基于擴展卡爾曼濾波的永磁同步電動機低速研究

丁宇漢，焦振宏，孫百軍，鄭 勇

(西北工業大學，陜西西安710072)

0 引 言

永磁同步電動機由于本身的許多優點比如結構簡單、轉矩/慣性大、功率密度大、效率高、維護容易等，被廣泛應用于數控機床、航空航天、機器人等高精度控制系統［1］。在永磁同步電動機控制系統中，矢量控制的使用，使得能夠模擬直流電動機一樣對永磁同步電機進行控制，從而獲得較高的調速性能［2］。高性能控制系統一般都需要高精度的位置傳感器，這些傳感器的價格較貴。通常使用光電編碼器在一個旋轉周期發出固定的脈沖數，通過計算光電編碼器在測量時間發出的脈沖數目得到轉子位置，轉子位置微分就是轉子速度。由于編碼器是量化脈沖，當電動機運行在低速狀態時，每個采樣時間內獲得的脈沖數極少，從而使得轉子的位置和速度計算精度變差，有時會產生大的誤差和微分噪聲［3］。在控制系統中，負載轉矩的變化會使得轉速產生振蕩，為了使得速度在負載轉矩變化時仍然穩定，就需要負載轉矩信息用以補償參考轉矩、減小負載轉矩變化對速度穩態的影響［4］。

為了有效解決上述問題，就需要一種可以同時觀測轉子位置、速度和負載的狀態觀測器。因此，本文提出了一種新型的基于擴展卡爾曼濾波器的觀測器?？柭鼮V波器可以直接解決非線性方程，并且考慮參數誤差的影響，以及測量擾動等，因此有很強魯棒性，并且能消除測量噪聲和誤差［5－6］?？紤]到觀測器設計需要表達轉動慣量，對轉動慣量進行了在線辨識，目前常用的辨識方法有最小二乘法、卡爾曼濾波法、模型參考自適應法(MRAS)、遺傳算法以及神經網絡模糊控制法［7－8］。本文使用易于實現的最小二乘法對轉動慣量進行辨識，以提高觀測器性能。

1 基于擴展卡爾曼濾波的觀測器

永磁同步電動機的機械運動方程:

式中:ωr、θr、J、F、Te、TL分別表示轉子機械角速度、機械位置、轉動慣量、摩擦系數、電磁轉矩和負載轉矩。相對于轉子的速度和位置的變化來說，負載轉矩的變化非常慢，可以近似認為沒有變化，即有:

選取轉子速度、位置和負載轉矩作為狀態變量，轉子位置作為輸出，建立基于擴展卡爾曼濾波的觀測器。

Q陣和R陣均為非負定陣，實際應用中根據經驗進行調整。

在采樣時間Ts足夠小的情況下，轉移矩陣:

通過重復下面計算步驟，可以獲得離散非線性卡爾曼濾波器方程:

(1)一步預估

(2)一步預測均方差

(3)濾波增益陣

(4)狀態估計

(5)估計均方誤差陣

式中:α是很大的正數，I是單位矩陣。在式(11)的條件下并不能保證系統是無偏差的。事實上，如果系統是一致完全隨機可控和可觀，則卡爾曼濾波一定是漸近穩定的，隨著濾波步數的增加，盲目選取的初始狀態x0和P0對濾波和Pk值的影響將逐漸減弱直至消失，估計逐漸趨向無偏差［9］。

2 轉動慣量的參數辨識

2.1 最小二乘法原理及實現

最小二乘法是工程中常用的辨識方法，是一種比較成熟的方法［10］，圖1為最小二乘法的表達形式。圖中h(k)、y(k)、z(k)、e(k)、θ 分別表示輸入量、輸出量、均值為零的隨機噪聲以及未知模型參數，記:

圖1 最小二乘法的表達形式

模型的輸出可表示:

則使得Y(θ)最小θ的估計值 稱為參數θ的最小二乘估算值。由此，可以推導出遞推最小二乘法的表達式:

若記:

得到遞推公式:

式中:α是很大的正實數(104～106);ε為零向量。

2.2 轉動慣量辨識的實現

在忽略系統摩擦阻力的情況下永磁同步電動機的運動方程:

定理4 內冪零群G=PQ,其中P為正規Sylow p-子群,Q為循環Sylow q-子群(見引理7),則其冪圖P(G)可平面化當且僅當G為以下情形之一:

將上式進行離散化處理:

由于采樣頻率很高，負載轉矩變化很慢可以忽略，將式(24)減去式(25)得:

令:

得到轉動慣量參數辨識的最小二乘法形式:

3 控制系統的總體實現

本文采用的永磁同步電動機控制策略為目前應用較廣的空間矢量調制的轉子磁場定向id=0控制策略。主要包括永磁同步電動機、空間電壓矢量調制(SVPWM)模塊、逆變器模塊、編碼器、轉動慣量辨識模塊和擴展卡爾曼濾波觀測器模塊。系統框圖如圖2所示。

圖2 系統控制框圖

4 仿真分析

為了驗證所設計的觀測器的性能，在Matlab/Simulink下建立起如圖3所示的各個功能模塊，并將它們結合起來，得到整體的仿真模型。

圖3 系統整體仿真圖

仿真所用的永磁同步電動機參數如表1所示。

表1 永磁同步電動機參數

仿真用編碼器精度為2 500線，卡爾曼濾波器的Q陣和 R陣經過仿真，最后設置:Q=diag(［1 0.1 10］)，R=diag(［1000］)。

初始值的設定:x^= ［0 0 1］T，P0=diag(［1 000 000 1 000 000 1 000 000］)。

速度給定為3 r/min，負載轉矩開始給定為1 N·m，在0.15 s時突變為1.5 N·m。未引入轉矩反饋和引入轉矩反饋的曲線如圖4～圖6所示。

負載轉矩給定恒定為1 N·m，速度給定開始時為3 r/min，轉動慣量開始為 0.000 7 kg·m2，在0.13 s時突變為 0.001 kg·m2，在 0.16 s時速度給定變化為5 r/min，未引入轉動慣量辨識和引入轉動慣量辨識的曲線如圖7～圖9所示。

由圖4～圖6可見，如果沒有引入負載反饋補償，當負載發生突變時，速度降落比較明顯;而引入負載轉矩反饋補償后，負載突變引起的電流落差由反饋進行了補償，減小了轉速降落，改善了轉速。

由圖7～圖9可知，當系統運行在穩定狀態時，轉動慣量的變化對系統的性能幾乎沒有影響，說明了在穩態時卡爾曼濾波器對于系統參數的魯棒性;但是，當速度給定發生改變后，如果沒有反饋辨識的轉動慣量，系統恢復穩態的過程中速度的響應會比較慢，并且有較大的超調，而引入轉動慣量反饋后，響應較快，超調明顯減小，改善了系統性能。

5 結 語

針對永磁同步電動機低速控制系統，在使用的編碼器精度較低時，獲得的轉子轉速和位置都不是很準確，本文提出了一種基于擴展卡爾曼濾波器的觀測器。該觀測器對參數依賴小。為了減小負載轉矩突變引起的轉速降，以及觀測器對轉矩變化不敏感，同時設計了觀測器對負載轉矩進行觀測并用于補償，有效減小了負載突變引起的轉速降。同時，為提高系統的魯棒性，對觀測器設計中需要用到的轉動慣量進行在線辨識。仿真結果表明，本文設計基于的新型觀測器的控制策略，應用于矢量調制的永磁同步電動機低速控制系統中是有效可行的，改善了系統的控制性能。

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