非突出煤層(記為“無”)；少量突出(煤質量在 50 t以下，記為“小”)；一般突出(煤質量為50～100 t，記為“中”)；大量突出(煤質量在 100 t以上，記為“大”)。 選取瓦斯放散初速度(Δp)、煤的堅固性系數( f )、瓦斯壓力、煤體破壞類型和開采深度作為影響煤與瓦斯突出強度的因素指標。其中煤體破壞類型分為5類：Ⅰ 非破壞煤；Ⅱ 破壞煤；Ⅲ 強烈破壞煤；Ⅳ 粉碎煤；Ⅴ 全粉煤，分別表示為序號 1～5。樣本原始數據見表1。

以突出強度作為響應變量，以放散初速度、煤的堅固性系數、瓦斯壓力、煤體破壞類型和開采深度作為預測變量，以表1中20個樣本數據建立煤與瓦斯突出的風險概率 GLM回歸模型。模型系數的極大似然估計迭代過程如圖1所示，模型的對數似然函數在經過18步迭代后收斂于最大值-18.464 5。模型的皮爾遜檢驗顯示χ2=69.59，自由度為52，對應的概率p為0.052(＞0.050)，因此，模型具有較高的擬合優度。

3.2 模型的應用

云南恩洪煤礦為煤與瓦斯突出礦井，經鑒定在標高為1 874～1 932 m以下具有突出危險性。以該礦的煤與瓦斯突出實例為研究對象，選擇8個突出實例作為評價樣本，見表2。

圖1 模型系數的極大似然估計迭代求解過程Fig.1 Iterative calculating process of coefficients of regression model

應用所建立的概率風險評價模型，對該礦8個突出實例進行概率評價，評價結果見表3。表3中分別給出了應用模型預測的8個樣本隸屬于4種突出強度類型的累計概率及判斷各種樣本突出類別的概率。8個樣本突出強度隸屬于各個突出等級的最大概率均對應于“小”突出的等級。與表2相比，由于8個樣本的實際突出強度也屬于“小”突出等級，由此可以判斷所建立的評價模型準確地給出了評價結果。

作為對比，表4給出了本文提出的方法與其他評價方法的評價結果，其中:“有”表示煤層有突出危險;“無”表示煤層無突出危險。由表4可以看出：采用本文提出的概率風險評價方法和 BP神經網絡預測法所得樣本的強度等級與實際發生強度等級相吻合，而采用單項指標評價法和綜合指標評價法所得強度等級與實際發生強度等級存在一定的誤差。與 BP神經網絡預測法的評價結果相比，采用概率風險評價法不僅得出了準確的評價結果，而且得出了樣本隸屬于各突出強度等級的概率。這就是概率風險評價法的優點。

表1 煤與瓦斯突出原始數據Table 1 Original data of coal and gas outburst

表2 云南恩洪煤礦煤與瓦斯突出實例Table 2 Coal and gas outburst of Enhong Mine in Yunnan Province

表3 評價結果Table 3 Evaluation results

表4 多種評價結果的對比Table 4 Comparison of results with several evaluation methods

4 結論

率風險評價方法不僅能夠進行風險評價，而且能給出各個風險等級的發生概率。

(1) 風險評價多為有序多分類評價，其響應變量多為屬性變量或離散變量。廣義線性模型屬于指數非線性回歸，對響應變量的要求更低。本文基于廣義線性模型的基本原理，構建的風險評價方法能有效地處理風險事件發生等級為屬性變量或離散變量的問題。

(2) 構建的風險評價方法采用對風險事件不同等級的累計發生概率進行變換，以變換后的累計發生概率作為廣義線性模型的連接函數建立風險評價回歸模型，利用回歸模型對風險事件概率進行評價。該風險評價方法有效地體現了風險事件的隨機性，因此，該風險評價方法更加科學和符合實際。

(3) 采用廣義線性模型的概率風險評價方法對具體礦井的煤與瓦斯突出概率風險進行評價，結果表明該方法是準確和有效的。與其他評價方法相比，該概

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