地基沉降對彈性地基梁的影響

夏桂云，李傳習，曾慶元

(1. 長沙理工大學 土木與建筑學院，湖南 長沙，410076；2. 中南大學 土木建筑學院，湖南 長沙，410075)

彈性地基梁在土木工程中獲得了廣泛應用，特別是在鐵路、公路、船塢、船閘、房屋基礎、地下結構等工程設計中以其簡單、適用而備受青睞[1-5]。在實踐中經常遇到彈性地基梁、板的地基沉降問題，如公路橋梁的橋頭搭板由于地基沉降造成內力加大而出現開裂和損毀現象；水泥混凝土路面由于地基沉降而出現唧泥現象；工業與民用建筑的條型基礎由于地基沉降而引起房屋開裂現象等。若沉降較小，則地基梁成為一部分為地基梁、另一部分為懸空的普通梁結構；若沉降過大，則地基梁懸空成完全的普通梁。為此，劉人通[6]研究了局部塌陷Winkler地基梁的受力問題，并按概率預測的最危險塌陷中心位置和半徑來確定最大內力和位移，以此作為梁的設計和驗算依據，其不足是沒有考慮梁的剪切變形影響。Selvadurai[2]認為，彈性地基梁的剪切變形影響顯著，其影響程度受梁的剛度和地基剛度比值的支配，一般彈性地基短梁、厚梁和局部高度承載的地基梁應考慮剪切變形的影響[7-12]。胡海昌[13]研究了剛性地基的沉降問題，采用Timoshenko深梁理論，得到地基反力為分布力，在分界點上沒有像初等梁理論那樣出現反力集中現象。但其不足之處是采用剛性地基，將其作為一接觸問題處理。袁聚云等[14]分析了在中心荷載作用下剛性板的地基沉降及地基反力，比較了各物理參數的影響。在此，本文作者采用Timoshenko深梁理論研究Winkler地基沉降的影響，并討論地基整體沉降情況。

1 兩端固結的彈性地基梁

對于兩端固結的彈性地基梁，在均布荷載和地基沉降的作用下，其計算模型可簡化為如圖1所示的結構。由于地基整體沉降Δ，造成端部I段范圍內懸空，為普通梁結構；Ⅱ段由于地基的支承反力，為彈性地基梁。對于Ⅰ段，在均布荷載作用下，用考慮剪切變形影響的 Timoshenko深梁理論進行分析，其微分方程[13]如下：

式中：D=EI；C=nGA；E為彈性模量；G為剪切模量；I為抗彎慣矩；A為截面面積；n為剪切系數。

取梁與地基接觸處的臨界點O為坐標原點，以原點的撓度w0、轉角ψ0、剪力Q0和彎矩M0為初參數，顯然w0=Δ。利用初參數法，可得到I段梁的變形和內力解為：

圖1 局部懸空的兩端固結彈性地基梁Fig.1 Elastic foundation beam of local hang

對于Ⅱ段，由于地基沉降 Δ，采用 Winkler地基模型，其地基反力 p=K(w-Δ)。采用考慮剪切變形影響的Timoshenko深梁理論，在均布荷載作用下，其微分方程如下：

上式可簡化為w的微分方程[15]：

從式(9)可以看出：地基沉降效應在微分方程中相當于KΔ的均布荷載。不考慮q的變化，得式(9)用初參數表示的解為：

式中：

根據結構左端固結的邊界條件，由式(3)和(4)可知，當x=-a時，有以下公式成立：

根據結構的對稱性，當x=L/2-a時，ψ=0，Q=0，有：

式中：Ai，Bi，Ci和 Di分別為函數 Ai(x)，Bi(x)，Ci(x)和Di(x)在x=L/2-a時的值；i=1，2，3，4。

結合式(15)～(17)，得：

將式(18)的Q0和M0解代入式(15)，可得ψ0的解：

將式(18)和(19)的 Q0，M0和 ψ0解代入式(14)，得到關于a的超越方程：

解此超越方程，即可確定懸空長度a。

2 兩端簡支的彈性地基梁

兩端簡支的彈性地基梁如圖2所示。采用與兩端固結的彈性地基梁相同的分析方法，可得相應的Q0，M0和 ψ0解，如式(21)～(23)所示，求解懸空長度 a的超越方程仍為式(20)。

圖2 局部懸空的兩端簡支彈性地基梁Fig.2 Elastic foundation beam of local hang

3 Timoshenko深梁理論的退化

當梁的抗剪剛度C→∞時，Timoshenko深梁理論退化為不考慮剪切變形的Bernoulli-Euler梁理論，上述各計算公式相應退化為不考慮剪切變形的Bernoulli-Euler梁理論計算公式。

4 算例

地基梁抗彎剛度 D=5.0×107N/m2，抗剪剛度C=2.0×107N/m2，基床系數 K=1.8×107N/m2，長度L=10.0 m。改變均布荷載q，當地基沉降Δ為0.01時，2種理論下懸空長度a與荷載q間的關系如圖3所示(其中：TB代表Timoshenko梁理論，BEB代表Euler梁理論)。

從圖3可以看出：不計剪切變形的影響，用彈性地基上 Bernoulli-Euler梁理論計算的撓度比采用Timoshenko梁理論計算的撓度偏小，從而導致懸空長度a偏大。

為分析剪切變形對彈性地基梁的變形與內力的影響，取q=4.0×105N，Δ=0.01 m，2種理論的撓度、轉角、剪力、彎矩比較如圖4～7所示。

圖3 地基沉降0.01 m時懸空長度a隨荷載q的變化Fig.3 Change of hang length with load for 0.01 m foundation settlement

從圖4～7可以看出：不計剪切變形的影響，用彈性地基Bernoulli-Euler梁理論計算的懸空彈性地基梁的撓度、轉角、剪力、彎矩都比相應的 Timoshenko梁理論結果大，其中 2種理論下的最大彎矩之比為2.455，最大剪力之比為1.772，可見2種理論間的差別較大。而且用考慮剪切變形的Timoshenko深梁理論計算的變形和內力變化平緩，沒有集中現象，因此，地基沉降分析中用Timoshenko深梁理論更合適，計算中應考慮剪切變形的影響。

為分析地基逐步沉降時結構變形和內力的變化趨勢，取q=4.0×105N，沉降Δ為0，0.05，0.10，0.15和0.20 m 5種情況，2種理論計算的撓度、轉角、剪力、彎矩變化如圖8～11所示。

圖4 地基沉降0.01 m時2種理論的撓度w比較Fig.4 Comparison of deflection of different theories for 0.01 m foundation settlement

圖5 地基沉降0.01 m時2種理論的轉角ψ比較Fig.5 Comparison of different theory angles for 0.01 m foundation settlement

圖6 地基沉降0.01 m時2種理論的剪力系數Q/(qL)比較Fig.6 Comparison of shear force factor of different theories for 0.01 m foundation settlement

圖7 地基沉降0.01 m時2種理論的彎矩系數M/(qL2)比較Fig.7 Comparison of moment factor of different theory values for 0.01 m foundation settlement

圖8 不同地基沉降下的撓度wFig.8 Deformation of different foundation settlements

圖9 不同地基沉降下的轉角ψ變形Fig.9 Rotating angel of different foundation settlements

圖10 不同地基沉降下的剪力系數Q/(qL)Fig.10 Shear force factor of different foundation settlements

圖11 不同地基沉降下的彎矩系數M/(qL2)Fig.11 Moment factor of different foundation settlements

從圖10和圖11可以看出：不同沉降條件下，部分懸空的彈性地基梁中，懸空部分的梁段內力變化較大，而處于彈性地基上的梁段內力變化平緩，沒有內力集中現象。

5 結論

(1) 對于局部懸空的彈性地基梁，采用不計剪切變形影響的Bernoulli-Euler梁理論計算的懸空長度偏大。

(2) 采用不計剪切變形影響的 Bernoulli-Euler梁理論計算的局部懸空彈性地基梁的撓度、轉角、剪力、彎矩都比相應的Timoshenko梁理論結果大。2種理論所得的最大彎矩之比為2.455，最大剪力之比為1.772，可見，這種理論間的差別較大。采用考慮剪切變形的Timoshenko深梁理論計算的變形和內力變化平緩，沒有集中現象，因此地基沉降分析中用Timoshenko深梁理論更合適，計算中應考慮剪切變形的影響。

(3) 部分懸空的彈性地基梁中，懸空部分的梁段內力變化較大，而處于彈性地基上的梁段內力變化平緩，也沒有內力集中現象。

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