基于實測時間序列的非線性系統(tǒng)恢復力識別

許 斌,賀 佳

(1.湖南大學土木工程學院,長沙 410082;2.湖南大學建筑安全與節(jié)能教育部重點實驗室,長沙 410082)

1 前言

由于結構材料自身的老化與徐變、使用荷載的變化以及各種自然和人為因素的作用,土木工程結構都不可避免地存在著不同程度損傷累積,從而導致結構使用性能降低甚至災變行為的發(fā)生。近來,世界范圍內(nèi)工程事故頻發(fā),工程結構的安全事故帶來巨大的生命和財產(chǎn)損失,進而產(chǎn)生較大的社會負面影響。因此,對工程結構在動力荷載作用下?lián)p傷的發(fā)生發(fā)展過程的監(jiān)測與識別已經(jīng)成為當前國內(nèi)外土木工程領域的緊迫課題和關鍵科學問題之一。

一般地,隨著損傷的發(fā)生和發(fā)展,結構參數(shù)也隨之發(fā)生改變。因此,在過去20多年的時間里,研究人員主要將土木工程結構的損傷識別問題作為結構參數(shù)識別問題來處理,提出了系列識別方法。現(xiàn)有的損傷識別研究以基于動力測量的方法為主,包括時域、頻域、時頻域聯(lián)合分析方法等[1,2]。這些土木工程結構的損傷識別方法的基本思想可以概括為以下兩點。第一,用結構構件層次或者子結構剛度的降低來表征結構損傷的存在和程度;第二,運用從結構動力響應測量中抽取的結構振動頻率和(或者)模態(tài)或者他們的衍生量,通過優(yōu)化算法識別出結構物理參數(shù)或者對原有數(shù)值模型進行修正,所識別或者修正的參數(shù)主要是結構構件剛度或者是材料層次的彈性模量,并借此表征損傷。顯然,從理論上來講,現(xiàn)階段應用最廣泛的動力指紋分析法和模型修正法均基于線性假定,即在測量過程中工程結構被認為是線彈性結構,并且某些情況下要以質量已知為前提。然而,實際工程結構在動力荷載作用下?lián)p傷的發(fā)生發(fā)展過程是典型的非線性過程,伴隨著結構損傷的出現(xiàn),結構隨即進入非線性狀態(tài),例如裂縫的發(fā)生、發(fā)展就是一個典型的非線性過程。另外,許多情況下結構的質量僅僅根據(jù)設計圖紙難以準確確定。因此,運用傳統(tǒng)的基于模型修正思想進行動力荷載作用下結構的損傷識別從方法論上說存在著不足。

事實上,與將一個非線性動力系統(tǒng)等價線性化,通過其剛度的變化來表述損傷程度的方法相比,結構構件的非線性恢復力特征不僅可以更直觀地反映結構構件的損傷發(fā)生發(fā)展過程,而且可以定量描述結構構件在動力荷載作用下所消耗的能量,更有助于對結構的損傷進行定量評估。因此,尋找一種基于基本運動方程而不需要關于結構的線性假定的具有普遍意義的直接利用結構動力響應測量數(shù)據(jù)的結構恢復力識別的方法具有重要意義[3]。

關于土木工程結構的非線性特性識別,國外開始了初步研究。Masri和Caughy提出了恢復力曲面法,以系統(tǒng)位移和速度為坐標,構造非線性系統(tǒng)恢復力曲面,解決了單自由度動力系統(tǒng)的非線性參數(shù)識別問題[4]。Masri等進一步將該方法應用于解決鏈狀多自由度非線性動力系統(tǒng)的識別問題[5]。針對非線性多自由度系統(tǒng),Masri等基于模態(tài)轉換的思想提出了完全基于結構動力響應數(shù)據(jù)測量的非線性多自由度系統(tǒng)的非參數(shù)化降階模型[6,7],該方法必須將質量視為已知條件,且不能直接應用于具有滯回特性的非線性結構。運用最小二乘擬合優(yōu)化算法,Toussi和Yao識別了高層結構層間力與位移隨時間變化的滯回特性[8],但該方法仍然需以結構質量作為已知條件。基于單個激勵和響應時程,結合最小二乘擬合算法,Mohammad等提出一種直接使用時域響應測量的線性或非線性結構物理參數(shù)識別方法[9],該方法有效識別了兩種弱非線性結構的各個物理參數(shù),然而,與通過識別結構剛度的變化來反映非線性程度、損傷大小的思路相比,結構的非線性恢復力最能反映結構自身損傷的發(fā)生和發(fā)展過程。

文章提出了一種不需要將質量視為已知條件,而是完全基于時域信號(激勵和響應信號)的非線性系統(tǒng)恢復力的識別方法,并以安裝有磁流變阻尼器(MR)的4層鋼框架模型實驗驗證了該方法的有效性。文章研究了在結構的各自由度均受激勵的完整激勵情況下與僅部分自由度受激勵的非完整激勵情況下的實現(xiàn)方法。

2 時域非線性動力系統(tǒng)恢復力識別的基本原理

2.1 完整激勵下非線性恢復力識別

在一個n個自由度的非線性結構中運動平衡方程可表示為:

結構的非線性恢復力是結構損傷狀況的最直接反映,識別出式(1)中的非線性恢復力FNT,可以直觀判斷結構是否進入非線性階段。

當結構的各自由度均受到激勵而且激勵和各自由度的響應測量已知時,為了求得FNT,可先構造一個非線性結構的等價線性結構,其平衡方程為:

式(2)中ME、CE和KE分別為等價線性結構的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。對于等價線性結構,f1(t)的第i個元素可以表達成系統(tǒng)狀態(tài)變量的線性組合[6,7]:

式(3)中,aE,ij、bE,ij、cE,ij分別表示等效質量、等效阻尼、等效剛度矩陣中等i行第j列的元素。運用優(yōu)化算法,比如最小二乘算法,可以確定式(3)中的各個系數(shù),進而得到等價線性系統(tǒng)的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。系統(tǒng)的質量矩陣與非線性無關,等價線性系統(tǒng)的質量矩陣可以作為非線性結構系統(tǒng)的質量矩陣的估計,于是整個非線性系統(tǒng)的恢復力可以根據(jù)下式確定:

一般地,至此即已達到求解恢復力的目的。在文章中非線性阻尼力由MR提供,為了驗證恢復力識別結果的可靠性,運用力傳感器測量了結構振動過程中MR的阻尼力大小并與識別結果進行比較。為了便于比較,需要從識別出的總非線性恢復力中除去結構自身的線彈性恢復力和粘性阻尼力。根據(jù)系統(tǒng)總恢復力的構成形式,MR的阻尼力為:

式(5)中,FN(t)為由MR提供的阻尼力;C、K為線性系統(tǒng)的阻尼和剛度矩陣。為了得到文章中線性系統(tǒng)的阻尼和剛度矩陣,可以將MR從非線性結構中移開,通過振動測試,運用上述方法得到。但該過程在實際中并不是必需的,在此僅為了結果比較的方便而從總的非線性恢復力中抽取出MR阻尼力。

2.2 非完整激勵下非線性恢復力的識別

在實際情況下,往往很難對結構的每一個自由度進行激勵,因此,上述方法必須進行改進。因為在不完整激勵下,激勵矩陣的秩小于結構的自由度n,從而不能直接使用最小二乘擬合求解結構矩陣。在非完整激勵情況下,考慮多自由度集中質量模型,其運動方程為:

不失一般性,假設只有結構的第i個自由度上受到激勵作用,則將式(6)展開并整理得:

式(7a)～(7c)中,mi表示第i個自由度上的集中質量;Vi-1,i和Si-1,i表示第i-1和i層之間的層間速度和層間位移;aj-1,j,h,l表示 Vi-1,i和 Si-1,i分別為 h次方和l次方時的待定系數(shù);p和q為層間位移和層間速度的最高次方數(shù),其大小視非線性程度而定。式(7a)為第i層(激勵作用處)的平衡方程,式(7b)為結構頂層平衡方程,式(7c)為任意第 j層(j≠i)的平衡方程。對于式(7a),可以直接運用最小二乘法得出各個參數(shù),而式(7b)和(7c)在等式兩邊同時除以mj后,運用最小二乘法也能得到各個待定系數(shù)與相應質量的比值。

根據(jù)結構各相鄰質點間的相互作用力大小相等、方向相反的關系,即 aj-1,j,h,l=-aj,j-1,h,l,式(7b)和(7c)中的各個參數(shù)即可分步確定,因此,第i-1層和第i層之間的層間恢復力可以求得:

同樣地,由于該層間恢復力是由結構自身的恢復力和MR阻尼力構成,則MR阻尼力的大小可以表示成:

3 基于動力實驗實測的非線性恢復力識別方法驗證

3.1 實驗模型以及動力測試

為了驗證方法的有效性,設計制作了一個4層鋼結構模型,并通過在結構的第4層安裝磁流變阻尼器的方法模擬結構的非線性行為,實驗模型如圖1所示。結構平面尺寸為0.3 m×0.4 m,層高0.3 m,總高度為1.2 m,結構總質量51.41 kg。樓面板的板厚為10 mm,柱截面尺寸為30 mm×5 mm,所有柱與樓面板均采用螺栓連接。此模型可以簡化成具有4個水平自由度的集中質量模型。磁流變阻尼器安裝在第4層即模型的集中質量3與4之間。MR的電流為0.1 A的直流電,其產(chǎn)生的阻尼力的大小由力傳感器直接測得。利用力錘給結構施加激勵,結構的加速度響應和位移響應分別由安裝在每層樓面上的加速度傳感器和位移傳感器測得。使用LMS數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)實時記錄激勵力和結構的加速度、位移響應,結構的速度由實測加速度積分得到。實驗采樣頻率為1 024 Hz。采用高通濾波,通過頻率為1 Hz。圖1表示實驗模型、傳感器安裝和數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。

圖1 非線性結構模型以及數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)Fig.1 Nonlinear model structure and data acquisition system

3.2 完整激勵下非線性恢復力識別驗證

此種工況下,用一個力錘依次沿水平方向激勵結構的每一層,并同時測量力錘激勵力、位移和加速度響應信號。圖2、圖3表示的是一組位移和加速度的實測值。

圖2 實測位移響應Fig.2 The displacement measurements

圖3 實測加速度響應Fig.3 The acceleration measurements

結合以上激勵和響應信號,根據(jù)式(3),運用最小二乘優(yōu)化算法,可以得到用系統(tǒng)動力響應表示的結構各層激勵,如式(10 a)～(10 d)所示。

式(10a)～(10d)中 ai、vi和 si(i=1,…,4)分別為第i層的加速度、速度和位移響應。由式(10a)～(10d)和式(3),等價線性結構的系數(shù)矩陣為:

式(11a)～(11c)的單位分別是kg、N/m和N· s/m。

此時,根據(jù)式(4)即可以直接求得結構的總恢復力。為了獲得MR所產(chǎn)生的阻尼力的大小并與實測值進行比較,對沒有安裝MR的線性結構進行了動力實驗。類似的,可以識別出線性結構的質量、剛度和阻尼矩陣如下:

式(12a)～(12c)的單位分別是kg、N/m和N·s/m。

由以上識別結果可知,盡管未對結構做任何假設,所識別出的線性結構質量、剛度、阻尼矩陣仍然具有較好的對稱性。通過比較式(11a)～(11c)和式(12a)～(12c)可知,MR阻尼器對結構的質量和剛度影響不甚明顯,這是由于MR阻尼器僅0.4 kg,相對于結構總重,其影響可以忽略不計,同時,MR阻尼器自身的特性決定了其對剛度的影響也很小。比較式(11c)和式(12c),可知MR阻尼器在結構的第3和第4集中質量之間。從而,根據(jù)式(5)即可得到MR阻尼力,其結果如圖4所示。圖5為實驗實測的 MR阻尼力的水平分量。從圖4和圖5可見,識別的MR阻尼力與實測值吻合較好。

如果考察其他各層的非線性阻尼力的大小,可以發(fā)現(xiàn),結構第1層至第3層的非線性阻尼力的值接近于零,表示在實驗結構的第1層至第3層沒有安裝MR阻尼器。圖6表示識別的第2層非線性阻尼力的大小,其值在整個動力測量過程中均相對較小,由此可以判斷該層沒有安裝MR阻尼器,層間恢復力為位移和速度的線性組合,層間結構未表現(xiàn)出非線性行為。第1層與第3層的結果類似,由于篇幅限制未列出。由此可見,該算法不僅能準確地確定動力荷載作用下結構的非線性響應區(qū)域,同時能定量地識別出結構非線性層間滯回特性。

圖4 識別的第4層MR阻尼器阻尼力Fig.4 The identified MR force on the 4th floor

圖5 實測的第4層MR阻尼器阻尼力Fig.5 The measured MR force on the 4th floor

3.3 非完整激勵下非線性恢復力識別驗證

為了驗證改進的算法的可靠性,進行了相應的動力測試實驗。實驗中力錘僅沿水平方向作用在結構的第3層,同時采集位移和加速度信號。實測位移、加速度信號分別如圖7、圖8所示。

從理論上說,根據(jù)式(7a)～(7c),S和V的最高次方數(shù)(即p和q)取得越高,越能夠更好地模擬結構的非線性。然而,實際工程中,次方數(shù)越高,運用最小二乘算法時噪聲的影響也越大,綜合考慮,文中取p+q=3(p,q均為整數(shù))。

圖6 識別的第2層MR阻尼器阻尼力Fig.6 The identified MR force on the 2nd floor

圖7 實測位移響應Fig.7 The displacement measurements

圖8 實測加速度響應Fig.8 The acceleration measurements

運用最小二乘擬合優(yōu)化算法,首先識別第3層平衡方程中的各個系數(shù),然后依次識別其余各層系數(shù)。因此,根據(jù)式(8),結構各層層間恢復力為:

式(13)中Vi=vi-vi-1和Si=si-si-1表示相鄰兩層間的層間速度和層間位移;FTR(i,i-1)表示第i層和第i-1層的層間恢復力。得到各層層間恢復力的表達式后根據(jù)式(9)可以確定MR阻尼力大小。圖9、圖10分別表示識別的和實測的第4層MR阻尼力。比較圖9與圖10可見,非完整激勵下識別出的MR阻尼力的大小與實測值基本吻合。通過多項式表達的恢復力識別結果與位移的關系曲線略顯光滑。

圖9 識別的第4層MR阻尼器阻尼力Fig.9 The identified MR force on the 4th floor

圖11所示為第2層MR阻尼力的識別結果,從圖中可見,第2層的MR阻尼力相對較小,類似的結果也可以在第1、3層得到。可以推斷結構的第1層至第3層沒有安裝MR阻尼器,相應層表現(xiàn)出線性行為,識別結果與實際情況相符。可見,在非完整激勵情況下所提出的改進的算法仍然不失為一種識別結構非線性恢復力的有效的方法。

圖10 實測的第4層MR阻尼器阻尼力Fig.10 The measured MR force on the 4th floor

圖11 識別的第2層MR阻尼器阻尼力Fig.11 The identified MR force on the 2nd floor

4 結語

基于結構的激勵和動力響應信號,運用文章所提出的方法可以對多自由度非線性系統(tǒng)的非線性恢復力進行有效識別。針對不同的激勵形式,文章分別提出了識別非線性恢復力的具體實現(xiàn)方法。該方法不需要已知結構質量,也不需要對識別對象的拓撲結構進行假設,其理論依據(jù)為運動平衡方程,具有一般性。通過在一個4層鋼結構模型中安裝MR阻尼器模擬結構非線性,運用在完整激勵和非完整激勵下的動力實驗驗證了該方法的可行性。結果表明,該方法是一種有效可行的結構非線性行為識別方法,能有效地識別出結構在動力荷載作用下的非線性恢復力。該方法能基于工程結構在動力荷載作用下的監(jiān)測數(shù)據(jù)對結構的非線性恢復力進行定量識別,進而可直觀體現(xiàn)結構的非線性行為的發(fā)生和發(fā)展過程。該方法將在結構健康監(jiān)測和損傷評估中得到有效應用。

文章所提出的兩種識別方法均運用了結構各個自由度上的加速度、速度和位移測量時間序列,然而實際工程中,最易獲得的觀測值是加速度,因此,對于僅有加速度實測值或結構響應觀測值有限的情況,需要對該方法進行進一步拓展。

[1]Doebling S W,Farrar C R,Prime M B.A summary review of vibration-based damage identification methods[J].Shock and Vibration Digest,1998,30(2):91-105.

[2]李國強,李 杰.工程結構動力檢測理論與應用[M].北京:科學出版社,2002.

[3]Zhou R,Xu B,He J,et al.Data-based hysteretic performance identification for a nonlinear structure equipped with MR damper[C]//Proceedings of the Tenth International Symposium on Structural Engineering for Young Experts.2008,2:1516-1521.

[4]Masri S F,Caughey T K.A nonparametric identification technique for nonlinear dynamic problems[J].Journal of Applied Mechanics,ASME,1979,46(2):433-447.

[5]Masri S F,Sassi H,Caughey T K.Nonparametric identification of arbitrary nonlinear system [J].Journal of Applied Mechanics Transportation,1982,49:754-767.

[6]Masri S F,Caffery J P,Caughey T K,et al.A general data-based approach for developing reduced-order models of non-linear MDOF systems[J].Nonlinear Dynamics,2005,39:95-112.

[7]Masri S F,Tasbihgoo F,Caffery J P,et al.Data-based model-free representation ofcomplex hysteretic MDOF systems [J].Structural Control&Health Monitoring,2006,13:365-387.

[8]Toussi S,Yao T P.Hysteretic identification of existing structures[J].Journal of Engineering Mechanics,ASCE,1983,109(5):1189-1202.

[9]Mohammad K S,Worden K,Tomlinson G R.Direct parameter estimation for linear and non-linear structures[J].Journal of Sound and Vibration,1992,153(3):471-499.