新型4-DOF并聯(lián)機器人位置和工作空間分析

張艷華，杜秀菊，吳立勛

（河北師范大學(xué) 機械系，石家莊 050031）

0 引言

空間4-DOF并聯(lián)機器人是少自由度機器人的一個重要類型，但由于目前對具有這類機器人的研究還很少，可選用的機型十分有限，因而大大影響這類機器人的實際應(yīng)用。本文提出采用6-6-5-5結(jié)構(gòu)形式的幾種新型四自由度并聯(lián)機器人機構(gòu)，它們由固定平臺B、運動平臺m、兩個基本運動副為5的運動支鏈和兩個基本運動副為6的運動支鏈組成。基本運動副為5的運動支鏈由虎克鉸U、移動副P、轉(zhuǎn)動副R構(gòu)成，如UPU、PUU、RPS等；基本運動副為6的運動支鏈由虎克鉸U、球面副S、移動副P構(gòu)成，如SPS，PSS，UPS，PUS等。當(dāng)選用不同的運動支鏈形式和裝配方式，可以得到不同的機構(gòu)構(gòu)型，2UPU/2SPS并聯(lián)機構(gòu)是其中的一個典型的機構(gòu)，2UPU/2SPS并聯(lián)機構(gòu)如圖1所示。相同的運動支鏈相鄰分布，即兩個UPU支鏈布置在固定平臺B邊線R1兩端，兩個SPS支鏈布置在固定平臺B邊線R3兩端。

圖1 2UPU/2SPS機構(gòu)

并聯(lián)機器人機構(gòu)的位置分析是求解機構(gòu)的輸入和輸出構(gòu)件之間的位置關(guān)系，分為正解和反解問題，這是機構(gòu)運動分析的最基本的任務(wù)，也是機構(gòu)運動分析、工作空間分析、動力分析和機構(gòu)綜合的基礎(chǔ)。解析和數(shù)值分析方法已應(yīng)用于研究并聯(lián)機器人機構(gòu)位置分析問題，但是分析計算過程相當(dāng)復(fù)雜，對于由不同運動支鏈構(gòu)成的新型4-DOF并聯(lián)機器人機構(gòu)，建立解析數(shù)學(xué)模型的難度很大，甚至有時無法確定機構(gòu)的自由度。

并聯(lián)機器人機構(gòu)的工作空間是機器人末端執(zhí)行器上的參考點所能達到的區(qū)域范圍，其解析求解是一個非常復(fù)雜的問題。學(xué)者們提出了不少描述并聯(lián)機構(gòu)的工作空間的方法，比如：全工作空間、可達工作空間、靈活工作空間、次工作空間、姿態(tài)工作空間和位置工作空間等[1～4]。盡管對機器人的工作空間的分類和描述已作了不少的研究，但對于能實現(xiàn)各種姿態(tài)運動的并聯(lián)機器人來說，工作空間分析要依賴機構(gòu)位置正解來解決，因而分析過程非常復(fù)雜，另外采用怎樣的方法將并聯(lián)機器人的運動的各種位姿參數(shù)在三維直角坐標系中全面地描述出來，也就是所說的可視化處理，還沒有很好的方法。

根據(jù)計算機輔助幾何法[5～7]構(gòu)造2UPU/2SPS并聯(lián)機器人機構(gòu)，并用這種方法分析位置問題，驗證結(jié)果表明可以利用模擬機構(gòu)解決空間并聯(lián)機構(gòu)的位置正解問題，并且提出采用計算機輔助幾何法繪制2UPU/2SPS并聯(lián)機構(gòu)的工作空間邊界曲面。

1 機構(gòu)運動模擬和約束模型

對2UPU/2SPS并聯(lián)機器人模擬機構(gòu)進行運動計算機仿真，側(cè)視圖和俯視圖如圖2所示。由圖中可以看出在四個移動副輸入作用下，動平臺的對角線b2b4在定平臺上的投影始終與定平臺的對角線a2a4保持平行，而b1b3在定平臺上的投影與定平臺的對角線a1a3不能保持平行關(guān)系，表明動平臺存在兩個轉(zhuǎn)動自由度。計算機模擬結(jié)果表明動平臺具有二維移動和二維轉(zhuǎn)動，分別為沿Y、Z方向的移動和繞b2b4和a1a3轉(zhuǎn)動。設(shè)(XP，YP，ZP，α，β)為動平臺坐標原點P相對定坐標系O-XYZ的位移和動坐標系P-xyz繞b b、aa的轉(zhuǎn)角。

圖2 2UPU/2SPS模擬機構(gòu)的側(cè)視圖和俯視圖

設(shè)點ai(i＝1，2，3，4)點在坐標系O-XYZ中的坐標為{Xai，Yai，Zai}, 設(shè)bi點在坐標系O-XYZ和P-xyz中的坐標分別為{Xbi，Ybi，Zbi}和{xbi，ybi，zbi}。由此，可以根據(jù)坐標轉(zhuǎn)換建立如下方程：

模擬結(jié)果還表明，機構(gòu)運動過程中滿足幾何約束關(guān)系：

以P和R分別表示動坐標系P-xyz相對于固定坐標系O-XYZ的位置和姿態(tài)，P為3×1矢量，R為3×3矩陣。根據(jù)機構(gòu)的運動特點，P及R可表示為：

式中cα=cosα，sα=sinα，tα=tanα。

由此可得到機構(gòu)的齊次變換矩陣：

根據(jù)坐標轉(zhuǎn)換式(1)得到如下方程：

根據(jù)機構(gòu)的特征可以建立機構(gòu)約束方程如下：

式中的±號對應(yīng)著機構(gòu)的兩種不同裝配方式。

1.1 位置反解

2UPU/2SPS并聯(lián)機構(gòu)的位置反解是當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和動平臺的位姿(XP，YP，ZP，α，β)已知時，求各分支輸入移動副所在桿長(L1，L2，L3，L4)。設(shè)初始位置時機構(gòu)上點a1、a2、a3、a4和點b1、b2、b3、b4均位于坐標軸上，其中a1、a3、b1、b3為虎克鉸中心點，a2、a4、b2、b4為球副中心點。由于定平臺和動平臺正四邊形，所以設(shè)點a1、a2、a3、a4到原點O的距離為D，點b1、b2、b3、b4到原點P的距離為d，其中a1a3=a2a4=2D，b1b3=b2b4=2d。

由此，可以寫出bi點在坐標系P-xyz中的坐標和ai點在坐標系O-XYZ中的坐標：

當(dāng)動平臺的位置和姿態(tài)給定時，將式(6)、(8)、(9)代入式(7)中就可以求出對應(yīng)的四個輸入L1，L2，L3，L4，建立反解方程。

1.2 位置正解

2UPU/2SPS并聯(lián)機構(gòu)的位置正解是當(dāng)已知結(jié)構(gòu)參數(shù)和四個輸入(L1，L2，L3，L4)，求解動平臺的位置(XP，YP，ZP，α，β)。將式(10)-(13)的兩邊同時平方并移項整理成關(guān)于Y，Z，α，β的方程如下：

將式(14)減去(16)，(15)減去(17)，(14)加上(16)，(15)加上(17)分別得：

由式(19)得到關(guān)于β與ZP的表達式：

將式(22)代入(21)得到關(guān)于YP與ZP的表達式：

將式(22)和(23)代入(20)得到關(guān)于α與ZP的表達式：

式(22)、(23)、(24)分別為β、YP、α與ZP的關(guān)系方程，由于模擬機構(gòu)得到的位姿參數(shù)數(shù)值為精確解，則通過模擬機構(gòu)直接得到ZP的數(shù)值，再分別代回上述三式就得到Y(jié)P、α、β的數(shù)值，正解完畢。由并聯(lián)機構(gòu)的位置正解方程的推導(dǎo)過程表明，推導(dǎo)各位姿參數(shù)的封閉解比較復(fù)雜。采用計算機輔助幾何法可以簡化解析過程，由XP、β、YP、α與ZP的關(guān)系方程(2)、(22)、(23)、(24)，再結(jié)合通過模擬機構(gòu)就可以解決正解問題。

1.3 解析方程對模擬機構(gòu)的位置正解結(jié)果數(shù)例驗證

由模擬機構(gòu)，定平臺邊長Ri=100cm，動平臺ri=50cm，給定四個輸入桿長(L1，L2，L3，L4)和位置坐標ZP，用解析方程(22)、(23)、(24)計算2UPU/2SPS并聯(lián)機構(gòu)動平臺的其它位姿(XP，YP，α，β)，解得的位姿坐標見表1。以表1中的解析方程求得的位姿數(shù)值(XP，YP，α，β)與模擬機構(gòu)得到的位姿參數(shù)進行比較，表明兩種結(jié)果完全吻合。由此證明運動模擬所分析的2UPU/2SPS并聯(lián)機構(gòu)的運動特性是正確的，而且通過模擬機構(gòu)得到的位姿正解數(shù)值為精確解。

表1 2UPU/2SPS機構(gòu)位置正解結(jié)果

2 2UPU/2SPS并聯(lián)機構(gòu)工作空間分析

在求解機器人的工作空間時，如果對輸出的姿態(tài)不作限制，得到的工作空間稱為可達工作空間。但是對于非平動機構(gòu)來說，由于并聯(lián)機器人的末端存在位置和姿態(tài)的強耦合，因此增加了定義和描述工作空間的難度，其工作空間可以分為定方向和定姿態(tài)工作空間兩部分，它們都是可達工作空間的一部分。定方向工作空間是指固連于機器人末端的某一向量保持不變時得到的工作空間，定姿態(tài)工作空間是指機器人末端的姿態(tài)保持不變時得到的工作空間。并聯(lián)機器人工作空間的邊界曲面是很難用解析式描述的，本節(jié)分別使用計算機輔助幾何法和解析法分析2UPU/2SPS并聯(lián)機構(gòu)的工作空間，并比較兩種方法的特點。

2.1 模擬機構(gòu)的工作空間邊界曲面繪制

模擬機構(gòu)的可達工作空間的邊界曲面可以通過計算機輔助幾何法繪制。以動平臺中心點P為參考點，2UPU/2SPS并聯(lián)機構(gòu)的工作空間邊界曲面可以通過模擬機構(gòu)方法由以下方法搜索得到：

1）確定動平臺中心點P在坐標系O-XYZ中的可達空間為搜索空間，將該空間用平行于XOY面的平面從Zmin到Zmax分割成厚度為ΔZ的微小子空間，將Z設(shè)置為主驅(qū)動尺寸，以ΔZ為步長變化Z的數(shù)值進行搜索，則第i次搜索時：

2）取四個輸入桿長Li(i=1，2，3，4)的變化范圍為80cm～120cm，并設(shè)置Zmin=45cm，Zmax=91cm。對于第i次搜索時不同的Z值處，當(dāng)L1max=120cm，L3min=80cm(或L1min=80cm，L3max=120cm)時，從Limin=80cm，Limax=120cm變化L1、L3的數(shù)值，各得到一條邊界曲線。整個搜索和模擬過程顯示機構(gòu)動平臺的轉(zhuǎn)角大致從0°-80°變化。

3）使用“放樣曲面”命令，將各邊界曲線繪制成一個曲面，這樣就得到2UPU/2SPS 并聯(lián)機構(gòu)的可達工作空間的部分邊界曲面，如圖3所示。

圖3 2UPU/2SPS模擬機構(gòu)的工作空間邊界曲面?zhèn)纫晥D和俯視圖

2.2 定姿態(tài)工作空間分析

下面根據(jù)位置反解方程研究2UPU/2SPS并聯(lián)機構(gòu)的定姿態(tài)工作空間。由2UPU/2SPS并聯(lián)機構(gòu)的位置反解方程式(10)-(13)可得：

上式是表示在坐標系O-XYZ下的四個圓球面，當(dāng)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)D、d和動平臺轉(zhuǎn)角α一定時，球面的球心所處的位置就是常量了，只有球的半徑不斷地變化。如果設(shè)四個輸入桿長Li(i=1，2，3，4)的變化范圍為：

那么，2UPU/2SPS并聯(lián)機構(gòu)的位置工作空間是四個相同的內(nèi)徑為Limin，外徑為Limax的空心球體的交集。根據(jù)模擬機構(gòu)中的結(jié)構(gòu)尺寸可得D=70.707cm，d=35.3535cm，令Limin=80cm，Limax=120cm，在CAD軟件環(huán)境下得到機構(gòu)在不同轉(zhuǎn)角α下的位置工作空間截面形狀，如圖4所示。

由式(26)-(29)還可以得到，2UPU/2SPS模擬機構(gòu)的工作空間以X軸為中心線呈對稱分布。當(dāng)動平臺以-α角轉(zhuǎn)動，得到的工作空間截面與圖4所示的截面關(guān)于X軸對稱。如給定一個Z和轉(zhuǎn)角α的范圍，將各個轉(zhuǎn)角下的相同Z值的工作空間截面疊加，就可以得到機構(gòu)的可達工作空間。但是由分析過程和截面圖4知，通過解析方程求解和確定2UPU/2SPS并聯(lián)機構(gòu)在某一姿態(tài)轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)的工作空間邊界條件是十分困難的。

圖4 2UPU/2SPS模擬機構(gòu)的定姿態(tài)工作空間剖切圖

通過兩種分析方法比較可得，采用計算機輔助幾何法搜索并聯(lián)機器人的工作空間邊界曲面是可行的，整個過程不僅直觀性強，而且可以免去建立復(fù)雜的運動方程的繁瑣和解析過程，適合求解2UPU/2SPS并聯(lián)機構(gòu)的工作空間邊界這類復(fù)雜問題。由分析過程還總結(jié)出了一種采用計算機輔助

幾何技術(shù)建立空間并聯(lián)機器人機構(gòu)位置正反解方程和繪制工作空間邊界曲面的新方法。結(jié)果表明并聯(lián)機器人模擬機構(gòu)可以作為建立解析方程的啟發(fā)工具及驗證解析求解結(jié)果的理論依據(jù)，而且當(dāng)給定輸入件尺寸后，利用模擬機構(gòu)得到的動平臺位姿參數(shù)為精確解。對于其他4-DOF模擬機構(gòu)也可以采用類似方法進行位置分析和工作空間分析。

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