四元數體上兩類特殊矩陣的同時對角化

陳香萍，傅鴻源

(重慶大學城市科技學院，重慶 402167)

1 符號約定

1843年，北愛爾蘭數學家Hamilton首次提出了四元數的概念［1］，但當時并未引起廣泛的注意。近年來，四元數體上代數問題的研究是一個非常活躍的領域。一方面由于人們對四元數乘積的非交換性有著濃厚的興趣，同時還因為四元數在眾多的應用科學中有著重要的作用，如四元數在量子力學、剛體力學方面的應用，四元數矩陣在計算機圖形圖像處理和識別方面的應用，四元數在空間姿態定位方面的應用等［1］，也促使人們對四元數代數問題的研究。四元數矩陣的研究是四元數代數理論中的一個重要方面，例如文獻［4］討論了四元數矩陣的Moore-Penrose逆的計算簡化。近年來，四元數矩陣的特征值不等式、奇異值不等式、合同、正定性以及自共軛四元數矩陣行列式等方面都有廣泛的研究［4－13］，但對四元數體上矩陣同時對角化進行研究的文獻較少。

四元數矩陣的對角化是四元數矩陣理論的重要內容，它在四元數力學等一些四元數應用學科的理論研究和數值計算中起到重要作用。本文主要研究四元數體上矩陣的同時對角化問題，主要借助于實數域復數域上的矩陣同時對角化的一些結論及方法，在筆者對同時對角化問題的前期研究成果［3］的基礎上對四元數本身的特性加以改進，獲得了四元數體上兩類特殊矩陣同時對角化的條件。該研究對于深化四元數矩陣的學習及問題的解決有積極意義。

本文中:R表示實數域;C表示復數域;H表示R上的四元數體;A=( aij)n×n表示 H 上的矩陣;R和H上 n階矩陣的全體分別記為 Rn×n和 Hn×n;表示A的共軛轉置;a=a0+a1i+a2j+a3k表示實四元數(a0，a1，a2，a3為實數);α 和 In分別表示H上任意n維四元數列向量和n階單位矩陣;E表示R上n階單位矩陣;a*表示a的共軛四元數;α*表示α的共軛轉置向量。

2 定義和引理

定義1 設A，B∈Hn×n，若存在一個可逆矩陣P∈Hn×n，使得 B=P－1AP，則稱 A 與 B 相似，記為A～B。

定義2 設A，B∈Hn×n，若存在一個可逆矩陣P∈Hn×n，使得 B=P*AP，則稱 A 與 B 合同，記為A?B。

定義3 如果存在一個可逆矩陣 P∈Hn×n，使得

其中 λ1，λ2，…，λn∈R且為 A 的特征值，那么稱矩陣A為中心封閉陣。

定義4 如果矩陣 A∈Hn×n與一個對角矩陣相似，那么就說A為可角化矩陣。有時也可采用術語稱A是可對角的。

定義5［1］設

其中:αj= (a1j，a2j，…，anj)T，j=1，2，…，m;βi=(ai1，ai2，…，aim)，i=1，2，…，n，則稱列向量組{α1，α2，…，αm}的極大右(左)線性無關組的個數為 A 的列右(左)秩，稱行向量組 {β1，β2，…，βn}的極大左(右)線性無關組的個數為A的行左(右)秩。在A的子方陣中，重行列式不為零的子方陣的階數r稱為矩陣 A的秩，記為 rankA=r;如果n=m=r，則稱A為滿秩矩陣;又滿秩矩陣必為方陣。

引理1［1］設 A∈Hn×n，則 A 滿秩的充要條件為A可逆。

引理2［1］設 A∈Hn×n，則:A 的列右秩 =A 的列左秩=rankA;A的行右秩=A的行左秩=rankA。

引理3［2］設 A∈Hm×n，則 A 的行左秩、列右秩均等于rankA。

引理4 如果A∈Hn×n為可對角化矩陣，P∈Hn×n為任意可逆矩陣，則B=P－1AP亦可對角化。

證明因為A∈Hn×n為可對角化矩陣，則存在一個可逆矩陣 P1∈Hn×n，使得 P－11AP1=∧。又因為 B=P－1AP 得 A=PBP－1，則

其中:∧ 代表對角矩陣;P2=P－1P1，因此得證 B與一個對角矩陣∧相似，即 B=P－1AP亦可對角化。

3 主要結果及證明

定理1 設 A∈Hn×n，B ∈ Hm×m，令 C=是A，B的直和，那么 C可對角化，當且僅當A，B都可對角化。

證明如果存在非奇異矩陣P1∈Hn×n和非奇異矩陣 P2∈Hm×m，使得AP1和BP2都為對角矩陣，那么容易驗證，P－1CP是對角矩陣，只要P取直和

如果用

表示 P= [p1，p2，…，pn+m]，那么，對于 i=1，2，…，n+m，推出 Aξi= ξiλi和 Bηi=ηiλi。

如果在集合 { ξ1，ξ2，…，ξn+m} 中，無關向量少于n個，則矩陣

的列右秩將小于n，由引理2及引理3知其行左秩也小于n。

同理，如果集合 { η1，η2，…，ηn+m} 中，無關向量少于m個，則矩陣

的列右秩將小于m，由引理2及引理3知其行左秩也小于m。

在其中一種(或兩種)情形下，矩陣

的行左秩小于n+m，因為P是可逆矩陣，由引理1知，這是不可能的。因此，在集合{ξ1，ξ2，…，ξn+m}中，恰有n個無關的向量，又因為這每一個向量都是A的特征向量，所以矩陣A一定可以對角化。同理矩陣B也可對角化。定理1得證。

定理2 設 A∈Hn×n為中心封閉陣，B∈Hn×n為可對角化矩陣，如果AB=BA，則 A，B可同時對角化。

證明設AB=BA，由于A∈Hn×n為中心封閉陣，則存在一個可逆矩陣 P1∈Hn×n，使得

其中，λ1，λ2，…，λn∈R且為 A 的特征值，且為方便，可不妨設

其中 λ1，λ2，…，λs∈R 為互不相同的數(s≤n)。于是由AB=BA知P－11AP1與P－11BP1可以交換，為方便記 C=P－11AP1，D=P－11BP1，則 CD=DC，所以有

其中D=[ dij]，而 λ1，λ2，…，λs∈R為 A 的特征值。因為 λ1，λ2，…，λs∈R，則有 ( λi－ λj)dij=0。由此可知，只要 λi≠λj，就有 dij=0。因此，接上面已經給定的 λi(i=1，2，…，s)項的順序，D=是分塊對角矩陣:

其中，對于A的每個不同的特征值，有一個子塊Di，每個子塊Di是一個方陣，其階數等于與它相應的A的特征值的重數。因為B∈Hn×n為可對角化矩陣，由引理4知D為可對角化矩陣，又由定理1知，每個子塊Di可對角化。設Ti是使T－1iDiTi為對角矩陣的非奇異矩陣。因為C有分塊形式

其中每個純量矩陣λiIni與Di同階，由此得到T－1CT和T－1DT都是對角矩陣，其中

即A，B可同時對角化，證畢。

注:這個命題與實數或者復數域上的命題不同，在實數和復數域中對于任意兩個可對角化矩陣來說，可交換是它們可同時對角化的充要條件。但是在這里逆命題是不一定成立，即如果A，B可同時對角化，不一定有A，B可交換。在這里給出一個算例。

推論1 如果A∈Hn×n為可對角化矩陣，λI∈Rn×n為實數域中的純量矩陣，則A與λI可同時對角化。

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