基于Mike-Farmer委托驅動模型的研究

顧高峰, 任 飛, 蔣志強, 周煒星

(華東理工大學商學院,上海 200237)

基于Mike-Farmer委托驅動模型的研究

顧高峰, 任 飛, 蔣志強, 周煒星

(華東理工大學商學院,上海 200237)

Mike-Farmer微觀模型是功能強大的委托驅動模型,能再現(xiàn)很多經(jīng)典的統(tǒng)計規(guī)律.本文介紹了Mike-Farmer委托驅動模型的構建過程,Mike-Farmer委托驅動模型生成的收益率,發(fā)現(xiàn)收益率在不同時間尺度下遵循冪律分布,服從負三次方定律.以Mike-Farmer委托驅動模型為平臺,進行收益率冪律分布和波動率聚簇效應的成因研究,發(fā)現(xiàn)收益率的冪律分布和市價訂單委托價格的概率分布相關,而波動率的聚簇效應與訂單委托價格時間序列的時間記憶性保持一致性.最后簡要介紹了模型的應用前景.

金融物理學;委托驅動模型;收益率冪律分布;波動率聚簇效應

金融市場是一個極其復雜的體系,眾多市場參與者相互博弈來獲得額外的收益.經(jīng)過各國學者的深入研究,金融市場中很多程式化規(guī)律已被揭示,掌握這些經(jīng)典的統(tǒng)計規(guī)律對于構建市場微觀模型具有十分重要的作用.多數(shù)經(jīng)濟學模型假設交易者是有限理性的,而且具有不同的策略[1].交易者大致分為兩大類型:基本面交易者和技術交易者.基本面交易者認為證券的價格由其價值決定,他們在證券價格低于其實際價值時買入證券,在證券價格高于其價值時賣出證券.而技術交易者通過各種分析技術,試圖預測證券價格的走勢,從而確定自己的交易策略.另外,理論定向模型在微觀模型領域中也發(fā)揮著重要的作用[2-4].金融學領域主要有三類微觀模型試圖重構這些主要的統(tǒng)計規(guī)律[5].第一類是動態(tài)模型,如收益率多重分形模型[6-7]、多重分形隨機游走模型[8-9]等.第二類是經(jīng)紀人模型,包括單經(jīng)紀人模型和多經(jīng)紀人模型,模型中經(jīng)紀人遵循事先約定的規(guī)則進行交易,價格的變化由需求和供給之間的不平衡性確定.學術界有多類經(jīng)紀人模型,如分類交易者博弈模型[10-12]、逾滲模型[13-18]、少數(shù)者博弈模型[19-25]和自旋模型[26-35]等.其中,少數(shù)者博弈模型是比較重要的一個類型,它可以再現(xiàn)很多統(tǒng)計規(guī)律.第三類是委托驅動模型,這類模型的關鍵在于重構指令簿動態(tài)行為[36-37],價格由連續(xù)雙向拍賣機制生成[38].經(jīng)紀人模型和委托驅動模型分別是報價驅動市場和委托驅動市場的縮影,從構建微觀模型而言,基于委托驅動市場的模型更加有助于理解證券市場的微觀結構和內在規(guī)律.

世界上多數(shù)委托驅動市場都采用連續(xù)雙向拍賣作為市場的交易機制,市場參與者提交或者撤銷訂單,交易系統(tǒng)根據(jù)價格-時間優(yōu)先的原則進行交易.各國學者在構建委托驅動模型上開展了很多有意義的工作[39],其歷史最早可以追溯到上世紀60年代[40].為了檢驗模型是否符合價格動態(tài)演化的規(guī)律,可以研究模擬生成的時間序列的統(tǒng)計規(guī)律,如收益率的概率分布和時間相關性、波動率的長期記憶性等.這些經(jīng)典的統(tǒng)計規(guī)律將更加有助于優(yōu)化模型,從而更加深刻地理解宏觀現(xiàn)象背后所隱藏的內在規(guī)律.例如,很多學者發(fā)現(xiàn)Bak- Paczuski- Shubik模型[41]和Maslov模型[42]生成的收益率時間序列的赫斯特指數(shù)小于理論值后便進行這方面的研究,很多新的委托驅動模型由此產生[43-44].

我國股市屬于委托驅動市場,采用連續(xù)雙向拍賣交易機制,因此,從微觀上看,應該構建委托驅動模型(或稱指令驅動模型).大部分委托驅動模型仍然采用多種無實證檢驗的假設,而Mike和Farmer的最新研究[45],則是通過實證研究確定下單和撤單的統(tǒng)計規(guī)律,并在此基礎上構建微觀模型,被稱為Mike-Farmer模型,簡稱為MF模型.這是委托驅動模型建模研究的重要突破.相比于其它委托驅動模型,MF模型是一個功能強大的微觀模型,能夠準確地再現(xiàn)很多經(jīng)典的統(tǒng)計規(guī)律[45],如收益率時間序列具有冪律尾分布,且服從負三次方定律；收益率時間序列不具有長期記憶性,買賣價差和訂單生存期服從冪律尾分布等.MF模型提供了一個良好的平臺去研究委托驅動市場中各種統(tǒng)計規(guī)律的內在機理,同時在資產定價和風險管理中也將起到重要作用.

1 Mike-Farmer模型簡介

Mike-Farmer模型主要由下單過程和撤單過程兩部分組成[45],Mike和Farmer以倫敦交易所股票AZN的高頻數(shù)據(jù)為研究對象,分別對兩個過程進行詳細的描述.

1.1 下單過程

股市中一個訂單由其委托價、委托量和符號確定,由于在MF模型中訂單的委托量固定為一個單位,所以,在下單過程中,MF模型需要對訂單的委托價格時間序列和訂單符號時間序列進行模擬.在確定訂單符號時,可用“+1”代表買單,“-1”代表賣單,模擬生成一個由“+1”和“-1”組成的訂單符號時間序列.圖1為倫敦交易所市價訂單和限價訂單的符號時間序列的赫斯特指數(shù)H的分布圖.

從圖1中計算得到市價訂單的赫斯特指數(shù)的均值為H=0.70±0.01,限價訂單的赫斯特指數(shù)的均值為H=0.72±0.01[46],說明無論是市價訂單還是限價訂單,其符號時間序列具有長期記憶性,這是一個普遍接受的結論,其赫斯特指數(shù)大于0.5.模型中Mike和Farmer用分數(shù)布朗運動模擬生成訂單符號時間序列[45].

對于訂單的委托價,很多學者進行過實證研究, Zovko和Farmer以倫敦交易所50只股票數(shù)據(jù)(1998 年8月1日～2000年4月31日)為對象,分析指令簿中訂單相對價格(委托價和本方最優(yōu)價格的對數(shù)距離)的概率分布,發(fā)現(xiàn)買單和賣單的概率分布在整體上都遵循冪律尾分布,其尾指數(shù)為ζx=1.5[47]. Bouchaud等人研究巴黎交易所3只股票的指令簿數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)指令簿中訂單的相對價格服從冪律分布,且其尾指數(shù)ζx=0.6[48].Potters和Bouchaud分析納斯達克市場3只股票的數(shù)據(jù)(2002年6月1日—2002 年7月15日),發(fā)現(xiàn)指令簿中訂單的相對價格服從冪律分布,其尾指數(shù)為ζx=1[49].Maskawa研究倫敦交易所中電子交易系統(tǒng)13只股票的數(shù)據(jù)(2004年7月～12月),發(fā)現(xiàn)相對價格服從冪律分布,其尾指數(shù)為ζx=1.5[50],這與Zovko和Farmer的結論相一致[47].同時Maskawa也分析了激進訂單相對價格的概率分布,發(fā)現(xiàn)其負尾分布比正尾分布下降得快.Mike和Farmer研究了倫敦交易所AZN和其它24只股票的數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)它們的相對對數(shù)價格服從學生分布[45],其尾指數(shù)ζx在[1.00,1.65]區(qū)間中變化,且買單和賣單的概率分布至少在某個范圍內獨立于買賣價差.顧高峰等人以中國深圳交易所23只股票的高頻數(shù)據(jù)為研究對象,發(fā)現(xiàn)相對價格的概率分布左右不對稱,但具有冪律尾分布,其尾指數(shù)介于1～2之間[51].

圖1 市價訂單符號和限價訂單符號赫斯特指數(shù)H的分布圖Fig.1 Histogram of Hurst exponents H for market orders and limit orders

MF模型用相對對數(shù)價格對下單位置進行描述.相對價格x定義為訂單委托價格和指令簿中本方最優(yōu)價格之間的對數(shù)距離,對于買單其表達式為

x(t)=π(t)-πb(t-1)(1)

式中,π(t)為t時刻訂單委托價格的對數(shù)值；πb(t-1)為t-1時刻指令簿中最高買價的對數(shù)值.對于賣單得到

x(t)=πa(t-1)-π(t)(2)

式中,πa(t-1)為t-1時刻指令簿中最低賣價的對數(shù)值.

圖2為股票AZN相對價格x的概率密度函數(shù)P(x)的示意圖.

圖2 股票AZN相對價格x的概率密度函數(shù)P(x)的示意圖Fig.2 Plot of the probability density function P(x)of relative prices x

在圖2中發(fā)現(xiàn)相對價格的概率密度函數(shù)P(x)關于x=0軸左右對稱,且在x=0處達到最大值,說明大部分交易者在本方最優(yōu)價格處下單,提高成交的概率,在指令簿內部和外部下單的數(shù)量基本相近.密度函數(shù)在整體上服從學生分布,如圖2中實線所示,其自由度ζ=1.3.買單和賣單的概率密度函數(shù)幾乎沒有差別,兩者重合在一起.相對價格在買賣價差S=0和S=0.003的條件概率分布相同,說明概率密度函數(shù)和買賣價差無關.

1.2 撤單過程

在零智力模型中[38,52],撤單是一個泊松過程,而在MF模型中,Mike和Farmer采用了不同的撤單過程,他們認為影響指令簿中訂單的撤單概率有3個因素:a.訂單在指令簿中的位置變化；b.指令簿中買單和賣單的不均衡度；c.指令簿中所有訂單的總量.

本文先研究撤單的第一個因素,定義Δi(t)為t時刻訂單i和對方最優(yōu)價格之間的對數(shù)距離,對于買單得到Δi(t)=πa(t)-π,對于賣單得到Δi(t)=π-πb(t),其中,π為訂單委托價p的對數(shù)值,即π=ln p,πa和πb分別為指令簿中最低賣價和最高買價的對數(shù)值.這樣Δi(0)就是下單時兩者之間的距離.撤單概率和Δi(t)有關,離對手最優(yōu)價格的距離變大,撤單的概率就增加；反之則減少.定義Δi(t)和Δi(0)的比值為yi(t),即yi(t)= Δi(t)/Δi(0),可知下單時yi=1,成交時yi=0. 圖3(a)(見下頁)為撤單條件概率函數(shù)P()關于y的示意圖,從圖中可知,當y趨向于零時,撤單概率也趨向于零；而當y增大時,撤單的概率也隨之增大,最后到達一個恒定值.Mike和Farmer用函數(shù)K1[1-e-yi]進行擬合,得到參數(shù)K1≈0.012.

圖3 撤單條件概率函數(shù)P()，P()和P()的示意圖Fig.3 Probabilities of cancellation conditioned on y，nimband ntot

撤單的第二個因素是指令簿中買單和賣單的不均衡度.對于買單定義指令簿的不均衡度為mimb= mbuy/(mbuy+msell)；對于賣單定義不均衡度為mimb= msell/(mbuy+msell).其中,mbuy和msell分別為指令簿中買單和賣單的訂單數(shù)量.圖3(b)為撤單條件概率函數(shù)P)關于不均衡度mimb的示意圖,從圖中可以看到,隨著不均衡度mimb的增大,撤單的概率也隨之增大,這意味著當指令簿中買單或者賣單的數(shù)量增加時,它們相應的撤單概率也隨之增大. Mike和Farmer用函數(shù)K2(mimb+B)進行擬合,得到參數(shù)K2≈0.009 8,B≈0.20.

現(xiàn)在研究撤單的最后一個因素,指令簿中所有訂單的總量.定義指令簿中訂單的總量為買單總量和賣單總量之和,即mtot=mbuy+msell.圖3(c)給出了撤單條件概率函數(shù)P()關于訂單總量mtot的示意圖,從圖中可以看到,隨著訂單總量mtot的增大,撤單的概率反而減小.對于這個撤單因素,Mike 和Farmer用函數(shù)1/mtot來表征.

得到3個撤單因素的表達式后,Mike和Farmer假設這3個因素yi,mimb和mtot相互獨立,那么訂單的總撤單條件概率為

其中,參數(shù)A和B可用實際股票數(shù)據(jù)擬合得到.

為了驗證撤單模型的正確程度,Mike和Farmer用實際股票AZN的數(shù)據(jù)計算撤單的生存期,發(fā)現(xiàn)MF模型模擬生成的撤單生存期和實際數(shù)據(jù)具有相似性,都具有冪律尾分布,且尾指數(shù)相近,撤單模型能較好地抓住實際撤單過程的內在規(guī)律.

1.3 價格形成機制

Mike和Farmer對模型加入了兩個假設:a.所有的訂單具有相同的委托量,設為一個單位.b.買、賣指令簿至少存在兩個訂單.明確下單和撤單過程后,可對MF模型的價格形成機制進行仿真模擬,具體步驟如下:

在每次模擬中,事先產生相對價格時間序列{x(t)}和訂單符號時間序列{s(t)},長度均為2× 105(MF模型每次模擬的步數(shù)),其中,{x(t)}可由學生分布產生,其控制參數(shù)是標度參數(shù)σx和自由度參數(shù)ζx；{s(t)}可由分數(shù)布朗運動產生,其控制參數(shù)是赫斯特指數(shù)Hs.每次循環(huán)中,在任意時刻t,產生一個新訂單,其委托價和符號分別從時間序列{x(t)}和{s(t)}中按順序選取,可用x(t)和s(t)來表征.當相對價格大于此時的買賣價差S時,即x(t)≥S(t-1)時,交易立刻觸發(fā),買指令簿(s(t) ＜0)或者賣指令簿(s(t)＞0)中最優(yōu)價格檔位上的一個訂單將被移除；當x(t)＜S(t-1)時,訂單將按照價格-時間優(yōu)先的原則存儲在指令簿中.指令簿中每個訂單的撤單概率P(,mimb,mtot)則由yi,mimb,mtot這3個因素確定,在區(qū)間[0,1]上用均勻分布產生隨機數(shù)w,若訂單滿足P(,mimb, mtot)≤w,則此訂單將從指令簿中移除.在模型運行過程中,始終保持買、賣指令簿中至少存在兩個訂單.需要強調的是在MF模型中訂單的委托量設定為一個單位.模擬結束后得到買賣價差和收益率時間序列,并且移除過渡期中的數(shù)據(jù)點.

圖4為MF模型生成的買賣價差和收益率時間序列的互補累積分布函數(shù)的示意圖,從圖中可以發(fā)現(xiàn),模擬生成的買賣價差和收益率時間序列都具有冪律尾分布,其尾指數(shù)分別為ζS=3.2±0.3和ζr=2.2±0.4,而實際買賣價差和收益率時間序列的尾指數(shù)為ζS=3.3±0.3和ζr=2.4±0.2,可見兩者非常相近.這說明MF模型生成的買賣價差和收益率時間序列在概率分布上和實際數(shù)據(jù)相吻合.

圖4 買賣價差和收益率互補累積分布函數(shù)的示意圖Fig.4 Complementary cumulative distributions of bid-ask spreads and returns

2 Mike-Farmer模型中收益率的冪律尾分布

前面介紹了MF微觀模型的構建過程,現(xiàn)進行仿真模擬,研究MF模型模擬生成的收益率時間序列在不同尺度下的概率分布,并且分析模型生成的收益率具有冪律尾分布的原因[53].

2.1 不同尺度下收益率的概率分布

先研究MF模型生成的收益率時間序列在不同時間尺度下的概率密度函數(shù).模型參數(shù)的選取基于Mike和Farmer實證研究的結果,即設定ζx=1.3, σx=0.002 4,Hs=0.8,A=1.12和B=0.2.相對價格x和MF模型一致,其概率密度函數(shù)服從學生分布.在模擬過程中,先生成長度為2×105的相對價格時間序列{x(t)}和訂單符號時間序列{s(t)},然后根據(jù)連續(xù)雙向拍賣機制進行模擬,記錄每次交易后指令簿中最高買價πb和最低賣價πa的中間對數(shù)價格I(t),即I(t)=[πa(t)+πb(t)]/2,其中,t為交易事件時間,即每發(fā)生一次交易,t就增加1.定義事件時間收益率rΔt=I(t)-I(t-Δt),經(jīng)標準化后,得到gΔt(t)=[rΔt(t)-μΔt]/σΔt,其中,μΔt和σΔt分別為收益率rΔt的均值和標準差.為了表述簡單,去掉下標Δt.

先研究Δt=1的情況,圖5(a)為Δt=1時收益率的概率密度函數(shù)的示意圖,發(fā)現(xiàn)概率密度函數(shù)fg(g)可用學生分布進行擬合.

運用最小二乘法(OLS),得到參數(shù)ζr=2.9, l=3.3；運用極大似然估計(MLE),得到參數(shù)ζr= 3.1,l=2.7,列在表1中.在圖5(a)中分別給出了兩種方法的擬合曲線,在概率密度函數(shù)的主體部分兩者幾乎重合在一起,但在尾部兩者略有差別.收益率g的概率分布在總體上可用學生分布進行擬合,但在g較小時,兩者有較大的差別.如果以更小的區(qū)間計算在零點附件的概率密度函數(shù),然后再放大,就會發(fā)現(xiàn)fg(g)具有墨西哥草帽函數(shù)的形狀,這是股票收益率概率分布中很普遍的一個特征,原因在于股票價格是離散化的,其變化的幅度是最小價格變動單位的整數(shù)倍,這在美國股市[54]和中國股市[51]中都曾報道過.

圖5 Δt=1時收益率的概率密度函數(shù)圖和互補累積分布函數(shù)圖Fig.5 Plots of probability density function and cumulative distributions of the returns whenΔt=1

當收益率g取值較大時,學生分布fg(g)在尾部可由冪律分布近似,即

圖5(b)給出了標準化后正、負收益率g的互補概率分布函數(shù)Fg(｜g｜)的示意圖.作者發(fā)現(xiàn)其收益率的正尾和負尾都服從冪律尾分布,用最小二乘法計算得到正尾指數(shù)=2.87±0.02,負尾指數(shù)=3.06±0.03,這和學生分布得出的自由度相一致,遵循負三次方定律.繼續(xù)研究收益率g在Δt＞1時的概率分布.通過改變Δt的大小,可以比較收益率g在不同時間尺度下的概率密度函數(shù).這里選取Δt=2,4,8,16.表1列出了Δt=1,2,4,8,16時收益率g的特征參數(shù).

表1 不同時間尺度下收益率的特征參數(shù)表Tab.1 Characteristic parameters for trade-aggregated returns under different time scales

在表1中,發(fā)現(xiàn)所有收益率的概率密度函數(shù)的峰度K都大于3,說明收益率偏離正態(tài)分布,具有尖峰胖尾的性質.另外,也發(fā)現(xiàn)隨著Δt的增大,概率密度函數(shù)的峰度值在減小,說明隨著時間尺度的增大,收益率趨向于正態(tài)分布,這種現(xiàn)象在實際的股票市場中也存在.圖6(a)為收益率在不同時間尺度Δt=1,2,4,8,16下的概率密度函數(shù)的示意圖,可以明顯看到,隨著Δt的增大,收益率概率密度函數(shù)下降的速度變快,即ζr變大.當Δt=16時,收益率的概率分布比指數(shù)分布下降得慢.分別運用最小二乘法和極大似然估計對收益率數(shù)據(jù)用學生分布進行擬合,計算得到的參數(shù)值l和ζ列在表1中.

圖6(b)給出了標準化后收益率g的互補累積分布函數(shù)Fg(｜g｜)的示意圖,用于研究收益率的尾分布性質.作者發(fā)現(xiàn)正、負收益率都遵循冪律尾分布,表1分別給出了兩種方法下冪律尾分布的標度區(qū)間、正尾指數(shù)和負尾指數(shù).隨著時間尺度Δt的增大,正、負收益率的冪律標度區(qū)間逐漸減小,這與韓國股市[55]和中國股市[51]的規(guī)律相似.另外,收益率的冪律尾指數(shù)ζr隨Δt的增大而增大,這和表1中峰度值逐漸減小的規(guī)律相一致.

以上的研究結果表明,MF模型幾乎能夠模擬中國實際股票市場中價格演化的動態(tài)過程,但仍存在一些細小的差別.首先,模型生成的收益率概率密度函數(shù)的尾指數(shù)比實際股票市場的小0.2左右；其次,收益率概率密度函數(shù)略向左偏斜,而實際中國股票市場的收益率略向右偏斜.這些差別可能是由于MF模型中的參數(shù)不是來源于中國股票市場的緣故,但從總體而言,MF模型能夠再現(xiàn)收益率很多重要的統(tǒng)計規(guī)律,是一個有應用價值的微觀模型.

圖6 Δt=1，2，4，8，16時收益率的概率密度函數(shù)圖和互補累積分布函數(shù)圖Fig.6 Plots of probability density functions and cumulative distributions of the returns whenΔt=1，2，4，8，16

2.2 收益率具有冪律尾分布的成因

通過前面的研究發(fā)現(xiàn)MF模型生成的收益率在不同時間尺度下都具有冪律尾分布,現(xiàn)在研究收益

率具有冪律尾分布的原因.通過大量數(shù)值模擬, Mike和Farmer發(fā)現(xiàn)參數(shù)赫斯特指數(shù)Hs和學生分布自由度ζx取值不同時,模型生成的收益率都能產生冪律尾分布,且其尾指數(shù)ζr會隨Hs和ζx的變化而變化.他們定性地發(fā)現(xiàn):當Hs固定時,收益率尾指數(shù)ζr隨ζx線性增大；當ζx固定時,尾指數(shù)ζr隨Hs線性減小.為了驗證這個結論,本文分別選取不同的ζx(其取值從0.9～1.9,并且每次增加0.1) 和Hs(其取值從0.1～0.9,并且每次增加0.1)進行數(shù)值仿真模擬.定量考察模擬得到的收益率尾指數(shù)ζr隨ζx和Hs的變化規(guī)律.對于每種組合移除模型過渡期中收益率的數(shù)據(jù),最后共得到大約100萬個數(shù)據(jù)點.定量研究尾指數(shù)ζr與模型輸入?yún)?shù)ζx和Hs的關系.

運用t分布檢驗,發(fā)現(xiàn)參數(shù)e在5%顯著水平下,其p值為0.71,并不顯著,其它參數(shù)在5%顯著水平下都顯著.于是將式(5)中e這一項移除,然后重新擬合計算,發(fā)現(xiàn)此時剩余的參數(shù)都非常顯著,得到a=0.45±0.11,b=2.05±0.07,c=0.75± 0.26,d=-0.34±0.13和f=-0.86±0.18.根據(jù)計算結果,作者認為,當Hs增大時,訂單符號之間的相關性增強,相同符號的訂單(買單或者賣單)就會連續(xù)出現(xiàn),這可能導致價格大幅波動,收益率的概率密度函數(shù)fr(r)下降變慢,所以,其尾指數(shù)ζr變小.另一方面,如果ζx較小,對于x＜0而言,將會有很多消極的訂單下在指令簿的深處,這使得指令簿前端不是很厚實；對于x＞0而言,取值較小的ζx意味著存在更多有效市價訂單.這兩方面的原因都將導致價格大幅波動,收益率概率分布下降的速度減慢,從而使ζr變小.

訂單符號的長期記憶性和相對價格的冪律尾分布都有可能對模擬產生的收益率具有影響作用,但我們不清楚在MF模型中引起收益率具有冪律尾分布的原因.雖然Mike和Farmer已經(jīng)發(fā)現(xiàn)隨著訂單符號時間序列相關性的增強,模型生成的收益率時間序列的概率分布fr(r)的尾指數(shù)ζr會變小,但即使我們預先設定訂單符號時間序列不相關,即其赫斯特指數(shù)Hs=0.5,模擬生成的收益率也具有冪律尾分布,所以,作者認為訂單符號時間序列的長期記憶性并不是收益率具有冪律尾分布的主要原因,相對價格的概率分布fx(x)才是收益率具有冪律尾分布的主要原因.

根據(jù)MF模型產生相對價格的定義,知道相對價格x大于買賣價差S(x＞S)時,相對價格時間序列的概率分布fx(x)不影響收益率分布fr(r)的形狀,因為這部分訂單是有效市價訂單,不管其相對價格大小如何,它們具有相同的價格沖擊,都將移除對方指令簿中第一檔上一個單位的訂單.所以,作者猜想相對價格概率分布的左半部分才是收益率具有冪律尾分布的關鍵原因.為了驗證這個猜想,作者研究相對價格在不同概率分布組合下對收益率分布的影響.定義L(x)是相對價格x概率密度函數(shù)fx(x)的左半部分(x＜0),R(x)是其右半部分(x＞0).通過L(x)和R(x)的不同組合,就可以研究相對價格在不同分布組合下收益率的概率密度函數(shù)fr(r)的變化規(guī)律.在模型中,設定對數(shù)價格的最小變動單位為T=3×10-4,根據(jù)Mike和Farmer的實證研究結果,其余3個變量分別設為Hs=0.8,A=1.12 和B=0.2.

為了考察相對價格概率分布左、右兩部分L(x) 和R(x)對收益率概率分布fr(r)的影響,對L(x) 和R(x)分別賦予不同的概率密度函數(shù),那么相對價格的概率密度函數(shù)可以表示為

且當x=0時,滿足L(0)=R(0).

現(xiàn)在用3個不同的概率密度函數(shù)賦給L(x)和R(x).第一個概率密度函數(shù)是學生分布或者稱之為q-正態(tài)分布[56],其函數(shù)形式為

式中,ζx為自由度參數(shù)(尾指數(shù))；l為標度參數(shù)；B(a,b)是貝塔函數(shù),B(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+ b),其中,Γ為伽瑪函數(shù).

第二個概率密度函數(shù)是拉普拉斯概率密度函數(shù),或者稱之為雙指數(shù)分布,其表達式為

第三個概率密度函數(shù)是高斯分布,或者稱之為正態(tài)分布,其表達式為

這3個函數(shù)中,fDE和fG都沒有冪律尾分布,只有fqG具有冪律尾分布.由于MF模型中相對價格x的概率密度函數(shù)左右對稱[45],所以,設定3個概率密度函數(shù)fqG,fDE和fG的均值為=0.在模擬過程中,分別把fqG,fDE和fG賦給L(x)和R(x),得到如下定量關系式:當fx(x)是fqG和fDE的組合時得到:=λB(1/2,ζx/2)；當fx(x)是fqG和fG的組合時得到:B(1/2,ζx/2)=σ；當fx(x)是fDE和fG的組合時得到:λ2σ2=2/π.

根據(jù)Mike和Farmer的實證研究結果,本文固定σ=0.002 4,這樣產生的相對價格時間序列和實際數(shù)據(jù)相吻合.式(9)中學生分布的標度參數(shù)

得到l的數(shù)值后,式(8)中的λ和式(9)中的σ均可確定.

為了驗證猜想,需根據(jù)概率分布是否具有冪律尾分布進行分類討論.在MF模型中fx(x)為學生分布,此時fx(x)=L(x)=R(x),Mike和Farmer已經(jīng)討論過L(x)和R(x)都具有冪律尾分布的情況,并得出結論:當L(x)和R(x)都具有冪律尾分布時,模擬生成的收益率時間序列也具有冪律尾分布[45],因此,只需討論剩下的3種情況:a.fx(x)中L(x)和R(x)都不具有冪律尾分布；b.fx(x)的右半部分具有冪律尾分布,即R(x)=fqG(,l)；c.fx(x)的左半部分具有冪律尾分布,即L(x)= fqG(,l).

先研究第一種情況,即相對價格的概率密度函數(shù)fx(x)的左、右兩部分都不具有冪律尾分布,那么fx(x)={L(x),R(x)}有以下4種組合:{fDE, fG}、{fDE,fDE}、{fG,fDE}和{fG,fG}.對于每種組合,分別取ζx=1.1,1.3,1.5,1.7,1.9,當確定ζx的值后,重復模擬20次,且每次模擬的長度為2× 105.綜合20次模擬得到的收益率數(shù)據(jù),共得到約100萬個收益率數(shù)據(jù)點,研究整體收益率的概率分布.對于一個固定的ζx值,由于收益率時間序列的概率分布左右對稱,所以,計算絕對值收益率的互補累積分布函數(shù)Fr().圖7(a)為絕對值收益率在4種組合下的互補累積分布函數(shù)Fr)的示意圖.

從圖7(a)中可以發(fā)現(xiàn)4種組合下MF模型模擬生成的收益率時間序列都不具有冪律尾分布的特性,這說明當L(x)和R(x)都不具有冪律尾分布時,模擬產生的收益率也不具有冪律尾分布.在同一種組合中可以發(fā)現(xiàn),ζx取值越大,Fr)下降得越快.另外,在L(x)=fDE的兩種組合中,MF模型傾向于生成較大數(shù)值的收益率,這可能是由于拉普拉斯分布比正態(tài)分布具有更加厚實的尾部,而且L(x)對收益率時間序列有較大的影響所造成的.

現(xiàn)將模擬生成的收益率時間序列標準化,即g=(r-μr)/σr,其中,μr為收益率r的均值,σr為r的標準差.圖7(b)為標準化后收益率g的互補累積分布函數(shù)Fg)的示意圖.可以明顯地發(fā)現(xiàn)每一種組合中,不同ζx取值的曲線都重合到一起,這說明標準化后收益率的概率分布和ζx基本無關.

現(xiàn)在討論第二種情況,即相對價格的概率密度函數(shù)fx(x)的右半部分具有冪律尾分布,此時R(x)=fqG.fx(x)={L(x),R(x)}有兩種組合: {fDE,fqG}和{fG,fqG}.對于每種組合,分別取ζx= 1.1,1.3,1.5,1.7,1.9,當確定ζx的值后,重復模擬20次,且每次模擬的長度為2×105.綜合20次模擬得到的收益率數(shù)據(jù),共得到約100萬個收益率數(shù)據(jù)點,計算其互補累積分布函數(shù)Fr).圖8(a)給出了絕對值收益率在兩種組合下的互補累積分布函數(shù)的示意圖.

圖8 兩種組合下絕對值收益率和標準化后絕對值收益率的累積分布函數(shù)圖Fig.8 Cumulative distributions of absolute returnsand absolute normalized returnsunder 2 combinations

從圖8中發(fā)現(xiàn)MF模型生成的收益率時間序列不具有冪律尾分布,這說明當R(x)具有冪律尾分布,而L(x)不具有冪律尾分布時,模擬產生的收益率也不具有冪律尾分布.隨著ζx的增大,收益率互補累積分布函數(shù)Fr()下降速度加快.當L(x)=fDE時,MF模型將生成較大數(shù)值的收益率. 圖8(b)為標準化后收益率的互補累積分布Fg)的示意圖,在每一種組合下,不同ζx取值下的概率分布重合到一條曲線上,說明ζx對于標準化后的收益率影響較小.

最后研究第三種情況,即相對價格概率分布fx(x)的左半部分具有冪律尾分布,此時L(x)= fqG.fx(x)={L(x),R(x)}有兩種組合:{fqG, fDE}和{fqG,fG}.在每一次組合下,分別取ζx= 1.1,1.3,1.5,1.7,1.9,并且確定ζx值后,重復模擬20次,且每次模擬的長度為2×105.綜合20次模擬得到的收益率數(shù)據(jù),共得到約100萬個收益率數(shù)據(jù)點,計算其互補累積分布函數(shù)Fr().圖9給出了兩種組合下絕對值收益率的互補累積分布函數(shù)的示意圖,可以發(fā)現(xiàn)兩種組合下所有收益率時間序列都服從冪律尾分布,且對于每一種組合,冪律尾分布的尾指數(shù)ζr隨著ζx增大而增大.比較這兩種組合下的概率分布函數(shù),發(fā)現(xiàn)當ζx具有相同取值時, Fr()幾乎沒有差別,換而言之,Fr)的形狀完全取決于相對價格概率密度函數(shù)的左半部分L(x)=fqG.

圖9 {fq G，fDE}和{fq G，fG}組合下絕對值收益率的互補累積分布函數(shù)圖Fig.9 Plots of Fr(｜r｜)of the absolute normalized returns under{fq G，fDE}and{fq G，fG}

數(shù)值模擬結果驗證了作者的猜想,即無論相對價格概率密度函數(shù)的右半部分R(x)是否具有冪律尾分布,只要其左半部分L(x)具有冪律尾分布,那么MF模型生成的收益率時間序列就具有冪律尾分布.當相對價格概率密度函數(shù)左半部分L(x)的尾指數(shù)ζx增大時,收益率概率分布fr(r)的冪律尾指數(shù)ζr也隨之增大.

3 Mike-Farmer模型中波動率的長期記憶性

從前面的介紹中可以知道MF模型是一個功能強大的微觀模型,能夠準確地再現(xiàn)很多經(jīng)典的統(tǒng)計規(guī)律:收益率時間序列具有冪律尾分布,且服從負三次方定律；收益率時間序列不具有長期記憶性；買賣價差和訂單生存期服從冪律尾分布等.但MF模型也有不足之處,模擬產生的波動率時間序列不具有長期記憶性,其赫斯特指數(shù)略大于0.5,這和波動率具有長期記憶性這一公認的統(tǒng)計規(guī)律相悖.作者將改進MF模型,進行模擬仿真,深入研究MF模型生成的波動率時間序列具有長期記憶性的原因.

3.1 Mike-Farmer模型生成的波動率不具有長期記憶性

前面研究了MF模型生成的收益率時間序列的概率分布,重現(xiàn)了收益率具有冪律尾分布的特性,且其尾指數(shù)接近3,服從負三次方定律[53].現(xiàn)在用降趨脈動法[57]分析模型生成的收益率r和波動率v(這里定義

圖10 收益率波動率的降趨脈動函數(shù)的示意圖Fig.10 Plot of detrended fluctuation functions F(t)for return and volatility time series

從圖10中看到,在標度區(qū)間8＜l＜7 000中,收益率和波動率的降趨脈動函數(shù)F(l)和時間尺度l具有很好的標度關系F(l)∝lH.用最小二乘法擬合,對于收益率時間序列得到Hr=0.55±0.01,對于波動率時間序列得到Hv=0.58±0.01.兩個赫斯特指數(shù)都略大于0.5,說明收益率時間序列和波動率時間序列具有微弱的長期記憶性.為了使結果更具有可信度,重復模擬20次,然后用降趨脈動法計算收益率和波動率的赫斯特指數(shù),結果發(fā)現(xiàn)Hr在區(qū)間[0.54, 0.58]中變化,其均值為=0.57±0.01,而Hv在區(qū)間[0.56,0.62]中變化,其均值為=0.59±0.01,這和Mike和Farmer得出的結論相一致[45].實際市場中,收益率時間序列不具有或者略有長期記憶性[58],而波動率時間序列具有強烈的長期記憶性,其赫斯特指數(shù)應顯著大于0.5,因此,作者認為MF模型抓住了收益率時間序列在時間相關性上的特征,但不能再現(xiàn)波動率時間序列的強長期記憶性.顯然,在MF模型中缺少了某些重要因素,使得波動率時間相關性減弱,這就使得我們要對MF模型進行改進,使其更加完善,再現(xiàn)波動率強長期記憶性的特征.

3.2 相對價格具有長期記憶性

在金融市場中,任何一個交易者都不可能收集到市場上所有的信息,同時由于人類大腦記憶的局限性,所以,市場上的交易者很容易模擬其他交易者的行為,可能在某些間斷時期中出現(xiàn)正反饋效應和羊群效應.換而言之,大多數(shù)交易者在市場中扮演著多數(shù)者博弈的角色,他們在股票價格上漲時更傾向于買入股票,而在價格下跌時更傾向于賣出股票[59].學者普遍認為模仿效應和羊群效應是引起波動率強長期記憶性的重要原因.另外,在金融市場中,對于機構交易者,他們往往把一個大訂單分割成很多小訂單進行成交,從而降低交易的成本,減小對市場的沖擊[60],這也可能引起波動率具有長期記憶性.由于MF模型中訂單由其符號和委托價格確定(模型中訂單的委托量設定為一個單位),所以,作者猜想這些變量的時間序列也具有長期記憶性.由于在MF模型中訂單符號時間序列由分數(shù)布朗運動產生,其赫斯特指數(shù)Hs≥0.5,具有長期記憶性,所以,很自然地考慮到相對價格時間序列是否具有長期記憶性,如果相對價格存在長期記憶性,那么它是否會引起波動率時間序列具有長期記憶性呢?

以深圳交易所2003年23只股票的超高頻數(shù)據(jù)為對象,運用降趨脈動法研究連續(xù)競價期中的相對價格時間序列的時間相關性.圖11為4只股票相對價格時間序列的降趨脈動函數(shù)F(l)關于時間尺度l的示意圖.

在圖11中發(fā)現(xiàn)4只股票的降趨脈動函數(shù)F(l)和時間尺度l存在很好的冪律關系,運用最小二乘法,對于股票000012,得到Hx=0.77±0.01,其標度區(qū)間為10＜l＜105；對于股票000089,得到Hx= 0.76±0.01,其標度區(qū)間為10＜l＜7×104；對于股票000406,得到Hx=0.77±0.01,其標度區(qū)間為10 ＜l＜105；對于股票000488,得到Hx=0.72± 0.01,其標度區(qū)間為10＜l＜5×104.同時在研究其它股票相對價格的時間序列后,發(fā)現(xiàn)它們的降趨脈動函數(shù)F(l)和時間尺度l也具有類似的冪律標度性質,赫斯特指數(shù)Hx在區(qū)間[0.72,0.87]內變化,其均值為=0.78±0.03.所以,相對價格時間序列具有較強的長期記憶性.

圖11 4只股票相對價格時間序列的降趨脈動函數(shù)的示意圖Fig.11 Plot of the detrended fluctuation functions F(t)of relative prices for 4 stocks

相對價格時間序列的長期記憶性也存在于其它股票市場中.Zovko和Farmer研究倫敦交易所50只股票的買單和賣單的時間相關性,發(fā)現(xiàn)自相關函數(shù)以冪律形式下降,其自相關系數(shù)為γ=0.41± 0.07[47],根據(jù)赫斯特指數(shù)和自相關系數(shù)的關系Hx=1-γ/2[61],得到Hx=0.80±0.04.分別對圖11中的4只股票的買單和賣單相對價格進行計算,對于股票000012,買單的赫斯特指數(shù)為Hx,b=0.75± 0.01,賣單的赫斯特指數(shù)為Hx,s=0.77±0.01；對于股票000089,買單的赫斯特指數(shù)為Hx,b=0.81± 0.01,賣單的赫斯特指數(shù)為Hx,s=0.75±0.01；對于股票000406,買單的赫斯特指數(shù)為Hx,b=0.77± 0.01,賣單的赫斯特指數(shù)為Hx,s=0.75±0.01；對于股票000488,買單的赫斯特指數(shù)為Hx,b=0.70± 0.01,賣單的赫斯特指數(shù)為Hx,s=0.71±0.01.發(fā)現(xiàn)無論是買單還是賣單,其赫斯特指數(shù)和相對價格整體時間序列的赫斯特指數(shù)基本一致.

3.3 修正的MF模型生成的波動率具有長期記憶性

原始的MF模型中相對價格時間序列不具有長期記憶性,這和實證研究的結論相悖,所以,作者對MF模型進行改進,在保持其它模型因素不變的情況下,在相對價格時間序列中加入長期記憶性.為了使生成的相對價格時間序列既服從學生分布,又具有長期記憶性,具體方法如下:先用學生分布生成相對價格時間序列{x0(t):t=1,2,…,T},接著生成赫斯特指數(shù)為Hx的時間序列{y(t):t=1,2,…, T},然后根據(jù)序列{y(t)}中各個位置上所對應數(shù)值的大小順序來對時間序列{x0(t):t=1,2,…, T}進行重排[62-63],最后得到新的相對價格時間序列{x(t):t=1,2,…,T}.運用降趨脈動法進行分析,發(fā)現(xiàn)其赫斯特指數(shù)接近設定值Hx,于是,模擬生成的相對價格時間序列{x(t)},其既服從學生分布,又具有相應的長期記憶性.

對于修正的MF模型,在模擬過程中,先用學生分布產生相對價格時間序列,控制其參數(shù)ζx=1.3, σx=0.002 4,然后加入長期記憶性,使其赫斯特指數(shù)Hx≈0.8.其余的模擬步驟和原始的MF相同,這里不再重復.在每次模擬中,模擬的長度為2×105,并控制其它模型參數(shù)不變,Hx=0.75,A=1.12和B=0.2.每次模擬后,去掉過渡期中的數(shù)據(jù),最后得到4×104個收益率數(shù)據(jù)點.圖12給出了修正的MF模型模擬得到的收益率時間序列一個片段的示意圖,圖中收益率數(shù)據(jù)片段的長度N′=3.5×104為了進行比較,在圖12中也展示了原始的MF模型模擬得到的收益率時間序列片段和股票000012收益率時間序列片段的示意圖.

圖12 收益率片段(股票000012(上)，原始MF模型(中)，修正的MF模型(下))Fig.12 Return series segments(Upper:000012，Middle: original model，Lower:modified model)

在圖12中,比較3個收益率時間序列片段,發(fā)現(xiàn)修正后的MF模型生成的收益率時間序列具有明顯的聚簇現(xiàn)象,和實際股票000012收益率序列很相似,然而,原始的MF模型生成的收益率時間序列并不存在聚簇現(xiàn)象,這從定性上說明,相比于原始的MF模型,修正的MF模型生成的波動率時間序列具有更強的時間相關性.為了定量地描述波動率的長期記憶性,運用降趨脈動法進行分析,圖13為修正的MF模型生成的收益率和波動率時間序列的降趨脈動函數(shù)F(l)關于時間尺度l的示意圖.

從圖13中發(fā)現(xiàn),降趨脈動函數(shù)F(l)和時間尺度l存在良好的冪律關系,運用最小二乘法,對于收益率時間序列,得到Hr=0.53±0.01,其標度區(qū)間為8＜l＜4 500,說明收益率不具有長期記憶性；對于波動率時間序列,得到Hv=0.76±0.01,其標度區(qū)間為8＜l＜4 500,說明波動率時間序列具有強烈的長期記憶性,這和經(jīng)典的統(tǒng)計規(guī)律相一致.根據(jù)改進前MF模型產生的收益率和波動率時間序列長期記憶性的變化,作者認為,Hx對Hr的影響很小,但對Hv的影響很大.用修正的MF模型模擬20次,并計算收益率和波動率時間序列的長期記憶性,發(fā)現(xiàn)Hr在區(qū)間[0.53,0.55]范圍內變化,其均值為=0.54±0.01,而Hv在區(qū)間[0.74,0.77]范圍內變化,其均值為=0.76±0.01.

圖13 修正的MF模型生成的收益率、波動率的降趨脈動函數(shù)的示意圖Fig.13 Plot of F(t)of return and volatility time series from the modified MF model

進一步定量研究Hx和Hv之間的相互關系,當固定Hx時,所得到的波動率時間序列的Hv變化范圍很小,結果在表2中列出.作者也發(fā)現(xiàn)Hv和Hx并不一致,但Hv隨著Hx的增大而增大.Hr的數(shù)值接近0.5,且和Hx基本無關.表2中給出的結

果是10次模擬的均值,標度區(qū)間均為8＜l＜4 500,括號中的數(shù)字是標準差乘上100取整后的值.

表2 Hr和Hv關于Hx的關系表Tab.2 Dependence of Hrand Hvon Hx

模型中的相對價格時間序列加入長期記憶性可能會影響收益率的概率分布,為此研究修正的MF模型生成的收益率時間序列的概率分布.圖14為修正模型生成的收益率時間序列的互補累積分布函數(shù)P(＞v)的示意圖.發(fā)現(xiàn)互補累積分布函數(shù)服從冪律尾分布,即P(＞v)∝v-ζ,其中,ζ為冪律尾指數(shù),用最小二乘法得到ζ=2.99±0.02,服從負三次方定律,和原始MF模型得出的結論相一致,所以,作者認為在相對價格時間序列中加入長期記憶性并不會影響收益率的冪律尾分布.同時,這個結論也再次說明了收益率的概率分布只和相對價格的分布有關,而與相對價格時間序列的記憶性無關.在相對價格時間序列中加入長期記憶性能使模型生成更多經(jīng)典的統(tǒng)計規(guī)律.

圖14 修正的MF模型生成收益率時間序列的互補累積分布函數(shù)圖Fig.14 Plot of the cumulative distribution of return time series from modified MF model

另外,發(fā)現(xiàn)MF模型中的撤單過程不是產生這些統(tǒng)計規(guī)律的主要原因.在修正的MF模型中,用泊松分布來模擬撤單過程,發(fā)現(xiàn)模型仍能再現(xiàn)相似的統(tǒng)計規(guī)律,得到Hr=0.51±0.01,Hv=0.81±0.01 和β=3.19±0.03.同時也發(fā)現(xiàn)訂單符號時間序列對波動率時間序列的相關性影響不顯著,設定模型參數(shù)Hs=0.5,Hx=0.8進行模擬研究,模型產生的波動率時間序列具有長期記憶性,其赫斯特指數(shù)Hv=0.78,此時收益率仍遵循負三次方定律.

4 模型的應用

運用委托驅動模型進行計算機模擬仿真,是計算實驗金融學的一個分支,在金融工程研究中具有很高的潛在應用價值,但這方面的研究鮮見有文獻報道.通過對委托驅動模型的仿真,可以解決金融工程(包括風險管理和資產定價)中的一些重要問題.

4.1 大單交易的最優(yōu)下單策略

如果委托驅動模型中引入訂單委托量,那么,此模型可用來研究大單交易的最優(yōu)策略問題.王江等人建立的數(shù)學模型,假設訂單簿的形狀具有某種函數(shù)形式[64-65],但與實際訂單簿形狀并不一致[66],因而數(shù)學模型給出的最優(yōu)策略可能并非最優(yōu).在建立模擬市場后,將可以通過模擬來確定訂單簿在大單交易沖擊下的恢復行為(resilience behavior),搜索大宗交易的最優(yōu)下單策略.

4.2 漲跌停板機制設置對股市的影響

許多股市設置漲跌停板機制,以降低市場波動和風險[67].一般來說,上漲幅度限制Ulim和下跌幅度限制Blim是對稱的,比如我國股市采用10%的漲跌停限制(ST股票為5%).通過股市模型的計算實驗,可以考察漲跌停幅度對股市的影響,從而為政策制定提供理論指導.圖15模擬了不同漲跌停限制下股票價格p的走勢,可以發(fā)現(xiàn),不對稱的漲跌停設置將導致股價單邊上揚或下跌.N為模擬的次數(shù).

圖15 漲跌停幅度對股價的影響Fig.15 Plot of price series under four different combinations between Ulimand Blim

4.3 期權定價

在傳統(tǒng)的資本資產定價理論中,假設收益率的分布是正態(tài)的,而實際定價則往往需要通過數(shù)值模擬來實現(xiàn).借助委托驅動模型,對給定股票衍生品的定價將有很大裨益.對于歐式看漲或看跌期權,其價值為

可以通過模型模擬,生成價格路徑,得到標的股票在T時刻的價格ST,從而得到期權價值的一個估計值.重復多次模擬,得到期權價格的均值即為其期望的估計值.

4.4 在險價值(VaR)的估計

在險價值VaR有多種估計方法,如歷史模擬法、蒙特卡洛模擬法及方差-異方差法等[68].通過模型模擬,可以得到統(tǒng)計顯著性更高的收益率分布.對這一問題的深入研究,可望開發(fā)出精確度更高的VaR估計方法.

4.5 極端股市波動發(fā)生時間的預測

收益率時間序列中數(shù)值超過某一設定閾值Q的事件被稱為極端事件,這些極端事件之間的回復時間τ的統(tǒng)計性質對研究股票價格大波動具有重要意義[69].通過計算回復時間的概率密度PQ(τ),可以得到一個極端事件發(fā)生x時間后在Δx內發(fā)生另一極端事件的概率WQ(x,Δx)[70].

這些研究將對金融市場風險管理具有重要價值和指導意義.

5 結 論

Mike-Farmer委托驅動模型由下單過程和撤單過程兩部分組成.下單過程中訂單符號的時間序列由分數(shù)布朗運動產生,而委托價格時間序列由學生分布生成.撤單過程有3個影響因素,即訂單在委托簿中的位置變化,委托簿的不均衡性和委托簿中訂單的總量,它們共同決定了委托簿中訂單的撤單概率.運用MF模型進行數(shù)值模擬,生成收益率時間序列,其概率分布在不同時間尺度下遵循學生分布,服從負三次方定律,冪律尾指數(shù)隨著時間尺度的增大而增大,這和實際股票市場的規(guī)律是一致的.在研究收益率時間序列具有冪律尾分布的原因時,本文發(fā)現(xiàn)不管相對價格概率分布的右半部分是否具有冪律分布,只要其左半部分具有冪律分布,那么模型生成的收益率也具有冪律尾分布.基于相對價格時間序列具有長期記憶性的實證結果,本文對MF模型進行改進和修正,在保持其它因素不變的基礎上,在相對價格時間序列中加入長期記憶性.修正的MF模型生成的波動率時間序列比原始MF模型生成的波動率時間序列更具有長期記憶性,因此,本文認為相對價格的聚簇效應對波動率的記憶性具有重要的影響作用.

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Mike-Farmer order-driven model

GUGao-feng, RENΝei, JIANGZhi-qiang, ZHOUWei-xing
(School of Busimess,East Chima Umiversity of Sciemce amd Techmology, Shamghai 200237,Chima)

Mike-Farmer microscopic model is a powerful order-driven model.It can reproduce many stylized facts.In the paper,the Mike-Farmer model was introduced in detail.It was found that the distributions of returns obtained from the model at different timescales can be modeled as the power-law distribution in the tails,whose exponents are close to the well-known cubic law.The reasons for the power-law distribution of returns and the clustering effect of volatilities were then studied and it was concluded that power-law tails are caused by the power-law tail in the distribution of market order prices and the clustering effects are related to the long memory in the time series of submitting order prices.The application of the model was briefly presented.

ecomophysics；order-drivem model；power-law distributiom of returms；clusterimg effect of volatilities

F 830.91文獻標示碼：A

1007-6735(2011)05-0457-16

2011-10-08

國家自然科學基金資助項目(11075054,10905023,71101052)；上海市晨光計劃人才資助項目(CG201032)

顧高峰(1982-),男,助理研究員.研究方向:金融物理、金融工程等.E-mail:gfgu@ecust.edu.cn

周煒星(聯(lián)系人),男,教授.研究方向:金融物理、復雜系統(tǒng)、金融工程等.E-mail:wxzhou@ecust.edu.cn