瀝青混凝土彎曲疲勞試驗疲勞損傷分析

周志剛，張清平，袁秀湘

(長沙理工大學 道路結構與材料交通行業重點實驗室，湖南 長沙，410004)

瀝青路面的疲勞性能是表征瀝青路面耐久性的重要性質之一。鑒于瀝青混合料以及路面結構的疲勞破壞實質上是材料局部出現劣化損傷并逐漸擴展、發展成為裂縫直至斷裂破壞的過程，為此，需要在試驗基礎上進一步應用疲勞損傷力學理論與方法揭示材料及結構疲勞損傷破壞的演化過程，認識疲勞破壞的機制。關于瀝青混合料疲勞損傷，一般基于2類損傷理論，即彈性損傷理論[1-5]和黏彈性損傷理論[6-11]。這些研究中盡管應用損傷力學理論與方法，但損傷值一般用試件的剛度或模量的變化來定義，該參量具有平均意義，并不能真實地反映試件局部損傷及其發展過程。例如彎曲疲勞試驗研究中采用根據梁式試件撓度與彎矩計算得到的截面等效彎曲剛度來定義計算梁的損傷值，顯然，這表示梁在整個截面平均的損傷值，忽視了同一斷面上不同受力狀態區域損傷的差異性，由此得到的疲勞損傷演化關系及其有關參數不能真實地反映材料微觀損傷特性及其損傷演化過程。其原因主要是：在這些試驗中，未能獲取試件局部應變、微觀結構變化等與經典損傷定義直接相關的信息。為此，本文作者結合瀝青混凝土梁式試件彎曲疲勞試驗，采用反分析的方式，以提出真實體現瀝青混合料損傷演化的模型。其步驟是：首先提出瀝青混合料的非線性疲勞損傷演化模型；然后，應用解析與數值仿真分析的方法演繹疲勞試驗過程，將所得結果與疲勞試驗結果進行對比，以論證模型的合理性和有效性。

1 梁式試件疲勞損傷力學理論的經典解

1.1 疲勞損傷方程

由于一般疲勞試驗過程只采集循環荷載及其次數、梁的撓度等，而無法直接獲取損傷信息，故采用以下非線性疲勞損傷演化方程[12]來進行反分析：

式中：a*，p和 q為材料的損傷特性參數，與載荷循環特征R及溫度T有關；損傷變量D采用Kachanov的經典定義，將經典的彈性損傷本構方程 σ=E(1-D)ε代入式(1)，并令a=a*Ep，有：

1.2 梁式試件的拉壓分區及有關力學量計算

假定瀝青混合料梁式試件損傷前拉壓彈性模量沒有區別，即具有各向同性性質，但由于其損傷破壞體現為拉伸形式，故出現在梁式試件的受拉一側。假定受壓一側不會出現因損傷引起的力學性質的變化，故瀝青混合料梁式試件x斷面的拉壓分界點z0(x)由斷面軸向受力平衡確定：

其中：ξ=z/h；ξ0=z0(x)/h；t=ξ/ξ0；dξ=ξ0dt。

x斷面內的拉壓應力可按下式計算：

在受拉區，

在受壓區，

其中：E I (x)為材料損傷后 x斷面的等效彎曲剛度；I( x)為x斷面的等效慣性矩。

x斷面內受拉區任一點的損傷值可根據最危險點M的損傷值進行計算：

1.3 疲勞裂紋形成與擴展的疲勞壽命

1.3.1 疲勞裂紋形成階段的疲勞壽命

試件未斷裂前以 M點表示最危險斷面(梁跨中斷面)內受拉區距中性軸最遠的點(試件表面)，εM和 DM分別表示 M 點的正應變幅值與損傷值。由式(2)，M點達到損傷值 DM時的疲勞壽命(疲勞裂紋形成壽命)Ncr為：

則

其中：

材料特性損傷參數a與荷載、損傷無關，從而，

其中：

計算疲勞裂紋形成階段的疲勞壽命的基本步驟見文獻[12]。

1.3.2 疲勞裂紋擴展階段的疲勞壽命

當循環次數達到 Ncr時，疲勞裂紋形成，試件進入疲勞裂紋擴展階段。采用與疲勞裂紋形成階段一樣的分段方式，即在計算疲勞裂紋擴展階段的疲勞壽命時，將計算斷面等分為m2段(含 m2+1點)，每段長度為 Δh=h/m2。

當循環加載次數N達到Ncr時，試件表面點1的損傷值達到1，此時，相鄰點2的損傷值達到隨著N進一步增加，點2的損傷值達到=1，產生損傷失效。此時，所對應的循環加載次數增加量為：

其中： z′0為產生裂紋長度a1=z2-z1后試件有效斷面內在以點 2為坐標原點的新坐標系下的拉壓分界點坐標；I′為此時的等效慣性矩。依此類推，第i-1點失效時，對于第i點，其損傷值為前i-1段開裂過程的累積損傷結果。當其損傷值達到1時，所對應的循環加載增加量為：

疲勞裂紋擴展壽命ΔN與疲勞全壽命Nf分別為：

2 瀝青混合料彎曲疲勞試驗及疲勞損傷特性參數

采用三點彎曲疲勞試驗測試方法。分別選用3種70號瀝青制作中粒式密級配礦料瀝青混凝土，試件采用輪碾成型后切割成規定尺寸的制作方法。進行疲勞試驗時，采用10 Hz的正弦波作為加載波形，加載時間為16 ms，相鄰波形間沒有間歇時間。

試驗所用的3種瀝青混凝土的抗彎拉強度和彎拉回彈模量見表1。

根據彎曲疲勞試驗結果，疲勞方程N=Cσ-p中的疲勞參數C和p回歸值見表2。

表1 瀝青混凝土的抗彎拉強度和彎拉回彈模量Table 1 Bending strenghth and modulus of asphalt mixtures

表2 疲勞試驗結果Table 2 Results of fatigue tests

取表2中3種瀝青混凝土疲勞試驗結果的平均值，即C=40 467，p=3.45。根據疲勞損傷裂紋形成階段的有關計算及式(11)，得到瀝青混凝土疲勞損傷特征參數 a=1.525×10-5。

3 三點彎曲試件疲勞損傷的有限元分析

3.1 疲勞損傷力學-有限元方法

采用平面應變條件下的八節點等參單元有限元方法，考慮損傷時彈性矩陣S為：

在進行疲勞損傷分析與裂紋形成及擴展壽命預估時，應用文獻[13]中所述步驟進行計算。在模擬計算過程中，當某點累積損傷值達到1.0時即認為該點開裂，當連續多點損傷值均達到 1.0時即認為它們形成了1條裂紋。

利用自編的有限元程序計算損傷不同增長步長ΔD為0.01，0.02，0.03，0.04和0.05時的疲勞損傷，結果表明均能取得較高的精度，故本文的有限元計算中，均取ΔD=0.02的增長量步長。

分別取5種集中荷載，使各個荷載初次作用于瀝青混合料梁式試件時在其跨中斷面底部產生的最大彎拉應力σ0分別為0.4，0.6，0.8，1.0和1.2 MPa。然后，計算分析瀝青混合料梁式試件在這5種集中荷載循環作用下的疲勞損傷開裂及其斷裂過程，并與經典損傷理論分析和試驗結果進行對比。

三點彎曲試件的長×寬×高為 250 mm×30 mm×35 mm，跨中長度為 200 mm。有限元網格劃分為756個八節點等參單元，共2 405個節點。

3.2 彎拉應力

3.2.1 梁底面彎拉應力

試件開裂前其底面彎拉應力 σx底分布隨疲勞荷載作用的變化曲線見圖1。從圖1可見：隨著疲勞損傷變量 DM的增大，梁式試件底面產生最大彎拉應力的位置逐漸地從跨中向兩側轉移；當 DM=1.0時，最大彎拉應力點的位置距跨中M點約為1.0 cm。并且梁式試件底面最大彎拉應力也由 0.40 MPa降低為 0.25 MPa；同時，M點的彎拉應力由最大值逐漸衰減，當DM=1.0時變為0 MPa，見圖2。從圖2可見：其衰減的速度隨損傷變量 DM的增大而加快；此外，對于跨中M點的彎拉應力，其有限元計算結果(實線)與經典理論結果(虛線)很接近。

圖1 σ0=0.4 MPa時開裂前試件底面彎拉應力分布Fig.1 Distribution of bending stress at specimen bottom before cracking when σ0=0.4 MPa

圖2 σ0=0.4 MPa時試件跨中M點彎拉應力隨損傷的變化Fig.2 Variation of M point’s bending stress with damage in specimen middle when σ0=0.4 MPa

當開裂以后，隨著裂紋長度的增加，梁底面最大彎拉應力點位置繼續向兩側轉移，最大彎拉應力有所降低，見圖3。并且裂縫附近彎拉應力零值區稍擴大。

圖3 開裂后試件底面彎拉應力分布(σ0=0.4 MPa)Fig.3 Distribution of bending stress at specimen bottom after cracking (σ0=0.4 MPa)

3.2.2 跨中斷面彎拉應力

在出現損傷前，跨中斷面大部分截面彎拉應力幾乎呈線性，只是在梁式試件頂面集中荷載作用區附近出現異?，F象，即壓應力急劇增大(見圖4)。這與集中荷載區的應力集中現象有關。該影響一直存在于損傷、開裂全過程。隨著梁底面產生損傷，M點的彎拉應力逐漸減小，斷面上產生最大彎拉應力的位置逐漸向上轉移；開裂以后，由于有效斷面減小，彎拉剛度降低，在跨中斷面上產生的最大彎拉應力和壓應力均增大。在裂紋出現、擴展全過程中，拉壓分區點位置逐漸向上發展。

圖4 跨中斷面彎拉應力分布(σ0=0.4 MPa，有限元方法)Fig.4 Distribution of bending stress along cross section of specimen middle(σ0=0.4 MPa, FEM)

跨中斷面彎拉應力經典理論值見圖 5。對比圖 4和圖5可見：經典損傷理論解與有限元方法計算結果較接近，主要差別在于集中荷載附近受壓區的應力分布。由于經典損傷理論解未考慮集中荷載附近應力集中，故該受壓區應力與有限元結算結果相差較大。

3.3 梁的撓度

圖5 跨中斷面彎拉應力分布(σ0=0.4 MPa，經典損傷理論解)Fig.5 Distribution of bending stress along cross section of specimen middle (σ0=0.4 MPa, Classic theorical solution)

圖6 σ0=0.4 MPa時跨中撓度隨損傷、開裂的變化Fig.6 Variation of deflection in specimen middle with damage and cracking when σ0=0.4 MPa

在梁底面開裂前，梁的跨中撓度V隨著疲勞損傷的發展而增大，但增大的速度逐漸趨緩(見圖6(a))。這是由于梁開始出現損傷時，損傷區主要在跨中，對該處彎拉剛度影響較大；隨著損傷的進一步加深，損傷區范圍擴大，受損區彎拉剛度降低對梁跨中撓度的影響趨于平緩。

當梁底面開裂后，跨中撓度隨著裂紋的擴展增大，且增大的趨勢逐漸加劇，當裂紋長度達到 25～30 mm時，出現失穩斷裂(見圖6(b))。

3.4 損傷變量

開裂前損傷區主要位于梁底部和跨中兩側，損傷最大的位于跨中底，將從此處產生疲勞裂紋(見圖7)。起裂后，疲勞裂紋持續沿著跨中斷面向上發展(見圖8)。

圖7 σ0=0.4 MPa時開裂前損傷場Fig.7 Distribution of damage before cracking when σ0=0.4 MPa

圖8 σ0=0.4 MPa和a=20 mm時開裂后損傷場Fig.8 Distribution of damage after cracking when σ0=0.4 MPa and a=20 mm

在梁上部及支點之間存在著大片無損和輕微損傷區域，這是由于在疲勞損傷中只考慮了受拉和剪切損傷，認為受壓不會引起損傷。

3.5 疲勞損傷壽命

在梁式試件底面開裂前，根據有限元方法計算結果繪制的疲勞曲線(即疲勞壽命與作用荷載應力關系曲線)與試驗曲線非常接近(見圖 9)。有限元方法與試驗回歸所得疲勞壽命見表3。由表3可見：二者最大誤差在17.7%以內；而疲勞壽命預估誤差在30%以內，均是可以接受的。

表3 有限元方法與試驗回歸的疲勞壽命比較Table 3 Comparing the theoritical fatigue lives with experimental results

當梁式試件底面開裂后，在同一裂紋長度時，荷載應力大，則疲勞壽命短；當裂紋長度達到約20 mm后，疲勞壽命趨于穩定，即將進入失穩擴展階段(見圖10)。開裂前后疲勞壽命比較結果見表4。由表4可見：結合前面梁的撓度分析，若以裂紋長度為25 mm作為失穩擴展分界，則失穩時的疲勞壽命比產生裂紋時的疲勞壽命延長約0.74倍。

圖9 疲勞曲線Fig.9 Fatigue curve

圖10 疲勞壽命隨裂紋長度的變化Fig.10 Variation of fatigue life with crack length

表4 開裂前后疲勞壽命比較Table 4 Comparison of the fatigue lives before cracking and after cracking 次

3.6 裂紋擴展速率

根據不同荷載應力下三點彎曲梁式試件疲勞損傷開裂、斷裂過程的有限元計算，可以求出不同荷載應力、不同裂紋長度時的裂紋擴展速率見圖11。從圖11可見：隨著裂紋長度的增大，裂紋擴展速率逐漸加大，當裂紋擴展至20 mm以后呈現出急劇變化趨勢。這結果與前面根據梁的撓度、疲勞壽命與裂紋長度關系推測結果相一致。并且對于同一裂紋長度，在荷載應力較大時，其裂紋擴展速率相應增大。

3.7 Paris公式參數

在疲勞裂紋擴展分析中經常采用 Paris公式預測其擴展壽命。針對本文所分析的瀝青混合料三點彎曲梁式試件，根據裂紋擴展速率的有限元計算結果，下面計算回歸Paris公式中的參數A和m。

其中：da/dN為裂紋擴展速率，mm/次；K為應力強度因子， MPa·mm1/2。

為此，首先根據文獻[14]提供的公式，計算各個荷載應力下不同裂紋長度時的I型應力強度因子K：

圖11 裂紋擴展速率與裂紋長度關系Fig.11 Relationship between crack expanding velocity and crack length

其中：a為裂紋長度；w為梁式試件高度；σ0為荷載應力。

裂紋擴展速率和應力強度因子關系曲線見圖12。從圖12可見：當產生裂紋后，初始階段裂紋擴展速度較小；當裂紋長度發展到6.25 mm后，進入穩定擴展階段；當裂紋長度接近20 mm時，裂紋擴展速度加快，將進入失穩擴展階段。由于Paris公式是反映穩定擴展階段的疲勞裂紋擴展規律，因此，在采用雙對數坐標下的最小二乘法回歸(Paris公式，式(18))中疲勞斷裂參數時，剔除裂紋長度大于20 mm的點?；貧w結果為：A=1.832×10-5，m=1.938；相關系數為0.870。若剔除裂紋擴展初始階段和20 mm附近少量點，則可以獲得相關性更強的回歸結果。

疲勞裂紋擴散速率與應力強度因子的關系見圖12。從圖12可見：在穩定擴展階段，裂紋擴展速率與應力強度因子具有良好的雙對數線性關系，可以采用Paris公式預測裂紋擴展壽命。

圖12 疲勞裂紋擴展速率與應力強度因子的關系Fig.12 Relationship between fatigue crack expanding velocity and stress strenghth index

4 結論

(1) 根據疲勞損傷力學理論，推導出疲勞過程中三點彎曲梁試件內部應力、損傷場等隨荷載循環次數的演化方程，以及疲勞裂紋形成階段和擴展階段疲勞壽命公式。并根據疲勞試驗數據得到了瀝青混凝土材料疲勞損傷模型中的特征參數。

(2) 應用疲勞損傷力學有限元方法,模擬計算了三點彎曲梁疲勞損傷斷裂過程，分析了試件疲勞損傷過程中的彎拉應力、跨中位移、損傷變量、裂紋擴展速率等的變化規律，并預測了瀝青混合料試件失穩斷裂時的裂紋長度。疲勞壽命的數值模擬結果與試驗結果較吻合，證明了在梁式試件三點彎曲疲勞試驗情況下所提出的瀝青混合料疲勞損傷模型的合理性和有效性。

(3) 對于三點彎曲梁試件，其疲勞裂紋擴展階段的疲勞壽命比形成階段的疲勞壽命短；疲勞裂紋擴展主要表現為穩定擴展，可以運用Paris公式描述疲勞裂紋擴展階段，并回歸得到了有關的疲勞斷裂參數。

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