直斜裂紋轉軸的時變剛度特性研究

劉長利，李 誠，周邵萍，夏春明

(1.華東理工大學 機械與動力工程學院 承壓系統安全科學教育部重點實驗室，上海 200237;2.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240)

大型旋轉機械轉軸上的疲勞裂紋是工業機組的重大隱患。含裂紋轉子的非線性動力學特性主要是轉軸的局部時變剛度造成的。使用開關函數描述裂紋的呼吸效應主要有方波模型，余弦波模型和高－朱模型等。李允公等［1］指出開關函數具有相位調制特點，開關函數與時變剛度間有幅值調制特點。Dimarogonas等人［2］提出了著名的采用斷裂力學理論來計算裂紋軸的附加柔度。Papadopoulos等［3］利用截斷的余弦級數模擬裂紋轉軸在旋轉過程中裂紋軸段的剛度變化。Darpe等［4］提出應力強度因子為零法模擬裂紋的呼吸效應，即當第一應力強度因子大于零時裂紋的尖端場為拉應力，裂紋處于張開狀態。文獻［5］提出中性軸法模擬裂紋的呼吸效應，即尋找兩主方向不同力的比值作用下裂紋截面的中性軸，作為拉壓區域的分界線。前者得到的剛度曲線光滑且與試驗曲線的近似程度大，是比較好的剛度理論模型。Darpe等分析了含直裂紋［4］和斜裂紋［6］的轉子的動力學特性，但是沒有詳細研究轉子在旋轉時，裂紋引起的剛度時變規律。何為等［7］推導了含橫向裂紋轉軸的剛度矩陣，分析了裂紋深度比和轉軸細長比等參數對轉軸剛度的影響，但是裂紋轉子的剛度變化規律在靜止狀態下和旋轉狀態下還是有較大區別的。

本文采用Dimarogonas等提出的應變能釋放率方法推導了裂紋單元的剛度矩陣，采用Darpe提出的應力強度因子為零法模擬裂紋的呼吸效應，詳細研究了不同深度的直裂紋和45°斜裂紋轉子，在一個穩態旋轉周期內，裂紋開閉規律以及轉軸剛度時變特性。

1 裂紋單元剛度矩陣及系統動力學方程

1.1 裂紋單元的剛度矩陣

考慮梁的轉動慣量和剪切變形，在靜止坐標系下Jeffcott轉子系統的橫向振動方程為:

式中:［M］、［C］、［Gyr］、［K］分別是轉子的總體質量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣。別為節點上的加速度、速度和位移矢量。{f}為外激振力，包含重力和不平衡力。

含裂紋轉子軸段如圖1所示。軸段受到軸向力P1，P7，剪力 P2，P3，P8，P9，扭矩 P4，P10，及彎矩 P5，P6，P11，P12等力的作用。

圖1 裂紋單元的力學模型Fig.1 The mechanical model of the cracked element

轉子無裂紋軸段的應變能如式(2)所示:

由圖1中轉子裂紋單元的受力情況可知，轉子的應變能為:

其中，T 為扭矩，FN為軸向力，Fτ1，Fτ2為剪力，M1，M2為彎矩，E為材料的彈性模量，Ge為切變模量，I為轉軸的慣性矩，Ip為極慣性矩，A為圓截面面積，αs為剪切系數。如圖 1 所示，則 T=P4，FN=P，Fτ1=P2，Fτ2=P3，M1=P3x+P5，M2=P2x－P6。故無裂紋軸段的柔度系數為:

根據斷裂力學理論，由裂紋擴展引起的附加應變能為［2］:

其中G(A)為應變能密度函數，其表達式為:

其中 E '=E/(1 －v2)，ms=1+v、、(i=1－6)分別為Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型裂紋的應力強度因子，則附加柔度系數為:

由式(4)和式(7)，得到裂紋單元整體柔度系數為:

故裂紋軸段的單元剛度矩陣可表述為:

其中轉換矩陣［T］如下式，其中l為單元的長度。

1.2 轉軸裂紋的呼吸效應

確定裂紋單元柔度矩陣中各柔度項，即式(7)的積分區域A。根據斷裂力學的概念，對于Ⅰ型裂紋，裂紋截面上應力強度因子的KⅠ的值為正，表示該處受拉應力，裂紋張開;反之受壓應力，裂紋閉合。張開型裂紋的6個應力強度因子分量為［6］:

其中θ為裂紋截面與轉子軸線的夾角。

P1～P6是在固定在轉子上的旋轉坐標系作用于裂紋單元上的節點力，如圖2所示。χ是裂紋中心距單元左端的距離;β為裂紋邊緣與裂紋中心線間的距離;α為裂紋邊緣的裂紋深度;α'為增量dβ的總高度;θ為斜裂紋的偏角;對于圓截面，形狀系數k=6(1+ν)/(7+6ν)，ν為材料的泊松比。

圖2 裂紋截面示意圖Fig.2 Crack cross section

張開型裂紋的截面某點處的應力強度因子和為:

KⅠ的正負即表示該處的受力狀態與裂紋的開閉。

將裂紋邊平均分成50份，采用式(11)，沿裂紋邊緣線依次計算各點的總應力強度因子，在KⅠ變號的位置作垂線垂直于裂紋邊界線，該垂線即為裂紋開閉線(CCLP)［4］，如圖3所示。開閉線一側區域(包括裂紋邊界線)的點受拉應力張開，另一側的點受壓應力而閉合。確定了轉軸某一轉角下裂紋截面的開閉區域，就確定了裂紋單元各柔度項的積分區域，即可得到該轉角下對應的裂紋單元剛度。

圖3 裂紋開閉線位置的變化點分布圖Fig.3 The position of crack closure line

2 裂紋截面的開閉變化研究

本文采用Timoshenko梁單元對Jeffcott轉子建模，每個節點具有6個自由度。轉軸共劃分為14個單元，圓盤位于轉軸中央，裂紋緊鄰圓盤。轉軸長度為560 mm，半徑為10 mm。圓盤的半徑為37 mm，寬度為25 mm，偏心e=1.65×10－5m。轉軸和圓盤的彈性模量E=2.11 ×1011Pa，泊松比 v=0.3。

計算得到的無裂紋轉子的前二階橫向固有頻率為36.02 Hz和161.44 Hz。根據系統的前二階固有頻率得到質量阻尼Alpha=1.1019，剛度阻尼Belta=2.382×10－4。轉軸的旋轉速度為18 Hz。采用Newmark法計算轉子的響應，積分參數取 α=0.2525，δ=0.505，采樣頻率為f=1024 Hz。

本文以無裂紋轉子的靜變形作為初始條件，轉子的初始剛度矩陣為無裂紋轉子的剛度，此時裂紋在重力作用下處于全閉的狀態。轉子在每一個旋轉角度下，根據應力強度因子為零法確定裂紋的開閉位置，進而得到裂紋單元的剛度矩陣，用其來更新轉子的總體剛度矩陣，再計算下一旋轉角度下轉子的響應，以求解對應的新裂紋開閉狀態和裂紋單元的新剛度矩陣。由此得到呼吸裂紋的開閉規律和裂紋單元剛度變化特性。

2.1 直斜裂紋截面開閉變化分析

以直裂紋相對深度a=0.3為例，如圖4所示，當轉子轉角由φ=0°轉至φ=23°，裂紋截面仍處于閉合狀態;當轉子轉過φ=23°，截面開始由A端張開;轉至φ=157°，裂紋完全張開;轉子轉過φ=203°時，裂紋截面再次由A端開始逐漸閉合;在φ=337°達到完全閉合，至φ=360°完成一周期的變化。

圖5為斜裂紋相對深度a=0.3時裂紋截面的開閉變化。與圖4所示的直裂紋的呼吸過程相比，斜裂紋開始張開和閉合的時間較直裂紋有所延遲，當裂紋處于半開半閉時，延遲達到了10°的旋轉角;直裂紋處于全閉與全開時的角度跨度都為46°，而斜裂紋為48°，其處于全閉與全開狀態所經歷的時間較對應的直裂紋略長。

圖4 相對深度0.3下直裂紋截面的開閉變化Fig.4 The opening/closing of transverse crack cross section when a=0.3

圖5 相對深度a=0.3下斜裂紋截面的開閉變化Fig.5 The opening/closing of slant crack cross section when a=0.3

2.2 裂紋深度對裂紋截面開閉的影響

表1和表2分別給出了不同裂紋深度下，直裂紋和斜裂紋截面各個開閉狀態對應的轉角范圍。由表可知，裂紋截面并非只在 φ=0°(360°)或 φ =180°時才處于全開或全閉狀態，而是各對應一定的轉角范圍。隨著裂紋深度的增大，裂紋全開、全閉狀態的轉角范圍減小，由閉到開和由開到閉的轉角范圍增大，即開閉的過渡過程變得明顯。同時，斜裂紋各狀態的轉角范圍與直裂紋基本相同，但各狀態的始末角位置都略微滯后。

表1 不同裂紋深度下關于表面直裂紋開閉的轉子轉角Tab.1 The opening/closing angle of transverse crack cross section with different crack depth

表2 不同裂紋深度下關于表面斜裂紋開閉的轉子轉角Tab.2 The opening/closing angle of slant crack cross section with different crack depth

3 裂紋轉軸的剛度變化研究

利用Visual Fortran 6.5編制的有限元程序，改變裂紋的深度參數與裂紋截面與轉軸軸線的夾角，分別得到直裂紋和斜裂紋轉軸，穩定轉動一周內各個轉角的單元剛度矩陣，分析呼吸裂紋的剛度變化特性。

3.1 主剛度項的時變特性

圖6給出了裂紋單元主剛度隨旋轉角度和裂紋深度的變化。為了便于比較，同一剛度項的縱坐標的取值范圍是一致的。由圖6可知，對于淺裂紋(裂紋相對深度a=0.1)，直斜裂紋主剛度隨轉軸轉角的變化并不明顯。隨裂紋深度的逐漸加大，裂紋單元的主剛度不同程度的降低。在較深的裂紋深度下，斜裂紋的軸向剛度(K11)比直裂紋大。裂紋深度對斜裂紋剪切剛度(K22，K33)的影響比直裂紋單元明顯。直斜裂紋的彎曲剛度(K55，K66)在相同的裂紋深度下變化范圍基本相同，但是斜裂紋的剛度變化不再關于轉角φ=180°對稱，斜裂紋的最小剛度值出現在轉角φ小于180°的范圍內。直斜裂紋的扭轉剛度(K44)則基本相同。

3.2 耦合剛度項的時變特性

圖6 裂紋單元主剛度隨旋轉角度和裂紋深度的變化Fig.6 Variation of direct stiffness coefficient with different crack depth and rotating angle

圖7為裂紋單元耦合剛度隨旋轉角度和裂紋深度的變化圖。耦合剛度項的存在是耦合振動產生的主要原因。直裂紋不存在彎曲與扭轉振動之間的耦合(K45=0，K46=0)，以及軸向與扭轉(K14=0)之間的耦合［如式(8)所示］。斜裂紋雖然存在彎曲與扭轉振動之間的耦合，但是耦合作用也非常小。在所有的耦合剛度項中，除了K15和K16外，其余耦合剛度項的變化斜裂紋單元均大于直裂紋單元，表明直裂紋引起的轉軸的軸向振動與橫向振動的耦合作用較強，而其它幾種振動之間，由斜裂紋引起的耦合作用強。直裂紋單元引起的軸向與剪切振動之間的耦合(K12，K13)，剪切與彎曲振動的耦合(K25，K36)非常小，與其他耦合作用相比可以忽略不計，而斜裂紋的此項耦合用作非常強。因此，斜裂紋與直裂紋相比較而言，引起了轉子更多與更強的耦合振動，使轉子的動力學性能更加復雜。綜合圖6、7，與文獻［4］和［6］的結論相比，裂紋轉子在一個穩態旋轉周期內的轉軸剛度時變特性與在靜止狀態下得到的規律有較大的差別。

圖7 裂紋單元耦合剛度隨旋轉角度和裂紋深度的變化Fig.7 Variation of coupling stiffness coefficient with different crack depth and rotating angle

4 結論

本文詳細研究了不同深度的直裂紋和45°斜裂紋轉子，在一個穩態旋轉周期內，裂紋開閉規律以及轉軸剛度時變特性。得到如下結論:

在轉軸穩定運轉時，裂紋截面的完全張開、完全閉合和過渡過程分別對應一定的轉角范圍。表面裂紋的深度越大，裂紋呼吸的過渡過程越明顯。與直裂紋單元相比，斜裂紋單元的裂紋開閉變化轉角相位滯后。

含直斜裂紋的單元在裂紋深度較淺時，主剛度隨轉角的變化不明顯。隨著裂紋深度增大，主剛度在一周變化中的減小量加大。同一裂紋深度下，直裂紋與斜裂紋單元各主剛度的變化特性存在差異。斜裂紋與直裂紋相比較，引起了轉子更多與更強的耦合振動，使轉子的動力學性能更加復雜。

［1］李允公，劉 杰，張金萍，等.呼吸裂紋故障動力特性及特征提取方法的研究［J］.振動與沖擊，2004，23(3):37－41.

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