基于混合型多結(jié)點(diǎn)樣條插值曲面的圖像放大方法*

蔡占川,鄭才目, 黃 靜, 梁延研

(1. 澳門科技大學(xué)資訊科技學(xué)院,澳門；2. 北京師范大學(xué)珠海分校信息技術(shù)學(xué)院, 廣東 珠海 519085)

1975年齊東旭[8]給出了多結(jié)點(diǎn)樣條基本函數(shù)的構(gòu)造及計(jì)算格式，后續(xù)文獻(xiàn)[9-10]對(duì)其作進(jìn)一步的理論分析和應(yīng)用。為了兼顧插值與逼近方法的優(yōu)點(diǎn)，多結(jié)點(diǎn)樣條函數(shù)在通常的樣條函數(shù)中引入更多的附加結(jié)點(diǎn)，通過(guò)增加結(jié)點(diǎn)帶來(lái)的自由度來(lái)構(gòu)造原結(jié)點(diǎn)上插值的高精度樣條逼近格式。多結(jié)點(diǎn)樣條基函數(shù)是基數(shù)型的，使得插值過(guò)程無(wú)須求解方程組，同時(shí)，多結(jié)點(diǎn)樣條基函數(shù)具有有界支集，保證了局部性和有效性。多結(jié)點(diǎn)樣條以其良好的局部性、插值性等優(yōu)越性，已被成功地應(yīng)用于飛機(jī)外形、機(jī)翼、海洋、地質(zhì)的數(shù)據(jù)處理以及動(dòng)畫(huà)片的計(jì)算機(jī)制作等領(lǐng)域[11-13]。

本文首先介紹混合型多結(jié)點(diǎn)樣條函數(shù)；其次，由數(shù)字圖像構(gòu)造混合型多結(jié)點(diǎn)樣條插值曲面，提出一種利用混合型多結(jié)點(diǎn)樣條插值曲面的圖像放大方法；同時(shí)為了提高該方法的效率，描述了一種加速算法；最后是實(shí)驗(yàn)結(jié)果與結(jié)論。

1 混合型多結(jié)點(diǎn)樣條

1.1 混合型多結(jié)點(diǎn)樣條函數(shù)

多結(jié)點(diǎn)樣條曲線是建立在樣條理論基礎(chǔ)上的一種插值曲線，文獻(xiàn)[8-10]對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行了充分討論。多結(jié)點(diǎn)樣條是通過(guò)對(duì)等距樣條基函數(shù)的平移和迭加變換而得到的，它不僅能對(duì)插值點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)通過(guò)，并且保持了曲線樣條的局部性、顯式表達(dá)和容易交互的性質(zhì)。

這里討論另一類多結(jié)點(diǎn)樣條基本函數(shù)，記為pk(x)，它與一般基本函數(shù)Ωk(x)具有相同的跨度(-ξk,ξk)，ξk=(k+1)/2，k∈Z[8]。用基本樣條函數(shù)的組合形成多結(jié)點(diǎn)樣條基本函數(shù)，令

p3(x)=-3Ω3(x)+4Ω2(x)

基函數(shù)圖形如圖1所示。

圖1 混合型多結(jié)點(diǎn)樣條基函數(shù)

1.2 混合型多結(jié)點(diǎn)樣條插值曲面

一般地，混合型多結(jié)點(diǎn)樣條的插值函數(shù)可寫為

2.2.1 氣切吸痰 吸痰是清理呼吸道、保持呼吸道通暢的最常用而重要的護(hù)理操作[2]，也是無(wú)菌操作技術(shù)，操作時(shí)戴一次性無(wú)菌手套，并使用一次性無(wú)菌吸痰管，或者密閉式吸痰管。操作前后注意醫(yī)護(hù)人員的手衛(wèi)生，吸痰前聽(tīng)診患者肺部是否有痰鳴音，觀察患者表現(xiàn)：有無(wú)煩躁、呼吸困難或血氧飽和度降低等情況或呼吸機(jī)報(bào)警為氣道壓力過(guò)高時(shí)，需及時(shí)吸痰。吸痰操作時(shí)動(dòng)作輕柔，吸痰中注意：插入吸痰管時(shí)阻斷負(fù)壓，防止損傷的氣管黏膜，使其充血、水腫、上皮組織脫落、纖毛的丟失，以及氣道內(nèi)肉芽腫的形成，否則會(huì)增加了患者氣道黏膜的出血和感染的機(jī)會(huì)[3]；吸痰前后給予純氧吸入，防止供氧不足或吸痰后肺不張引起患者低氧血癥。

(4)

其中f(xi)(i=0,1,…,n)是采樣值；pk為混合型多結(jié)點(diǎn)樣條。

相應(yīng)地，混合型多結(jié)點(diǎn)曲面插值公式為

0≤u≤m,0≤v≤n

(5)

其中pk為u方向上的混合型多結(jié)點(diǎn)樣條基函數(shù)，pl為v方向上的混合型多結(jié)點(diǎn)樣條基函數(shù)，Pij為控制頂點(diǎn)，根據(jù)上式可以張成k×l階混合型多結(jié)點(diǎn)樣條曲面。

2 由數(shù)字圖像構(gòu)造混合型多結(jié)點(diǎn)樣條插值曲面算法

插值方法的價(jià)值在于，將有限的離散信息擴(kuò)展為一個(gè)連續(xù)的信息系統(tǒng)，或者說(shuō)，為離散信息補(bǔ)充了各種中間信息。不妨以紅色分量來(lái)說(shuō)明。

1)設(shè)Ri,j(1≤i≤m,1≤j≤n)是P(x,y)中第i行第j列像素的紅色分量，它與像素平面上的二維點(diǎn)(i,j)相對(duì)應(yīng)，構(gòu)造一個(gè)二元函數(shù)Q(s,t)(0≤s≤m,0≤t≤n)， 使Q(i,j)=Ri,j， 并且Q(s,t)在任一點(diǎn)處達(dá)到連續(xù)。

2) 函數(shù)構(gòu)造方法。

將矩陣R1={Ri,j;1≤i≤m,1≤j≤n)}擴(kuò)充為R2={Ri,j;0≤i≤m+1,0≤j≤n+1}，即續(xù)上Ri,j(i=0,m+1或j=0,n+1)的值，這里采用外向插值法，取R0,j=2R1,j-R2,j(1≤j≤n)，Rm+1,j=2Rm,j-Rm-1,j(1≤j≤n)，Ri,0=2Ri,1-Ri,2(1≤i≤m)，Ri,n+1=2Ri,n-Ri,n-1(1≤i≤m)，R0,0=R0,1+R1,0-R1,1，R0,n+1=R0,n+R1,n+1-R1,n，Rm+1,0=Rm,0+Rm+1,1-Rm,1，Rm+1,n+1=Rm+1,n+Rm,n+1-Rm,n。然后將R2擴(kuò)充為R3，其擴(kuò)充方法與R2的方法相同。得到(m+4)×(n+4)的矩陣R′。由混合型多結(jié)點(diǎn)樣條的曲面插值公式：

式中xi=1,2,…，m+4，yi=1,2,…,n+4，l1,l2為樣點(diǎn)間距，這里設(shè)兩個(gè)相鄰像素點(diǎn)間距為1，即l1=l2=1。

曲面插值公式簡(jiǎn)化為

3)用同樣的方法可以為P(x,y)的綠色分量G(x,y)和藍(lán)色分量B(x,y)構(gòu)造三次混合型多結(jié)點(diǎn)樣條插值曲面。

Q(s,t)在整體上是連續(xù)的，因此，Q(s,t)是P(x,y)信息的一種連續(xù)表示，由于多結(jié)點(diǎn)樣條的局部性，每段曲面只依賴于附近4×4個(gè)像素點(diǎn)的值，這就是下面加速方法的理論基礎(chǔ)。另外一方面，插值曲面Q(s,t)具有一次嚴(yán)格性，當(dāng)所有Ri,j共面時(shí)，Q(s,t)便是一個(gè)平面。如果P(x,y)表示一張色彩均勻變化的圖像，任意放大，它仍然是均勻的。

3 加速方法

由于多結(jié)點(diǎn)樣條具有良好的局部性，像素點(diǎn)(i,j)的計(jì)算只依賴于其附近的4×4個(gè)像素點(diǎn)的值，即

F(u,v)=

圖2 圖像分塊

試驗(yàn)表明，該方法可以提高計(jì)算速度，而且由系數(shù)矩陣近似所導(dǎo)致的誤差較小，對(duì)圖像質(zhì)量的影響不大。

4 試驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)中從標(biāo)準(zhǔn)圖像數(shù)據(jù)庫(kù)里選取以下7副512×512測(cè)試圖像(依次為L(zhǎng)ena、House、Bird、Peppers、Avion、Butfish、Frog)來(lái)測(cè)試(見(jiàn)圖3)。

分別先將圖像降采樣為256×256大小的圖像，采用不同的算法分別進(jìn)行2倍系數(shù)的放大，生成512×512的結(jié)果圖像。本文對(duì)四種算法進(jìn)行了對(duì)照實(shí)驗(yàn)。第一種方法為鄰近插值(Nearest)，第二種為雙線性插值(Bilinear)，第三種為雙三次插值(Bicubic)，第四種為混合型多結(jié)點(diǎn)樣條插值(Many-knot)。采用信噪比(PSNR)、均值誤差(ME)與梯度(Grads)來(lái)量化比較算法的優(yōu)劣。從表1-3可以看出：除了在梯度方面，混合型多結(jié)點(diǎn)樣條插值(Many-knot)略低于鄰近插值(Nearest)外，混合型多結(jié)點(diǎn)樣條插值(Many-knot)均優(yōu)于其它三種算法。

圖3 512×512測(cè)試圖像

表1 各種算法PSNR的比較

Table 1 Comparing PSNR of each method

ImagePSNRNearestBilinearBicubicMany-knotLena28.327 330.16830.046 533.443House24.871 826.607 826.480 729.323 6Bird26.490 828.4728.445 431.444Peppers26.380 528.129 227.64730.437 9Avion27.07629.008 328.942 932.731 7Butfish22.271 223.936 623.663 625.473 3Frog28.289 329.933 629.634 231.487 2

表2 各種算法ME的比較

表3 各種算法Grads的比較

從以下兩幅圖像中分別取其一小塊A，B。對(duì)小塊圖像A，B分別采用混合型多結(jié)點(diǎn)樣條的加速方法與未加速方法將其放大4倍(見(jiàn)圖4)。表4給出了多結(jié)點(diǎn)樣條算法與加速算法時(shí)間上進(jìn)行了對(duì)比，表明加速算法能提高10倍以上的速度。

圖4 多結(jié)點(diǎn)樣條算法與加速算法結(jié)果比較

表4 多結(jié)點(diǎn)樣條算法與加速算法的時(shí)間對(duì)比

Table 4 Comparing consumed time of many-knot spline with its fast algorithm

時(shí)間/s多結(jié)點(diǎn)算法加速算法圖像A29.536 41.773 0圖像B67.612 64.291 8

5 結(jié) 論

本文引入多結(jié)點(diǎn)樣條的混合型式，并將其應(yīng)用于圖像放大，該方法為數(shù)字圖像的每一個(gè)色彩分量構(gòu)造一個(gè)分塊混合型多結(jié)點(diǎn)樣條插值曲面。試驗(yàn)結(jié)果表明該方法對(duì)圖像的放大質(zhì)量較高。為了提高該方法的效率，提出一種加速算法。該加速算法在數(shù)字漫游系統(tǒng)與動(dòng)畫(huà)制作等方面可得到應(yīng)用。今后，將多結(jié)點(diǎn)樣條函數(shù)結(jié)合圖像的梯度特征、各向異性及輪廓特征，開(kāi)展進(jìn)一步深入的研究。

參考文獻(xiàn)：

[2]MEIJRING E，UNSER M. A note on cubic convolution interpolation [J]. IEEE Trans on Image Processing, 2003, 12(4):477-479.

[3]HWANG J W, LEE H S. Adaptive image interpolation based on local gradient features [J]. IEEE Signal Processing Letters, 2004, 11(3):359-362.

[4]ALY H A, DUBOIS E. Image up-sampling using total-variation regularization with a new observation model [J]. IEEE Trans on Image Processing, 2005, 14(10):1647-1659.

[5]PARK S C, PARK M K, KANG M G. Super-resolution image reconstruction: a technical review [J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2003, 5:21-36.

[6]THEVNAZ P, BLUR T, UNSER M. Interpolation revisited [J]. IEEE Trans on Medical Imaging, 2000, 19(7):739-758.

[7]孫慶杰,張曉鵬,吳恩華.一種基于Bézier插值曲面的圖像放大方法 [J].軟件學(xué)報(bào),1999,10(6):570-574.

[8]齊東旭. 關(guān)于多結(jié)點(diǎn)基數(shù)型δ-spline插值(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1975(2):70-81；1976(2):36-44；1979(3):1-8.

[9]LI H S, DING W, QI D X. Many-knot spline interpolation and any-scale refinement algorithm [J]. Journal of Image and Graphics, 1997, 2(10):701-706.

[10]QI D X, LI H S. Many-knot spline technique for approximation of data [J]. Science in China (Series E), 1999, 29(4):334-387.

[11]齊東旭，田自賢，張玉心，等. 樣條函數(shù)在飛機(jī)理論外形設(shè)計(jì)中的應(yīng)用 [J]. 飛機(jī)設(shè)計(jì)，1982, 4:45-51.

[12]北方工業(yè)大學(xué)CAD研究中心與北京電視臺(tái).計(jì)算機(jī)卡通片《咪咪釣魚(yú)》[CP ]. 北京：北京電視臺(tái)，1991.

[13]北方工業(yè)大學(xué)CAD研究中心與北京科學(xué)教育電影制片廠.計(jì)算機(jī)電影片《相似》[CP].北京： 廣播電影電視部電影發(fā)行局，1992.