橋臺后路堤多級加載下黏彈性飽和成層軟土地基一維固結分析

劉萌成 ，朱洪州，彭衛兵

(1. 浙江工業大學 建筑工程學院，浙江 杭州，310014；2. 重慶交通大學 土木建筑學院，重慶，400074)

近年來，國內外許多學者對飽和成層地基固結變形問題進行了大量的研究。Schiffman等[1-3]開展了簡單靜載作用下飽和成層地基一維固結研究工作。此后，謝康和等[4-5]獲得了變荷載下任意層地基和半透水邊界飽和成層地基的一維固結解答。為了更合理地反映地基土特性及附加應力隨深度的分布規律，Zhu等[6]研究了隨深度變化荷載作用下雙層土的固結問題，李冰河等[7-8]采用各天然土層劃分多個子層并假定各子層應力應變關系為線彈性的方法，得到了變荷載作用下滲透系數和壓縮模量隨深度變化的成層地基非線性一維固結問題半解析解。為了合理考慮軟土地基的黏彈性特性，蔡袁強等[9-11]通過研究獲得變荷載作用下半透水邊界黏彈性成層地基的一維固結解答，這為進行現場沉降或沉降速率預測提供了較為有效的計算方法。軟土地區修建高速公路等交通基礎設施常常采用橋梁跨越不良土體區域，由此產生的橋臺后地基長期沉降問題成為關注的焦點。由于橋梁的隔斷作用，公路路堤沿縱向出現局部間斷，橋臺后路堤荷載呈現為半無限條形荷載形式。橋臺后路堤荷載作用下地基豎向附加應力非均勻分布，對應的地基沉降亦具有非均勻分布特性。為此，本文作者通過公式推導獲得了橋臺后軟土地基豎向附加應力計算公式以及多級加載條件下路堤荷載的Laplace變換遞推公式，基于Terzaghi一維固結理論及Boussinesq彈性力學解答，建立橋臺后路堤多級加載下黏彈性飽和成層軟土地基固結變形分析方法。通過算例分析闡明了該方法的合理性和可靠性，計算結果可為橋臺后軟土地基沉降分析提供參考。

圖1 橋臺后黏彈性飽和成層軟土地基固結計算模型縱斷面圖Fig.1 Longitudinal section of consolidation analysis model in bridge approach viscoelastic saturated layered soft soils

1 問題的描述

橋臺后黏彈性飽和成層軟土地基固結求解采用Terzaghi一維固結理論基本假設條件[12]。計算模型縱斷面如圖1所示，其中：O為空間坐標系原點；O′為路橋交接面與路堤底面(地基表面)中心線交點；x軸為路堤寬度方向；y軸為路堤底面縱向中心線；z軸為豎直方向；y0為計算橫截面與路橋交接面在y方向上的距離；P(x，t)為橋臺后路堤自重引起的地基表面荷載，其幾何特點為x方向(橫斷面)呈等腰梯形分布，y方向(縱斷面)呈半無限均勻分布(即由路橋交接處向正y方向無限延伸)；hi為第i層(i=1，2，…，n)層底z坐標，Esi，ηi，kv,i分別為第 i層(i=1，2，…，n)的壓縮模量、黏滯系數和豎向滲透系數。計算模型的初始條件、邊界條件以及層間連續條件如下(其中：′為第i層有豎向效應力；t為時間；γw為水的容重)。

2 地基豎向附加應力計算

由于成層軟土地基各土層間剛度差異較小，因此，應力擴散效應較小，沿用分層總和法中地基附加應力計算原理而忽略土層應力擴散效應。空間坐標系如圖2所示。其中：b為路堤頂部寬度；β為旋轉至z軸正方向所夾銳角，逆時針旋轉為負，順時針為正；x為在x軸投影坐標；a為路堤邊坡寬度；R1為M點與y軸的距離；y0為計算橫截面與路橋交接面y方向距離；h為路堤高度；R為M點與y軸任意點的距離；z為在z軸投影長度。為簡化積分表達，圖2中坐標原點O始終為路堤底面中心線與計算點M所處橫截面xOz交點，該截面與橋臺距離為y0，因此，該點坐標為M(x，0，z)。如圖2所示，橋臺后路堤荷載產生的地基豎向附加應力可以通過左右2個三角形和中間 1個矩形(均勻)分布半無限條形荷載的面積積分得到，該積分可分解為y方向和x方向2步積分。y方向積分范圍為，而 x方向積分范圍為。具體積分表達式和積分上、下限如表1所示，其中：p0為均布荷載(即三角形荷載最大值)；β1，β2，β3和 β4分別為圖 2中地基上任一點M與I，J，C或D點連線與z軸正方向所夾銳角。

表1 橫截面上不同類型荷載微分形式(x≥0)Table1 Differential formulation of various loads at transverse sections

圖2 橋臺后路堤三維構造模型Fig.2 Configuration of three-dimensional model in bridge-approach embankment

圖3 橋臺后路堤荷載縱斷面積分計算示意圖Fig.3 Integral analysis of bridge-approach embankment load at longitudinal section

2.1 荷載沿路堤縱向積分

2.2 荷載沿路堤寬度方向積分

2.2.1 矩形分布條形荷載

橫截面上矩形分布荷載微分表達式如圖4所示，其中：O1為M點在x軸的投影點；O為坐標原點；A為 dx微分段內荷載作用點；C為路堤右側坡腳；p0為最大荷載集度；為A點處荷載集度；R1為長度。由于地基豎向附加應力關于路堤中心縱斷面對稱分布，因此，以下只考慮x≥0的情況。將表1中IJGH矩形荷載代入式(1)，積分可得該荷載作用下地基任意位置豎向附加應力：

圖4 橫截面上矩形分布荷載微分表達式Fig.4 Differential formulations of loads in rectangular distribution at transverse section

2.2.2 三角形分布條形荷載

如圖5(a)所示，將表1中三角形ΔICH荷載表達式代入式(1)，積分可得相應地基任意位置豎向附加應力：

令 y0cos β=ztan γ，則：

式中：γ為換元積分中間變量。

圖5 橫截面上三角形荷載微分形式Fig.5 Differential formulations of loads in triangular distribution at transverse sections

同理，由圖5(b)可以推導得到ΔJDG荷載作用下豎向附加應力為：

其中： ta nβ3=[x - (b/2+a)]/z；當x≥b/2+a時，β3≥0；當 0≤x＜b/2+a時，β3＜0；而 x≥0時，tanβ4=(x+b/2+a)/z。對應中間變量 γ上、下限 γ1，γ3以及 γ2，γ4可通過三角函數關系計算得到。綜上可知，橫截面上梯形分布路堤荷載產生的地基豎向附加應力σz計算公式為：

由式(2)~(7)可知，圖 1中所示地基表面荷載P(x，t)在橋臺后地基中產生的豎向附加應力σz為x，z和y0的函數，即該附加應力在深度方向、縱斷面和橫斷面方向皆呈現為非均勻分布形式。

3 問題求解

3.1 固結方程求解

文獻[4]給出的一維黏彈性kelvin體的Terzaghi一維固結微分控制方程為：

以下根據本文邊界和初始條件求解方程(8)。針對時間t對方程(8)進行Laplace變換：

其中：s=ρ+iw，s，ρ，w為Laplace變換參變量。根據初始條件可知z,0)=0，因此，式(9)簡化為：

求解方程(10)可得地基第 i土層豎向有效應力Laplace變換解答：

式中：λi1和λi2為第i層土層應力矩陣待定系數。

將有效應力的 Laplace變換解答分別代入層間應力連續條件和流量連續條件的 Laplace變換等式，聯立求解可得到應力解系數矩陣Di及其遞推公式：

將式(11)進行Laplace逆變換，可獲得地基表面無限均布荷載 p0作用下有效應力z,t)與孔壓z,t)解答。當豎向附加應力 σz與深度 z滿足關系 σz=p0f(z)時 ，根據文獻[14]，有效應力z,t)與 孔 壓z,t)為：

式中，f(z)為σz關于z的分布函數。分別采用式(2)，(3)和(6)計算矩形IJGH分布、三角形ICH分布和三角形JDG分布的單位荷載作用下附加應力 σz1/p0，σz2/p0和σz3/p0，然后，將三者疊加獲得圖1中點M(x，0，z)的分布函數 f(z)=(σz1+σz2+σz3)/p0。地基總沉降s為各個地基土層沉降Δsi之和：

式中：mvi為考慮黏彈性的等效體積壓縮系數。

由 于 難 以 通 過 公 式 推 導 方 法 獲 得的Laplace逆變換解析解，因此，本文采用常用的Durbin數值方法[15]對式(11)進行Laplace逆變換數值求解。

3.2 路堤多級加載的Laplace變換遞推公式

根據橋臺后路堤分層填筑現場工況(如圖6所示)，給出以下2點假設條件：(1) 第j層填筑時間(加荷時間)為Tcj，對應矩形IJGH區域荷載增量為第i層填土自重pj；(2) 第j個施工間歇期(相鄰2個加載階段的時間間隔)為 Tsj，并且施工間歇期荷載保持恒定。路堤多級加載p(t)表達式為：

圖6 路堤多級加載歷時曲線Fig.6 Time history curves of multi-stage embankment loading

tj(j=1，2，3，…，n)為加載時間；ttj為第 j級荷載加載時間和對應的方缸間歇時間之和；t2j-1為第 j級荷載施加完畢時刻；t2j為第 j級施工間歇完畢時的時間，則其中，j=1，2，…，n。

根據 Laplace積分變換定義，可以得到路堤多級加載Laplace變換的一般表達式：

定義以下積分形式：

由此得到路堤荷載分1級、2級、…、n級施加的遞推公式：

4 算例分析

江蘇淮(安)鹽(城)高速公路某試驗段跨線橋采用樁承式橋臺，橋臺后飽和成層軟土地基模型如圖1所示，排水邊界條件為單面(頂部)排水。通過室內試驗獲得成層地基固結參數如表2所示。橋臺后路堤高2 m，分 8次填筑，每次厚度 0.25 m，填土容重為 20 kN/m3；橋臺后路堤采用等速施工方法填筑，每層填筑時間Tcj=5 d，施工間歇時間Tsj=20 d，因此，路堤竣工時間為200 d。

頂部寬度為b=20 m，邊坡坡率為1.0:1.5，由此可得路堤邊坡寬度 a=3.0 m。沿著路堤中線在地基表面設置系列沉降監測點，監測工作從路堤填筑時開始，至路堤竣工后480 d結束。依據橋臺后路堤多級加載下橋臺后飽和成層軟土地基一維固結解答，采用Fortran語言編制相應計算程序，針對計入和不計入土層黏性2類情況，對上述工程實例進行沉降預測與實測結果的對比分析。路堤中線下黏彈性飽和成層軟土地基表面沉降曲線如圖7所示，路堤中線下彈性飽和成層軟土地基表面沉降曲線如圖8所示。

對比圖7和8地表沉降預測結果發現：無論是否計入地基土體黏性特性，越接近橋臺處，地表沉降變化幅度越大，越遠離橋臺，則地表沉降變化幅度越小；計算結果表明：距離橋臺距離y≥20 m時，地表沉降達到穩定值并呈現為均勻分布形式。由此可見：地表沉降由非均勻分布過渡到均勻分布反映了橋臺截斷路堤形成地基應力非均勻分布的影響范圍存在有限性。

由圖7與圖8可知：黏彈性地基地表沉降預測值略小于實測值，而彈性地基地表沉降預測值大于實測值。這是由于描述地基黏彈性的Kelvin體牛頓黏壺起到遲滯變形的作用。計入地基黏性與不計地基黏性相比，其預測值更接近現場實測值。這表明采用黏彈性模型能夠較合理地描述軟土地基流變特性，并能較準確地預測軟土地基沉降。

表2 飽和成層軟土地基固結參數Table2 Consolidation parameters of saturated layered soft soils

圖7 路堤中線下黏彈性飽和成層軟土地基表面沉降曲線Fig.7 Settlements at top of viscoelastic saturated layered soft soils under center line of embankment

圖8 路堤中線下彈性飽和成層軟土地基表面沉降曲線Fig.8 Settlements at top of elastic saturated layered soft soils under center line of embankment

5 結論

(1) 在橫截面梯形分布的路堤荷載作用下，橋臺后地基豎向附加應力計算公式能夠較好地反映地基豎向附加應力沿地基深度和道路縱向的非均勻分布規律。

(2) 多級加載條件下橋臺后路堤荷載的 Laplace變換遞推公式統一形式能夠較好地反映現場路堤分層填筑的實際工況。

(3) 在橋臺后路堤多級加載條件下，飽和成層軟土地基表面沉降預測值與現場實測值基本一致，表明該固結解答具有合理性和可靠性。

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