基于多頻約束和解析靈敏度法的大型振動篩優化設計

賀孝梅，劉初升，張成勇

(1. 中國礦業大學 藝術與設計學院，江蘇 徐州，221116；2. 中國礦業大學 機電工程學院，江蘇 徐州，221116；3. 中國礦業大學 化工學院，江蘇 徐州，221116)

大型振動篩在工作過程中，側板分布著很大的慣性力，篩體做剛體運動的同時也在做彈性變形運動，使得側板產生較大的動應力[1]，容易形成疲勞裂紋從而導致振動篩損壞。要提高振動篩的可靠性，就需要解決側板振動過程中應力過高的問題。機械機構中加筋板是控制基體結構應力水平的一種常見而有效的方法[2]，但筋板的結構尺寸及其在基體材料上的布置問題一直是側板結構設計的一個難點問題。加強筋的位置、尺寸及厚度一般都是根據工程技術人員的經驗設計的，缺乏理論依據。現有的文獻[3-5]對于振動篩的優化設計，大多是從工藝參數及物料運動特性如篩面長度、傾角、篩孔尺寸、拋擲指數和物料運動軌跡等方面進行研究，對于結構的位置和形狀尺寸優化方面的研究較少。為了解決大型振動篩工作過程中側板動應力過高、易損壞的問題，有必要研究篩體側板加強筋的結構尺寸及位置布置。為此，本文作者研究基于多頻約束和解析靈敏度分析法的加強筋的結構尺寸優化，給出適合多頻約束求解的優化準則。

1 解析靈敏度計算方法

在對結構進行優化的過程中，需要對結構參數進行修改，應用靈敏度分析可以找出對結構系統總體動態特性影響最大的結構參數，從而使結構修改再設計工作收到事半功倍的效果。一般優化設計軟件計算靈敏度時，結構優化程序基本上都采用差分法或半解析法，但根據這2種方法計算的靈敏度受差分步長的影響而不穩定，還會導致結構優化分析次數增加，使計算效率低和優化結果不明顯。根據文獻[6-8]中靈敏度計算方法，本文給出了目標函數和約束條件的解析靈敏度的計算公式，以結構的質量作為目標函數，以頻率作為主要的約束形式，則目標函數的解析靈敏度方法為：

式中：W 為目標函數；we為單元的質量；pi為設計變量。

約束條件的解析靈敏度計算方法：

式中：rλ為頻率約束條件；rφ為相應頻率的模態；K為結構的總體剛度矩陣；M為結構的總體質量矩陣；ke為單元的剛度矩陣；me為單元的質量矩陣。

由理論分析可知：由式(2)或(3)都可以計算出約束頻率的解析靈敏度。根據式(2)的計算方法，首先要組裝總體剛度矩陣和總體質量矩陣對設計變量的偏導數矩陣，然后計算結構頻率的靈敏度，這在程序實現上容易，但2個與總體剛度矩陣同樣大小的大型矩陣的組裝，會花費較多的時間，也需要較多的存儲空間；并且根據結構優化的特點[8]，在絕大多數情況下，總體剛度矩陣和總體質量矩陣對設計變量的偏導數矩陣的非零元素比較多，這樣，就有許多零與非零相乘的無用計算。根據式(3)，在求得相關單元的剛度矩陣和質量矩陣對設計變量的偏導數后，計算各個相關單元對頻率靈敏度的貢獻，并將單元的貢獻疊加求和得到頻率靈敏度。這樣，可以節省總體剛度矩陣和質量矩陣的偏導數矩陣所占的存儲空間，也省去了大型矩陣的組裝、相乘運算，有利于節省存儲空間，提高計算效率。

由式(3)可知：求結構頻率的靈敏度時，需要計算單元剛度矩陣和質量矩陣的偏導數。將這些計算功能插入結構優化分析程序后，在結構分析的同時，就可以計算單元剛度矩陣和單元質量矩陣的偏導數矩陣。

2 振動篩優化參數的確定

2.1 振動篩側板基本結構

振動篩側板加強筋板尺寸的優化首先要確定基本彈性體結構。以基于超靜定網梁激振結構[9]設計的大型振動篩為研究對象，根據振動篩實際結構給出了側板的初始結構，如圖1所示。在基本結構中左右2個孔為振動篩支承梁的孔，中間2個孔為振動篩激振器安裝孔，其位置由振動篩的設計工藝所確定。

圖1 振動篩側板的初始結構Fig.1 Original structure of vibrating screen’s side plate

2.2 優化參數的確定

以質量最小為目標的頻率優化問題通常可表述如下[10]。

(1) 目標函數：

式中：x為包含n個xi的矢量；ρi為密度；xi為設計變量；li為單元長度；Gj(x)為撓度、應力和頻率等行為量；為需滿足的限制值；和分別為單元尺寸的上限和下限。

由于側板結構形狀比較復雜，優化過程中周邊加強筋與側板接觸部分的單元會因為多次的循環求解造成單元形狀的畸變而中止優化程序的執行。為保證優化的效果，需要對側板結構進行合理的簡化，簡化后的結構頻率會有一定程度下降，這在優化過程中會加以考慮。側板簡化的結構如圖2所示。

圖2 側板的簡化結構Fig.2 Simplified structure of side plate

結構優化過程中，以3個縱筋的截面寬度 r1，r2和r3及筋板的厚度h作為目標函數的設計變量。設計變量初始值為：r1=100 mm，r2=100 mm，r3=100 mm，h= 100 mm。 給出設計變量的上、下限約束條件：

60≤r1≤140 mm；60≤r2≤140 mm；

60≤r3≤140 mm；60≤h≤130 mm。

為滿足機械結構可靠性的要求，考慮振動篩的動態特性，以模態頻率作為約束條件。由于低階彈性模態頻率與振動篩工作頻率12.17 Hz比較接近，對振型的影響較大，因此，以前3階模態頻率f1，f2和f3作為約束條件。結構優化前，對振動篩側板固有特性進行分析，得到其前 3階模態頻率分別為 4.24，15.04和17.16 Hz。由模態疊加原理和動、靜應力之間關系理論及振動篩測試結果[10]可知：慣性振動篩結構的固有頻率與其工作頻率之差大于5 Hz，篩機才不會因共振發生早期失效。同時考慮到結構簡化的影響，狀態變量的上、下限約束條件為：

f1≤7.17 Hz；f2≥17.17 Hz；f3≥19.30 Hz。

優化過程以質量mt作為優化目標，通過靈敏度分析，使得結構參數在滿足頻率的條件下，結構質量最小，從而節省材料降低工程造價。側板的初始質量為2.352 80 t。

3 優化準則

多頻約束問題，一般可以表示為[11-12]：

式中：Ψj為第j階特征向量。考慮到結構非線性特性，單元剛度矩陣ke和單元質量矩陣me可表示為[13-14]：

式中：Ψ ?j為對M標準化后的模態向量。

根據優化參數構建拉格朗日方程：

式中：ζ為拉格朗日算子。

式(11)對 xi微分求 L的最小值，則優化準則可寫為：

式中：r為循環數；v為步長因子。

Khot[15]給出了求ζj的等式，但是比較復雜，通過調整參數并作簡化，得到1個近似的ζj，計算結果表明該值滿足計算要求。

4 優化結果分析

4.1 側板優化結果

根據推導得出的遞推公式進行迭代計算，迭代12次得到優化結果，如表1所示。最優的結果是序列10，此時 r1=60.29 mm，r2=60.31 mm，r3=61.10 mm，h=60.36 mm，f1=4.17 Hz，f2=15.30 Hz，f3=17.66 Hz，mt=2.158 30 t。

在優化過程中，優化目標mt優化進程如圖3所示，變量h，r1，r2和r3的優化進程如圖4～7所示，約束頻率f1，f2及f3優化進程如圖8～10所示。

將最優的結果與優化前結果相比較，如表2所示。由表2可知：結構優化后側板的質量降低了8.27%，達到了比較好的優化效果。第1階模態頻率為剛體運動頻率，數值變小，滿足工作要求；第2階和第3階模態頻率分別提高1.73%和2.91%，與工作頻率12.17 Hz相距較遠，可以有效地避免共振，防止振動篩結構的損壞。

圖3 mt優化進程Fig.3 Optimization process of mt

圖4 h優化進程Fig.4 Optimization process of h

圖5 r1優化進程Fig.5 Optimization process of r1

圖6 r2優化進程Fig.6 Optimization process of r2

圖7 r3優化進程Fig.7 Optimization process of r3

圖8 f1優化進程Fig.8 Optimization process of f1

圖9 f2優化進程Fig.9 Optimization process of f2

圖10 f3優化進程Fig.10 Optimization process of f3

4.2 振動篩優化后的整體效果評估與分析

筋板的尺寸優化后，根據最優結果對整個振動篩結構進行修改，其結構模型及有限元模型如圖11和12所示。再次分析其固有特性，計算出整個振動篩的前12階固有頻率和振型，結果如表3所示。

從表3可知：經過結構尺寸優化后，振動篩彎曲變形頻率有了較大的提高，第10～12階模態頻率與優化前相比提高了7～18 Hz，說明篩體整體剛度提高。與工作頻率比較接近的第7，8和9階模態頻率是對結構影響較大的變形頻率，分別由優化前的16.09，18.07和19.83 Hz變為18.37，20.29和24.39 Hz。結構優化后第7階和第8階模態振型如圖13和14所示，相對應的振型位移Dmx為0.70 mm和0.54 mm。

表2 側板優化相關參數Table2 Optimization parameters of side plate

表3 振動篩的模態計算結果Table3 Modal calculation results of vibrating screen

圖11 結構模型Fig.11 Structural model

圖12 有限元模型Fig.12 Finite element model

圖13 第7階振型Fig.13 Seventh vibration mode

圖14 第8階振型圖Fig.14 Eighth vibration mode

將振動篩優化前后相關的參數進行比較，結果如表4所示。由表4可知：優化后振動篩的第1階彈性變形頻率提高 14.17%，第 2階彈性變形頻率提高了12.29%，振動篩總質量減少2.35%。可以說經過筋板尺寸優化后節約了材料，提高了篩板的剛度，降低了篩板的變形，提高了結構的穩定性。

表4 振動篩優化相關參數Table4 Relevant Parameters of Vibrating Screen

5 結論

(1) 在振動篩的加強筋板尺寸優化過程中，將解析靈敏度計算方法嵌入結構優化程序中，考慮變量參數的靈敏度特性，使結構修改靈活有效，提高了程序計算效率，得到了較穩定的優化結果。

(2) 以振動篩側板質量為目標函數，得到了滿足多個頻率約束條件的側板的最小質量。優化后單個側板質量降低 8.27%，節省了材料，降低了振動篩的工程造價。

(3) 在結構的優化設計中，考慮動力學因素的影響，以多個模態頻率作為動態控制參數，給出了適合多頻約束的求解準則，簡化了遞推公式中的參數因子ζj。

(4) 對振動篩加強筋板的尺寸進行優化后，側板質量降低8.27%，2階彈性變形頻率分別提高了1.37%和 2.97%，達到比較好的優化效果。對優化后振動篩進行評估，其質量降低了 2.35%，與工作頻率比較接近的3階彈性變形模態頻率分別提高14.17%，12.29%和23.01%。優化后振動篩的固有頻率提高，篩板的剛度增加，模態頻率遠離激振電機的工作頻率，從而提高了結構的穩定性。

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