一種由人類步行啟發的半被動雙足步行機器人

倪修華，陳維山，劉軍考，石勝君

(哈爾濱工業大學 機器人技術與系統國家重點實驗室，黑龍江 哈爾濱，150001)

McGeer[1]于 1990年提出了被動步行的理論，并通過仿真和實驗驗證了無驅動與主動控制的被動步行機器人可以沿斜坡向下穩定行走。 根據被動步行的理論，許多學者在踝關節或者髖關節處加入主動驅動與控制[2-3]，研制了多款可沿平地行走的半被動步行機器人。與基于零力矩點軌跡規劃方法研制的以Asimo為代表的傳統機器人相比，被動步行機器人具有更簡單的結構和更高的能量效率[4-5]，而且被動步行機器人的行走步態更加自然，與人的行走步態更加相似[6]。由于半被動步行機器人不采用軌跡規劃與跟蹤的控制方式，其控制方法是影響機器人性能的重要因素。Asano等[7]構造一個類似于純被動步行的虛擬重力場，可以使機器人沿平地步行。Goswami等[8]通過控制施加在髖關節和踝關節的控制力矩來調節機器人的能量，可實現平地步行和上坡步行。李立國等[9]提出了虛擬斜坡行走方法，并進行了實驗驗證。Mao等[10]采用再勵學習的方法實時計算控制力矩，Liu等[11]采用能量跟蹤的方法計算控制力矩。這些半被動行走的控制方法或者需要檢測機器人的行走狀態，或者需要較為復雜的在線計算。對人類步行的生物力學研究結果表明，在擺動相初期髖關節力矩較大[12-13]，隨后力矩很小，其步行主要取決于自身的慣性參數，而不是高增益的反饋控制。以此為仿生學依據，付成龍等[14]提出一種于髖關節處施加間斷的正弦力矩作為動力輸入的控制方法，并給出了能夠穩定行走的參數范圍。但是該機器人所采用的正弦力矩，不利于模仿人類步行中力矩的突變特性，且只給出了能夠穩定行走的參數范圍，并沒有研究各參數對穩定性等性能的影響。因此，本文提出一種在擺動足與地發生碰撞后開始，于髖關節處施加間斷的方波力矩作為主動力輸入的控制方法，并分析了各參數對機器人穩定性、效率和步行速度等性能的影響。

1 動力學模型與控制方法

1.1 動力學模型的建立

采用圖1所示的2D純被動步行機器人模型。設兩腿具有完全相同的慣性參數和幾何參數，重力加速度為g，斜坡角度為γ，γ＜0表示機器人沿上坡步行，γ=0表示機器人平地步行，γ＞0表示機器人沿下坡步行。單腿質量為m，腿長為l，繞質心轉動慣量為I，沿腿軸線方向上髖關節到質心的距離為 c，質心到腿軸線的距離為w，w又被稱之為質心偏移，定義向前偏移為正，足是半徑為r的圓弧。在髖關節處有彈簧剛度為k的扭簧。支撐腿和擺動腿與斜面法線所形成的夾角分別為θ和φ，定義逆時針方向為正。在每一個步行周期中于髖關節處施加方波力矩，作用于支撐腿和擺動腿的力矩分別U和－U，U的表達式為：

式中：Ua為施加于髖關節處力矩；tc為當前時間；ti上次發生碰撞的時間；ta為在1個步行周期中力矩Ua的作用時間。

1個步行周期可以分為擺動過程和足與地的碰撞過程。假設擺動過程中支撐腿的足與地之間為無相對滑動的純滾動。假設碰撞過程為完全非彈性碰撞，碰撞過程瞬間完成，原支撐腿碰撞后變成了擺動腿，原擺動腿變成了支撐腿。

圖1 半被動步行機器人模型Fig.1 Sketch of model of quasi-passive dynamic walker

利用拉格朗日方程，對擺動過程的動力學模型進行了推導，得到其結果形式為：

對于碰撞過程，碰撞前、后角度不發生變化，但是，角速度發生突變。根據碰撞前、后整個機器人關于碰撞點動量矩守恒及碰撞前的支撐腿(即碰撞后的擺動腿)關于髖關節動量矩守恒，可以得到碰撞方程為：

式中：q=[θ，φ]T；上標“-”和上標“+”分別代表碰撞前和碰撞后時刻；α為碰撞時兩腿之間夾角的一半。由于碰撞前后角度不發生變化，但是，支撐腿與擺動腿發生了互換，有：

式(2)~(4)構成了一整步的步行方程，也稱之為Poincaré映射。定義Poincaré截面為碰撞后的瞬時，在此截面有：φ=-θ。因此，狀態變量可以由 [θ ,φ,θ˙,φ˙]T減少為。若當前步Poincaré截面的狀態變量值與下一步相同，則稱此狀態變量值為該截面的 1個不動點。采用Newton-Raphson迭代求不動點，并根據雅克比矩陣特征值模來判定機器人的穩定性[15]。

取機器人參數：g=9.81 m·s-2, m=2.06 kg, I=0.039 8 kg·m2, l=0.454 m, r=0.2 m, c=0.124 m, w=-0.002 5 m,k=0.95 N·m·rad-1, γ=0 rad，Ua=0.6 N·m，ta=0.2 s。按此參數進行數值仿真得到圖2所示的擺動腿角度θ和支撐腿角度φ隨時間變化曲線。仿真得到的不動點為：

其雅克比矩陣特征值模的最大值為0.679，因此，是1個穩定的單周期運動。

圖2 數值仿真所得擺動腿和支撐腿角度曲線Fig.2 Angles of swing leg and stance leg by numerical simution

為驗證數值仿真的正確性，使用動力學仿真軟件ADAMS建立虛擬樣機進行驗證。在ADAMS中定義兩腿分別為腿1和腿2，則腿1與斜面法線的夾角α1和腿2與斜面法線的夾角α2隨時間變化曲線如圖3所示。與數值仿真不同的是在ADAMS軟件仿真中，在碰撞過程發生后并沒有支撐腿與擺動腿的角色轉換過程。將圖2與圖3對比可以發現兩者差異很小，驗證了數值仿真的正確性。

1.2 控制方法

機器人的機械本體由兩腿組成。髖關節處安裝 1個可進行力矩控制的伺服電機提供動力輸入，兩足底部各安裝1個接觸開關，用于檢測機器人與地面間的接觸狀態。機器人還包含1個計時器對伺服電機的工作時間進行計時，1個控制器將采集到的接觸開關信號和計時器信號進行分析，然后，向伺服電機發送控制指令。

當某一接觸開關在某一時刻由非接觸狀態轉變為接觸狀態時，表明此刻為足與地發生碰撞時刻，將計時器清零并開始計時，同時控制器發送指令使伺服電機輸出給定的恒定力矩。當計時器的時間達到設定值時，伺服電機停止工作，機器人在慣性的作用下繼續運動直至擺動腿與地面發生碰撞為止。碰撞發生后，機器人將周期性地重復前面的步行模式。

圖3 ADAMS軟件仿真所得兩腿角度曲線Fig.3 Angles of both legs by simulation with ADAMS software

2 參數對機器人性能的影響研究

以穩定性、效率和步行速度作為機器人性能評價指標[16]，分析力矩Ua、力矩作用時間ta和斜坡角度γ 3個參數對機器人性能的影響。在分析某一參數影響時，保持其他參數不變。

吸引盆是能夠使機器人穩定行走下去的所有初始狀態的集合，被廣泛用于衡量抗干擾能力[15,17]。但是，吸引盆的計算時間過長，而且它不能夠很好地量化穩定性[18]。

而Hobbelen等[18]提出的步態敏感范數 (The gait sensitivity norm)，不僅可以很好地量化穩定性，而且計算時間很短。Hobbelen和Wisse多次成功地將步態敏感范數用于計算被動步行機器人的穩定性，并進行了實驗驗證[16,19]。

2.1 步態敏感范數

圖4描述了輸入擾動e與輸出步態指示T的偏差ΔT之間的關系[18]。這里沿用Hobbelen[18]的做法，取e為地面的下降高度，T為步行周期，ΔT為T與無擾動時步行周期T*的差。下標n和n+1分別代表第n步和第 n+1步， v =[θ,θ˙,φ˙]T，v*為利用 Newton-Raphson迭代所搜索到的不動點，Δv為v與v*的差。在Poincaré映射基礎上定義包含擾動e和步態指示T的映射S：

圖4 步-步系統框圖[18]Fig.4 Block diagram of step-to-step system

式中：trace(X)表示矩陣X主對角線上元素之和。

2.2 效率

為了比較不同質量機器人的步行效率，定義無量綱步行能耗 cm為單位質量的機器人步行單位距離所消耗的能量[5]，其計算公式為：

式中：s為步長；W為行走一步力矩U所做的功，其計算公式為:

當力矩做負功時仍然要消耗能量，故對功率取絕對值以后再積分。

圖5 力矩對穩定性的影響Fig.5 Effect of amplitude of torque on stability

2.3 力矩對機器人性能的影響研究

力矩Ua對穩定性的影響如圖5所示。從圖5可見：當力矩較小時，隨著力矩的增大，步態敏感范數的倒數增大，機器人的穩定性提高；當力矩在0.7 N·m附近時，機器人的穩定性達到最大，此后，隨著力矩的增大，機器人的穩定性下降。當0.13＜Ua＜1.06 N·m時，機器人能夠穩定步行，在此范圍之外時，機器人不能夠穩定步行。

力矩Ua對無量綱步行能耗的影響如圖6所示。從圖6可見：隨著力矩的增大，無量綱步行能耗增大，但力矩在整個范圍內時，無量綱步行能耗與人類步行和其他幾款半被動步行機器人的相當，但比Asimo小1~2個數量級[5]。說明該半被動步行機器人具有較高的步行效率。

當Ua=0.6 N·m時，力矩U的功率隨時間變化如圖7所示。由圖7可以看出：力矩沒有做負功，這使得機器人具有很高的效率；而傳統型機器人為了滿足軌跡跟蹤的需要，在步行過程中經常需要做負功，使得效率低下。

力矩 Ua對步行速度的影響如圖 8所示。從圖 8可見：隨著力矩的增大，機器人步行速度也增大。

圖6 力矩對無量綱步行能耗的影響Fig.6 Effect of amplitude of torque on dimensionless cost of transport

圖7 功率隨時間m的變化Fig.7 Variation of power with time

2.4 力矩作用時間對機器人性能的影響研究

力矩作用時間ta對穩定性的影響如圖9所示。從圖9可見：當力矩作用時間較小時，隨著力矩作用時間的增大，步態敏感范數的倒數增大，機器人的穩定性提高；當力矩作用時間在0.20 s附近時，機器人的穩定性達到最大，此后，隨著力矩作用時間的增大，機器人的穩定性下降。當0.05＜ta＜0.29 s時，機器人能夠穩定步行，在此范圍之外時，機器人不能夠穩定步行。

力矩作用時間ta對無量綱步行能耗的影響如圖10所示。從圖10可見：隨著力矩作用時間的增大，無量綱步行能耗增大。

力矩作用時間ta對步行速度的影響如圖11所示。從圖11可見：隨著力矩作用時間的增大，機器人步行速度也增大。

圖8 力矩對步行速度的影響Fig.8 Effect of amplitude of torque on walking speed

圖9 力矩作用時間對穩定性的影響Fig.9 Effect of action time of torque on stability

2.5 斜坡角度對機器人性能的影響研究

斜坡角度 γ對穩定性的影響如圖 12所示。從圖12可見：當斜坡角度較小時，隨著斜坡角度的增大，步態敏感范數的倒數增大，機器人的穩定性提高；當斜坡角度在0.04 rad附近時，機器人的穩定性達到最大，此后，隨著斜坡角度的增大，機器人的穩定性下降。當-0.012＜γ＜0.066 rad時，機器人能夠穩定步行，在此范圍之外時，機器人不能夠穩定步行。因此，該機器人可以在一定的斜坡角度范圍內向上和向下步行。

斜坡角度 γ對無量綱步行能耗的影響如圖 13所示。從圖13可見：當斜坡角度較小時，隨著斜坡角度的增大，無量綱步行能耗減小，當斜坡角度γ＞0.04 rad時，無量綱步行能耗幾乎不變。下坡時無量綱能耗小于平地步行時無量綱能耗，平地步行時無量綱能耗小于上坡時無量綱能耗。不同于傳統機器人，該機器人能夠利用下坡所產生的重力勢能。

斜坡角度γ對步行速度的影響如圖14所示。從圖14可見：隨著斜坡角度的增大，機器人步行速度也增大。

圖10 力矩作用時間對無量綱步行能耗的影響Fig.10 Effect of action time of torque on dimensionless cost of transport

圖11 力矩作用時間對步行速度的影響Fig.11 Effect of action time of torque on walking speed

圖12 斜坡角度對穩定性的影響Fig.12 Effect of slope angle on stability

圖13 斜坡角度對無量綱步行能耗的影響Fig.13 Effect of slope angle on dimensionless cost of transport

圖14 斜坡角度對步行速度的影響Fig.14 Effect of slope angle on walking speed

3 與正弦力矩的比較

以下將所提出的方波力矩與付成龍等[14]提出的正弦力矩進行比較。

(1) 方波力矩作用于無膝關節步行機器人，正弦力矩作用于有膝關節被動步行機器人。其力矩的起始時刻均為足與地發生碰撞后的瞬間，而方波力矩作用的結束時刻由計時器控制，正弦力矩作用的結束時間為擺動腿的膝關節碰撞時刻。因此，方波力矩很容易擴展到有膝關節步行機器人上，而若將正弦力矩擴展到無膝關節步行機器人上，則需要重新定義力矩的結束時刻。因此，沒有將正弦力矩的性能與方波力矩的性能進行比較，但方波力矩與人類步行時的突變力矩更加相似。

(2) 通過對參數的調節 2種方法均可以實現對步幅和步速的調節，正弦力矩可調參數有4個，可以調節的參數較多，可調范圍大，但調節較復雜；而方波力矩可調參數有2個，可以調節的參數較少，可調范圍小，但較簡單。

4 結論

(1) 從人類步行的生物力學研究得到啟發，提出一種半被動雙足步行機器人的控制方法。使用該控制方法的機器人具有與人類步行相當的步行效率，且可以沿上坡、下坡和平地步行，在沿下坡步行時，能夠利用斜坡所產生的重力勢能。

(2) 當力矩在0.7 N·m附近時，機器人的穩定性達到最大。隨著力矩的增大，無量綱步行能耗增大，步行速度增大。

(3) 當力矩作用時間在0.2 s附近時，機器人的穩定性達到最大；隨著力矩作用時間的增大，無量綱步行能耗增大，步行速度增大。

(4) 當斜坡角度在0.04 rad附近時，機器人的穩定性達到最大。隨著斜坡角度的增大，無量綱步行能耗減小，步行速度增大。

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