豎直向上傳播剪切波作用下邊坡動力響應規律

柴紅保 ，曹 平，林 杭

(1. 中南大學 資源與安全工程學院，湖南 長沙，410083；2. 湖南科技大學 能源與安全工程學院，湖南 湘潭，411201)

爆破和地震觸發邊坡失穩的動力問題歷來是巖土工程和地震工程中關心的重要問題之一[1-2]，我國相當多的大型基礎設施如南水北調西線、三峽工程等水利樞紐工程以及山區高速公路和鐵路客運專線都涉及多山地、多地震的地理地質環境，不可避免地帶來了大量和地震作用有關的邊坡穩定性問題，巖土邊坡在動力作用下的穩定性問題日趨突出。研究動荷載作用下邊坡動力響應特征和變化規律[3-10]，提出穩定性分析方法和控制手段是工程界迫切需要解決的問題，也是巖石動力學研究的主要內容之一。據文獻[7]報道，1971年美國Davis等在SanFemando地震的余震測量中，發現山頂的地震加速度比山腳的地震加速度成倍增加；卡格爾山山頂和山腳2點的強余震速度觀測記錄表明：山頂上地震持續時間顯著增長，放大效應顯著，并且位移、速度和加速度的放大效應不同；Gazetas[11]斜坡地震效應研究結果表明：(1) 斜坡上的地震烈度相對于谷底增加1°左右；(2) 在角度超過15°的圓錐狀山體上部點的位移幅值與下部點的位移幅值相比，其局部譜段值增加高達 7倍；(3) 黃土階地的幅值比底部的大4倍左右，比離開坡階邊緣25 m的水平面處大2倍左右。大量數值模擬結果表明邊坡頂部對振動的反應幅值與邊坡底部相比存在明顯的放大現象(垂直向放大)，坡的邊緣部位對振動的反應幅值與內部(處于同一高度上的 2點比較)相比也存在放大現象(水平向放大)[7-10]。FLAC3D軟件能夠分析非線性動力學問題，被應用于巖土開挖、邊坡穩定性及地震動力響應分析等諸多領域。在此，本文作者利用FLAC3D中的動力分析模塊進行了大量的數值模擬，對邊坡在地震作用下的動力響應規律(主要是速度響應和位移響應)以及地震動參數對動力響應的影響進行研究。

1 邊坡動力分析模型及邊界條件

1.1 計算模型

為了探討邊坡地震動力響應的一般規律，選擇 3個不同尺寸的模型進行數值模擬，模型的尺寸(長×寬×高)分別為 1 400 m×510 m×1 m，1 400 m×680 m×1 m和1 400 m×900 m×1 m。邊坡高H分別為210，380和600 m，坡角α=50°。邊坡材料彈性模量為2 GPa，密度為2 700 kg/m3，泊松比為0.27。計算模型如圖1所示。

圖1 邊坡動力學數值模型Fig.1 Slope model for dynamic analysis

1.2 邊界條件

在 FLAC3D動力模塊中，邊界條件設置有遠置人工邊界(截斷邊界)、靜態(黏滯)邊界和自由域。遠置人工邊界對入射波起著完全反射的作用，既不傳播也不吸收任何能量。在動力體系中，這樣被限制的能量會導致結果嚴重失真。為使邊界對計算結果產生的影響變小，要求把模型的邊界取得足夠遠，把模型的范圍取得足夠大，從而使邊界反射的影響盡可能小。但是，邊界設置過遠會使數值計算困難。靜態(黏滯)邊界是在邊界的法向和切向分別設置1個黏滯壺來消除邊界對波的反射作用。該邊界能夠吸收入射波能量的一半，對于入射角大于 30°的波吸收效果比較顯著，對于入射角小于 30°的波吸收效果不明顯，但仍可以吸收一部分，此邊界的有效性在有限單元法和有限差分法動力學分析中都得到了證明。自由域可以替代遠場區域對模型的作用，當平面波向上傳播的過程中沒有發生變形時，自由域網格的作用相當于無限介質的作用，如果主網格(材質)均勻且沒有地面建筑物，自由域的網格反應和主網格反應是一致的，此時，自由域網格和主網格間的黏壺體不起作用；若主網格上面有建筑物，則自由域的網格反應和主網格反應不一致，此時，自由域網格和主網格間的黏壺體就會像靜態邊界一樣吸收能量。在模型邊界設置自由域不必考慮模型邊界對波的反射吸收問題，它完全起到了被截斷的區域對模型的作用。

本文分析模型中采用自由域。圖1所示是邊坡在地震波作用下分析模型的邊界條件設置情況。對于黏滯邊界條件，邊界條件的輸入必須采用應力時程。速度時程邊界條件可以轉換為應力時程, 對于加速度時程可通過積分轉化為速度時程，再轉換為相應的應力輸入。應力邊界條件的轉化為：

式中：σn為正應力；σs為剪應力；ρ為介質密度；vP為介質的P波速度；vS為介質的S波速度；vn為垂直方向質點速度；vz為水平方向質點速度。

邊坡底部所受垂直向上剪切應力波方程為：

式中：T為地震波周期；t為地震波傳播時間；ω為角頻率。

1.3 網格劃分

根據Kuhlemeyer等的研究，網格剖分的尺寸受輸入波最短波長控制。設網格最大尺寸為Δl，輸入波最短波長為λ，則Δl必須小于最短波長λ的1/10~1/8，地震波在邊坡中傳播速度為：

式中：λ為波長； f為應力波頻率；E為介質彈性模量；G為介質剪切模量。

頻率愈小，則波長越長，該處采用最小頻率1 Hz計算波長，保證網格劃分滿足各種計算條件。網格剖分的尺寸Δl為：

模型單元尺寸為10 m，遠小于該Δl，滿足進行動力學分析的要求。

1.4 動力持時的確定

動力響應計算的持續時間對邊坡響應的影響體現在波動傳播過程中。對于尺寸較大的邊坡，若動力響應的計算持續時間太短，則波動未能傳播到邊坡頂部，邊坡內部波場分布沒有達到穩定，這時得到的邊坡動力響應規律就不能真正反映邊坡的動力響應規律。因此，動力輸入的持續時間必須保證邊坡內部的波場趨于穩定，才能提取波動過程中位移、速度、加速度的峰值，所得邊坡動力響應分布才能反映邊坡的動力響應規律，根據地震波在邊坡中傳播的速度確定動力響應持續時間為 4 s。

1.5 數值模擬工況

為分析影響邊坡動力響應的因素，分別研究高度為210，380和600 m的邊坡，并對不同高度的邊坡分別施加頻率為1，2，3，5和7 Hz剪切應力波。

2 邊坡動力響應規律

2.1 邊坡動力響應的監測

邊坡在動力載荷作用下，坡體內部每個點的位移、應力、速度和加速度均在變化，如果只看某一個時刻的狀態就不能全面反映邊坡在動力載荷作用下的響應。由于事先并不知道在哪一時刻邊坡受到的破壞最嚴重，當動力分析結束后再查看邊坡的動力響應對于真實地了解邊坡的動力響應意義不大。本文編制了fish程序，將動載荷作用下邊坡體內所有節點的速度最大幅值記錄下來，通過所有節點的位移和速度最大幅值可以看出邊坡體的動力響應情況。記錄邊坡體所有節點的最大速度流程如圖2所示。

2.2 地震波頻率與坡體的放大作用

在地震波作用下，邊坡體一些部位的位移、加速度等與其他部位的相比存在放大現象。祁生文[7]將這種放大作用用地震動力響應系數來表示。將邊坡中的地震動力響應系數定義為邊坡地震動力響應速度波動峰值與邊坡腳速度峰值的比值[7]。邊坡腳的速度和加速度等本身也存在放大現象，選用邊坡腳的速度和加速度等作為參考量，邊坡的地震動力系數就不能全面反映邊坡的動力響應規律。本文將邊坡的地震動力響應系數定義為邊坡地震動力響應速度波動峰值與邊坡底部速度波動峰值的比值。

圖2 記錄邊坡節點最大速度流程圖Fig.2 Procedure of recording max velocity of all gridpoint

假定坡體內任意一點A的動力響應的速度峰值為vA,max，邊坡底部B點的動力響應的速度峰值為vB,max，則A點的速度放大系數。這樣，速度放大系數的分布規律便可以代表地震波作用下邊坡體內速度的分布規律。為了研究整個邊坡各個部位動力響應規律，通過圖2所示過程，提取并保存邊坡所有節點在整個計算時程中的速度峰值，在此基礎上繪制了邊坡動力響應速度放大系數等值線圖。

圖3所示為高度為380 m的邊坡底部受到頻率分別為1，3，5和7 Hz地震波作用下的動力響應系數等值線。不同頻率地震波作用下動力響應系數極值列于表1。

地震波頻率不同，應力波波長將不同，不同波長應力波傳播到邊坡頂部時，其反射波的特征也不一樣，入射波和反射波的相互干涉也會不同。動力響應系數在邊坡體內的分布也相應受到地震波頻率的影響。

由圖3(a)可見：該邊坡在頻率為1 Hz地震波作用下，絕大部分區域出現地震動力響應系數小于1的現象；在坡面及附近部分沒有出現放大現象；在該頻率地震波作用下，邊坡體穩定性基本上沒有受到影響。

由圖3(b)可見：該邊坡在頻率為3 Hz的地震波作用下，邊坡體的2個水平近地表部分區域出現了放大效應，邊坡底部水平近地表部分放大現象沒有邊坡頂部放大現象明顯；在坡面及附近部分沒有出現放大現象；在該頻率地震波作用下，邊坡體穩定性基本上沒有受到影響。

由圖3(c)可見：該邊坡在頻率為5 Hz的地震波作用下，邊坡體的2個水平近地表部分區域均出現了放大效應，邊坡頂部水平近地表部分和邊坡底部的放大程度接近；邊坡中部出現放大現象，地震動力響應系數為1.1；在該頻率地震波作用下，邊坡體的穩定性基本上沒有受到影響。

由圖3(d)可見：該邊坡在頻率為7 Hz的地震波作用下，邊坡體頂部水平近地表部分區域均出現了放大效應，邊坡底部水平近地表部分沒有出現地震動力響應系數放大現象；在該頻率地震波作用下，邊坡體的穩定性基本上沒有受到影響。

在圖3(a)，(b)和(d)所示的3個邊坡中，邊坡面附近均沒有出現邊坡地震動力響應系數放大現象。

圖3 不同頻率地震波作用下的動力響應系數等值線Fig.3 Contour of seismic dynamic response coefficient with different frequency seismic waves

表1 不同頻率地震波作用下動力響應系數極值Table1 Maximum seismic dynamic response coefficient with different frequency seismic waves

表2 不同邊坡高度下動力響應系數極值Table2 Maximum seismic dynamic response coefficient with different height slopes

2.3 坡體高度與坡體的放大作用

邊坡高度對邊坡地震動力響應系數的分布規律也有一定影響。邊坡高度增大，巖石邊坡的自振頻率降低,自振周期延長。對于在豎直地震荷載作用下的高巖石邊坡,高度的變化對巖石邊坡地震動力系數的影響較大。

在頻率為1 Hz的地震波作用下，邊坡高度不同，相同頻率地震波在邊坡體內傳播并相互干涉的位置也會不同。

圖4所示是不同頻率地震波作用下的動力響應系數等值線。不同邊坡高度下動力響應系數極值列于表2。由圖4(a)可見：對于高度為210 m的邊坡，其邊坡底部近地表部分有放大現象；絕大部分區域出現地震動力響應系數小于1的現象；坡面及附近部分沒有出現放大現象；該頻率地震波作用下，邊坡體穩定性基本上沒有受到影響。

圖4 不同邊坡高度下動力響應系數等值線Fig.4 Contour of seismic dynamic response coefficient with different height slopes

由圖4(b)可見：對于高度為600 m的邊坡，邊坡頂部近地表部分沒有放大現象；絕大部分區域出現地震動力響應系數小于1的現象；坡面及附近部分沒有出現放大現象；在該頻率地震波作用下，邊坡體穩定性基本上沒有受到影響。

2.4 影響動力響應系數分布的原因

地震波垂直入射到地質界面時會發生反射，入射波還會與反射波發生干涉。那么，在反射界面附近會出現震動響應比其他地方放大的現象。

入射波的方程為：

式中：A1為振幅。

反射波的方程為：

圖5 入射波和反射波坐標示意圖Fig.5 Coordinate system of incident and reflect wave

式中：δ為反射波與入射波的相位差，這里取值為π。

根據波的疊加原理，入射波和反射波疊加后的方程為：

對于均質邊坡來說，A1與A2相等，即入射地震波經邊坡面反射后波的振幅沒有發生改變。入射波和反射波疊加發生放大，就要求1φ和2φ必須同時為正才可以。否則，入射波和反射波疊加后就會發生振幅減小。

圖6 入射波和反射波可能發生疊加的區域Fig.6 Superposition region of incident and reflect wave

圖 6所示為入射波和反射波可能發生疊加的區域。圖7所示為邊坡體內會疊加的區域。

入射波到達邊坡界面時發生反射，當入射波沒有消失且反射波傳播的距離沒有超出一定范圍時，入射波和反射波就會發生干涉，如圖6中陰影部分所示。當向左傳播的入射波和向右傳播的反射波全部通過AB面時，入射波和反射波就不可能發生干涉現象。所以，邊坡體內地震動力響應系數等值線圖在邊坡近地表部分存在放大現象。

根據以上分析，邊坡體內可能發生干涉的區域如圖7中陰影部分所示。從圖7可見：在該陰影部分入射波和反射波才具有干涉的條件；超出該區域，雖然有反射波存在，但入射波已經傳播完畢，即不存在入射波，故該區域不會再出現干涉現象。

圖7 邊坡體內會疊加的區域Fig.7 Superposition region in slope

3 結論

(1) 記錄邊坡在動力波作用下的各物理量最大值能夠更全面地了解邊坡的動力響應規律，更真實地反映震波作用下邊坡的動力響應規律。

(2) 邊坡底部是地震波入射面，該位置沒有放大現象，用該位置一點的速度作為基準值，能夠更準確地反映邊坡的動力響應規律。

(3) 邊坡在動力作用下，動力放大現象出現的位置與邊坡的形狀、巖土體性質及地震波的特性等因素有關。邊坡巖土體性質和地震波特性不同會導致最終邊坡體內傳播的地震波波長和波速等發生變化，在邊坡的近地表部分發生放大現象的范圍就會發生變化。邊坡形狀發生變化，地震波經過邊坡面反射后在邊坡內部發生干涉的位置也發生變化。

(4) 邊坡在地震波作用下出現放大現象的區域主要集中在邊坡近地表區域，該現象是入射地震波與反射地震波疊加的結果。邊坡表面是曲面，不同位置反射波傳播方向不同，為邊坡體內部出現放大現象提供了條件。

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