基于加權最小二乘的寬帶波束形成算法

白春惠,趙紅訓

(1.中國人民解放軍91404部隊,河北秦皇島066001;2.中國電子科技集團公司第五十四研究所,河北石家莊050081)

0 引言

經典的寬帶波束形成器通過對陣列中各陣元輸出信號進行時延、加權、求和來實現。寬帶信號通過一個指定基陣時,會有高頻能量的損失[1]。當寬帶信號通過此波束形成器時,不同頻率所形成的波束圖形狀不同。只有當目標正處于波束指向方向上時,具有相同的響應,波束輸出的信號不會失真。但當目標在主波束寬度內的其他方向入射時,不同頻率信號的波束輸出就會出現失真,目標信號的帶寬越大,失真就越嚴重。這種失真現象不但對信號處理中能量接收、信號波形分析和信號識別等有影響[2],而且對偵察機、通訊機和目標識別設備的性能發揮也有很大的影響,就需要設計恒定束寬波束形成器。時域恒定束寬寬帶波束形成器設計的任務就是尋找一組不同頻率下的加權系數,使得基陣的響應函數或波束圖在一定的頻率范圍內基本保持不變。

1 模型建立

假設空間存在M個陣元在空間內按一定規則排列放置,選擇空間某一點為參考點作為坐標原點,各陣元位置用三維坐標表示為:

假設入射到陣列的平面波點源信號入射角度θ=(?,φ),?和φ分別表示水平方位角和垂直俯仰角,則定義信號傳播方向的單位向量為:

則原點和陣元m接收到的信號之間的時間延遲為:

信號s(t)經過傳播時間延遲,在第m號陣元位置觀察的信號波形為:

信號通過陣列后輸出是各陣元上的輸出及其對應的復數權系數W乘積的累加。定義陣列在θ方向的響應為:

基陣波束圖定義為基陣響應函數的模值:

基陣的響應函數定義為基陣對于頻率為fk、方向為θ、單位幅值的平面波的響應為:

基陣的波束圖定義為基陣響應函數的模值:

由式(6)可見,由于基陣的陣列流形是頻率和方位的函數,如果要使波束圖在一定的頻率范圍內保持不變或基本不變[4],就需要權系數能隨頻率的改變而變化,且滿足:

為了衡量恒定束寬波束形成性能,定義了波束寬度變化量和相對波束誤差2個性能指標,用來表達主瓣內恒定響應效果。波束寬度變化量表示對于確定陣型和工作頻率,最低頻率波束寬度與最高頻率波束主瓣之間差值的1/2為波束寬度變化量。相對波束誤差為在觀察方位內絕對波束誤差平方的積分與期望方向圖幅度的平方,即功率方向圖的比值,表示為:

2 加權最小二乘恒定束寬波束形成

研究恒定束寬寬帶波束形成一般的處理方法是首先將工作頻帶劃分為K個子帶,按要求在參考頻率f0設計窄帶波束形成器,然后再對工作頻帶內的頻點聚焦來實現恒定束寬波束形成器。根據需要在參考頻率進行波束形成,假設其對應波束響應向量pd,待設計頻率波束響應p。綜上就是要設計工作頻率范圍內其他頻率的加權系數,使其滿足 δ=上式變形為:

最優權系數表達式為:

在恒定束寬波束形成設計中,主瓣范圍內陣列響應的變化大小情況非常重要,上節中的最小二乘法要求在全部觀察方位內響應恒定,顯然增加了冗余的等式約束,造成合成波束與期望波束在主瓣區域擬合誤差增大。本節在最小二乘法[3]的基礎上,在誤差范數上添加一個非負的誤差加權因子λ(θ),用于調節不同方位的擬合緊密程度。于是代價函數變形為:

對上式取q=2,則

M×1維全1列向量,則約束問題變為:

可得加權最小二乘最優解為:

3 特定響應FIR濾波器設計

對于時域寬帶波束形成器,當設計出加權系數矩陣后,其實現是通過每個陣元傳感器后的FIR濾波器完成。加權系數矩陣只是給出了一些離散頻率點上的幅相加權,利用FIR濾波器可以擬合整個頻段上的恒定束寬加權所對應的幅相響應[5]。

將Hm(f)和 φm作為FIR濾波器設計中期望的幅頻響應和相頻響應。在輸入端輸入頻率為f1,f2,…,fM的正弦信號xi=sin(2πfin),i=1,…,K,根據設計指標構造偽濾波器輸出。希望設計的濾波器在某些確定的頻率上比另一些頻率上滿足得更加嚴格些,對輸入正弦信號乘以一個代價因子ci,該值越大,期望設計的濾波器在該頻率滿足得越好,于是偽濾波器的輸出可表示為:

式中,Hm(fi)為頻率為fi時所要求的濾波器的幅度增益;φm(i)為該頻率的輸出相對于輸入信號的相移。濾波器輸入為:

令X=[x(n),x(n-1),…,x(n-L+1)]T,L為濾波器階數,濾波器權系數為hm,則輸出y=XThm。根據Wiener-Hopf方程,可以得到該濾波器的系數為:每個陣元傳感器通道經過式(13)得到對應的FIR濾波器系數。

4 仿真分析

根據以上介紹的恒定束寬FIR波束形成器設計方法,下面設計仿真試驗來驗證基于加權最小二乘恒定束寬波束形成及FIR濾波器對應的幅頻響應得到的波束圖是恒定束寬效果。

4.1 最小二乘恒定束寬波束形成

仿真試驗陣型為15陣元等距線陣,射頻頻率范圍[980MHz,1 180 MHz],參考頻率為f0=980 MHz,陣元間距d=λ0/2,λ0為頻率f0對應的波長。利用直接加權的方法得到參考頻率點陣列響應,步進10 MHz選取為仿真頻率點,利用式(10)和式(12)得到所有頻率點對應權值。波束圖如圖1和圖2所示。

圖1 最小二乘法波束圖

圖2 加權最小二乘法波束圖

從波束圖可以看到,2種方法都得到了恒定束寬波束,但是僅通過波束圖不易分析2種方法的效果。利用恒定束寬波束形成指標比較2種方法可以看到,加權最小二乘法主瓣的恒定束寬效果得到了提高。由于主瓣添加了一個非負的誤差加權因子λ(θ),主瓣波束畸變明顯減小,同時帶來的影響是旁瓣的變化增加。恒定束寬波束形成性能比較如表1所示。

表1 恒定束寬波束形成性能比較

4.2 FIR濾波器實現恒定束寬波束形成

仿真試驗陣列及頻率等參數同上,設計中頻頻率范圍為[180MHz,380 MHz],采樣頻率1 800 MHz,頻率間隔20 MHz。采用特定頻率響應濾波器設計各陣元傳感器后的濾波器,利用式(13)得到各組濾波器系數,濾波器階數L=42。為檢驗此時所設計濾波器的恒定束寬效果,畫出波束圖如圖3所示。

圖3 恒定束寬FIR波束形成器

由圖3可以看到,濾波器取得了恒定束寬的效果。波束寬度變化量由 0.05°變為0.30°,旁瓣也略有變化,這是由于設計濾波器幅相響應與期望濾波器幅相響應誤差引起的。

5 結束語

基于加權最小二乘法恒定束寬波束形成可以實現在信號帶寬內,基陣波束圖主瓣寬度保持恒定。仿真表明其恒定束寬效果好,穩健性強,可以適用于任意陣型。所設計濾波器對應的波束圖接近原恒定束寬波束圖,得到了主瓣內響應恒定的效果,可應用于具體工程設計。

[1]鄢社峰,馬遠良.傳感器陣列波束優化設計及應用[M].北京科學出版社,2008.

[2]唐建生.時域寬帶波束形成方法及實驗研究[D].陜西:西北工業大學(碩士論文),2004:43-44.

[3]瞿孟虹,吳 瑛.基于最小二乘自適應迭代的寬帶波束形成算法[J].數據采集與處理,2009,26(1):95-99.

[4]朱維杰.寬帶波束形成器的自適應綜合[J].聲學學報,2003,28(3):283-287.

[5]WARD D B,KENNEDY R A,WILLIAMSON R C.FIR Filter Designfor Frequency Invariant Beamformers[J].IEEE Signal Processing Lett,1996,3(3):69-71.