預(yù)應(yīng)力自平衡索桁架的非線性固有振動

楊立軍，葉柏龍，喻愛南，吳 曉

(1. 湖南文理學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，湖南 常德，415000；2. 中南大學(xué) 土木建筑學(xué)院，湖南 長沙，410083)

點(diǎn)支式玻璃幕墻是目前流行的玻璃幕墻建造技術(shù)，輕巧通透，構(gòu)成形式靈活多變，在一些大型公共建筑物(如展覽館、機(jī)場候機(jī)樓、歌劇院等)中得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。點(diǎn)支式玻璃幕墻由結(jié)構(gòu)支承體系、駁接頭和玻璃組成[3-4]。預(yù)應(yīng)力自平衡索桁架是點(diǎn)支承玻璃幕墻的主要支承結(jié)構(gòu)形式之一，如廣州新白云國際機(jī)場主樓、連接樓的外圍護(hù)點(diǎn)支式玻璃幕墻支承結(jié)構(gòu)均采用了預(yù)應(yīng)力自平衡索桁架[5]。預(yù)應(yīng)力自平衡索桁架由中間主壓桿、輔助橫撐桿以及兩側(cè)布置的拉索組成。索的預(yù)拉力通過兩端由主壓桿來承擔(dān)，從而在桁架內(nèi)部形成一個獨(dú)立的力平衡體系。在承受橫向荷載時，相當(dāng)于一個兩端簡支桁架的結(jié)構(gòu)功能，故稱為預(yù)應(yīng)力自平衡索桁架。與普通的索桁架相比，預(yù)應(yīng)力自平衡索桁架由于其本身獨(dú)立形成一個力平衡體系，拉索的預(yù)拉力不施加在周邊結(jié)構(gòu)上，這就解決了大跨度拉索對周邊結(jié)構(gòu)附加拉力問題。現(xiàn)在對點(diǎn)支式玻璃幕墻預(yù)應(yīng)力索桁架支承體系開展了非常多的研究[6-10]，但基本上局限于其靜力行為的研究。索桁架作為一種新型預(yù)張力結(jié)構(gòu)體系，具有柔性大、質(zhì)量小、阻尼小、自振頻率低的特點(diǎn)，屬風(fēng)敏感結(jié)構(gòu)，不能將傳統(tǒng)的剛性結(jié)構(gòu)動力計(jì)算方法直接用于該結(jié)構(gòu)體系。關(guān)于柔性結(jié)構(gòu)的動力學(xué)行為已經(jīng)成為當(dāng)今學(xué)術(shù)研究的熱點(diǎn)，如吳麗麗等[11-20]研究了索結(jié)構(gòu)的動力性能。作為自平衡索桁架結(jié)構(gòu)風(fēng)振分析的基礎(chǔ)，本文作者考慮溫度變化及幾何非線性影響，采用連續(xù)化理論導(dǎo)出點(diǎn)支式玻璃幕墻預(yù)應(yīng)力自平衡索桁架支承體系非線性固有振動方程。通過Galerkin方法，將偏微分程轉(zhuǎn)化為常微分方程，采用L-P法對預(yù)應(yīng)力自平衡索桁架支承體系非線性固有振動進(jìn)行計(jì)算。

1 非線性固有振動方程

基本假定：(1) 拉索是理想柔性的；(2) 自平衡索桁架的橫撐桿絕對剛性，橫撐桿對上下拉索的力為連續(xù)分布；(3) 索材料滿足虎克定律。

圖1所示為預(yù)應(yīng)力自平衡索桁架，其非線性振動方程為：

式中：下標(biāo)1和2分別代表穩(wěn)定索、承重索(下同)；H為索初始水平張力；w為振動位移函數(shù)；ΔH為鋼拉索水平拉力增量；z為索初始形狀函數(shù)；m為索單位面積質(zhì)量；q(x，t)為橫撐桿給索的力。

將式(1)與式(2)相加，并令M=m1+m2，得：

圖1 預(yù)應(yīng)力自平衡索桁架Fig.1 Prestressed self-balanced cable truss

鋼拉索的拉力增量ΔH1和ΔH2分別為

式中：E為鋼拉索彈性模量；αs為熱膨脹系數(shù)；A為鋼拉索單位長度橫截面積；Δθ為溫度增量。

設(shè)穩(wěn)定索和承重索初始形狀函數(shù)為：

在實(shí)際應(yīng)用中，往往對基頻最感興趣，設(shè)自平衡索桁架振動位移函數(shù)為

由Galerkin方法可以得到：

式中：中括號內(nèi)為自平衡索桁架非線性振動方程；sin[π(x+l/2)/l]為振型函數(shù)。

將式(4)~(6)代入式(7)，經(jīng)整理可得：

2 非線性固有振動近似解

式(8)是一個非線性方程，利用 L-P法對式(8)求解。設(shè)式(8)的初始條件為

將式(11)代入式(10)，比較ε同次冪系數(shù)得：

由式(9)和式(15)可得：

把式(10)的各階攝動項(xiàng)表示為系數(shù)待定的傅里葉級數(shù)，得

將 T0(τ)和 T1(τ)的級數(shù)表達(dá)式代入式(13)和式(14)，求得預(yù)應(yīng)力自平衡索桁架支承體系非線性固有振動頻率及位移函數(shù)分別為：

3 算例分析及有限元計(jì)算驗(yàn)證

廣州新白云國際機(jī)場酒店在正面入口選用了如圖1所示的預(yù)應(yīng)力自平衡索桁架點(diǎn)支式玻璃幕墻。點(diǎn)支式玻璃幕墻寬9 m，高12 m。索桁架間距2.7 m，跨度l=12 m，h1=h2=0.92 m。豎向索采用12 mm鋼拉索，主壓桿采用245 mm×6.5 mm(外徑×壁厚)。承重索及穩(wěn)定索呈拋物線布置，截面面積261.41 mm2。初始張拉力40 kN，αs=1.2×10-5/℃，E=150 GPa。索及玻璃幕質(zhì)量 M=80 kg/m2。得需要的基本參數(shù)為：H1=H2=14.8 kN/m，A1=A2=9.68×10-5m。由此可得到預(yù)應(yīng)力自平衡索桁架支承體系振動圓頻率(ω0，ω)，將振動圓頻率除以2π得振動頻率(f0，f)，計(jì)算結(jié)果如表1和表2所示。

把以上有關(guān)參數(shù)代入式(19)和式(20)，即可得到自平衡索桁架支承體系非線性固有振動的時程曲線，如圖2所示x=0處時程曲線。

由式(19)也可以討論其他因素對點(diǎn)支式玻璃幕墻自平衡索桁架支承體系振動特性的影響。

下面討論初始張拉力的影響。初始拉力分別取上面算例的0.8倍、1.0倍和1.2倍。

取振幅 a=0.1 m，其他參數(shù)不變，據(jù)此可以得到初始張拉力對自平衡索桁架支承體系非線性固有振動頻率影響，如表3所示。

取振幅a=0.1 m，設(shè)h=h1=h2為1.0，1.5和2.0 m，其他參數(shù)不變，據(jù)此討論矢高h(yuǎn)對自平衡索桁架非線性固有振動頻率影響，如表4所示。

為驗(yàn)證本文近似公式的可靠性，采用ANSYS對算例中索桁架支承體系進(jìn)行了瞬態(tài)分析，按表2給定的振幅a和溫度增量Δθ參數(shù)分別計(jì)算索桁架支承體系固有頻率。索桁架初始張拉力和溫度增量通過鋼拉索初始應(yīng)變模模擬。非線性瞬態(tài)分析的激振方式為初始位移法，即先按照振型形狀給索桁架各節(jié)點(diǎn)施加瞬時位移，然后釋放讓其自由振動。表 2中 f和 f′分別為本文中的式(19)和 ANSYS計(jì)算結(jié)果。

表1 索桁架線性振動固有頻率Table1 Linear vibration frequency of cable truss Hz

表2 本文計(jì)算結(jié)果與有限元解的比較Table2 Results comparison between this work and ANSYS

圖2 溫度對時程曲線的影響Fig.2 Influence of temperature on time-history curve

表3 初始拉力對非線性振動固有頻率的影響Table3 Influence of initial tension on nonlinear frequency Hz

表4 矢高對非線性振動固有頻率的影響Table4 Influence of vector height on nonlinear frequency Hz

對表1~4及圖2進(jìn)行分析可以得到如下結(jié)論：

(1) 本文給出的解析解計(jì)算結(jié)果和有限元計(jì)算結(jié)果吻合較好，小于工程上的允許誤差(5%)，驗(yàn)證了該公式的可靠性(見表2)。

(2) 溫度變化對結(jié)構(gòu)時程曲線影響不大，這說明了索桁架振動對溫度變化不敏感(見圖2)。

(3) 自平衡索桁架支承體系線性振動固有振動頻率隨著溫度的增加而減小。如表1所示，當(dāng)溫度增量Δθ=0 ℃時，索桁架線性振動頻率 f0=4.489 Hz；當(dāng)Δθ=50 ℃時，f0=4.447 Hz，頻率降低了0.94%。

當(dāng)振幅一定時，隨著溫度的增加，自平衡索桁架支承體系非線性固有振動頻率將變小；如表2所示，振幅a=0.15 m，當(dāng)溫度增量Δθ=0 ℃時，索桁架非線性振動頻率f=4.504 Hz；當(dāng)Δθ=40 ℃時，f=4.471 Hz，頻率降低了0.73%。

(4) 當(dāng)溫度一定時，隨著振幅的增大，自平衡索桁架支承體系非線性固有振動頻率將增大。如在表 2中，溫度增量 Δθ=20 ℃時，振幅 a為 0.05，0.15和0.25 m的索桁架非線性振動頻率 f分別等于4.474，4.488和4.515 Hz，頻率分別升高了0.31%和0.92%。這說明自平衡索桁架支承體系非線性振動呈現(xiàn)“硬彈簧”特性。

(5) 自平衡索桁架支承體系的非線性振動頻率高于線性頻率。如溫度增量Δθ=20 ℃時，f0=4.472 Hz，f=4.488 Hz(a=0.15 m)，頻率升高0.36%。與一般結(jié)構(gòu)不同，由于自平衡索桁架支承體系在振動過程中索力不斷變化導(dǎo)致其剛度變化，故實(shí)際上它屬于非線性硬化剛度體系。

(6) 索桁架振動頻率隨著初始拉力增大而增大，但增大效果不明顯。如Δθ=20 ℃時工況2、工況3的振動頻率相對于工況1分別升高0.31%和0.63%(見表3)。這也印證了有關(guān)文獻(xiàn)初始拉力對索桁架支承體系的剛度貢獻(xiàn)不大的結(jié)論[6]。

(7) 自平衡索桁架支承體系振動頻率隨著矢高增大而增大，并且增大幅度很大，這與文獻(xiàn)[21]的結(jié)論是一致的。如溫度增量Δθ=30 ℃時，矢高h(yuǎn)為1.0，1.5和2.0 m的非線性振動頻率f分別等于4.850，7.235和 9.627 Hz，頻率分別升高了 49.18%和 98.49%(見表4)。

4 結(jié)論

(1) 考慮溫度變化及幾何非線性影響，采用連續(xù)化理論導(dǎo)出了點(diǎn)支式玻璃幕墻預(yù)應(yīng)力自平衡索桁架支承體系非線性振動方程。采用L-P法求得了振動方程近似解，據(jù)所得到的近似解可以方便地分析各種因素對其動力特性的影響。

(2) 本文給出的點(diǎn)支式玻璃幕墻預(yù)應(yīng)力自平衡索桁架支承體系非線性振動解析解計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果較吻合，小于工程上的允許誤差，驗(yàn)證了該解析解的可靠性。

(3) 預(yù)應(yīng)力自平衡索桁架支承體系固有頻率隨著溫度的增加而減小，隨著振幅、初始拉力、矢高的增大而增大。

(4) 自平衡索桁架支承體系的非線性振動頻率高于線性振動頻率。

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