兩類形狀可調(diào)五次廣義Ball曲線

嚴(yán)蘭蘭， 張 文， 溫榮生

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兩類形狀可調(diào)五次廣義Ball曲線

嚴(yán)蘭蘭， 張 文， 溫榮生

（東華理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西撫州344000）

定義了兩種帶形狀參數(shù)的曲線。第一種曲線包含了五次Wang-Ball和Said-Ball曲線以及介于這兩種曲線之間的無數(shù)曲線；第二種曲線包含了五次Said-Ball和Bézier曲線以及介于這兩種曲線之間的無數(shù)曲線。通過分析這兩種曲線與五次Bézier曲線之間的關(guān)系，得出了形狀參數(shù)的幾何意義，并給出了這兩種曲線的幾何作圖法。

Wang-Ball基函數(shù)；Said-Ball基函數(shù)；Bernstein基函數(shù)；Ball曲線；形狀參數(shù)

自數(shù)學(xué)家Ball在CONSURF機(jī)身曲面造型中提出一種三次參數(shù)曲線以來，廣義Ball曲線面的研究工作大量展開，其中以Wang-Ball和Said-Ball曲線曲面為主。2000年鄔弘毅提出了兩類新的廣義Ball曲線。2003年Delgado和Pena定義了DP-Ball基。在實(shí)踐中人們發(fā)現(xiàn)Ball曲線面具有良好的保形性，且在求值及升降階的計(jì)算速度上優(yōu)于同次的Bézier曲線面。文獻(xiàn)[8]通過增加的次數(shù)，得到了一組含參數(shù)的基函數(shù)，由之定義的曲線具有與三次Ball曲線類似的性質(zhì)。文獻(xiàn)[9-10]提出了帶位置參數(shù)的廣義Ball曲線，新曲線均包含Wang-Ball與Said-Ball曲線，以及介于二者之間的若干曲線。這里綜合文獻(xiàn)[8-10]的思想，通過構(gòu)造兩組分別含參數(shù)和的基函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了從五次Wang-Ball基到Said-Ball基以及從五次Said-Ball基到Bernstein基的過渡，由這兩組基定義的曲線均具有形狀可調(diào)性。

1 介于Wang-Ball和Said-Ball曲線之間的曲線

1.1 基函數(shù)的構(gòu)造與性質(zhì)

1.2 曲線的構(gòu)造及性質(zhì)

（4）幾何不變性與仿射不變性。

1.3 形狀參數(shù)的幾何意義

，，

圖1 B曲線中形狀參數(shù)的幾何意義

圖2 取不同值時(shí)的B曲線

圖3 B曲線的幾何作圖法

2 介于Said-Ball和Bézier曲線之間的曲線

2.1 基函數(shù)的構(gòu)造與性質(zhì)

2.2 曲線的構(gòu)造及性質(zhì)

（2）凸包性。

（3）對(duì)稱性。

（4）幾何不變性與仿射不變性。

2.3 形狀參數(shù)的幾何意義

式(7)中(c)、(d)式可分別改寫為

（8）

由形狀參數(shù)的幾何意義，并結(jié)合Bézier曲線的逼近性可知，越大，B曲線越靠近其控制多邊形，如圖5所示。圖中曲線1~5依次取，曲線1和5分別為五次Said-Ball和Bézier曲線。

圖4 B曲線中形狀參數(shù)的幾何意義

圖5 取不同值時(shí)的B曲線

圖6 B曲線的幾何作圖法

3 結(jié)束語

這里給出的兩種曲線生成方法，不僅分別以五次Wang-Ball和Said-Ball曲線以及五次Said-Ball和Bézier曲線為特例，而且由于帶有形狀參數(shù)，所以可以在不改變控制多邊形的情況下對(duì)曲線的形狀和位置進(jìn)行調(diào)整，從而分別得到介于五次Wang-Ball和Said-Ball曲線之間以及介于五次Said-Ball和Bézier曲線之間的無數(shù)中間曲線。與文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]中的方法相比，這里給出的是基函數(shù)的顯式表示，而且基函數(shù)的表達(dá)式相對(duì)比較簡(jiǎn)單。另外，這里得到中間曲線的方法也很簡(jiǎn)單，只要改變形狀參數(shù)的值即可，而且中間曲線的條數(shù)是無限的，與曲線的次數(shù)無關(guān)。并且這里的形狀參數(shù)均具有明確的幾何意義，所以可以很方便地選擇其值來得到所需要的中間曲線。

[1] Ball A A. CONSURF, Part 1: Introduction to the conic lofting title [J]. Computer Aided Design, 1974, 6(4): 243-249.

[2] Ball A A. CONSURF, Part 2: Description of the algorithms [J]. Computer Aided Design, 1975, 7(4): 237-242.

[3] Ball A A. CONSURF, Part 3: How the program is used [J]. Computer Aided Design, 1977, 9(1): 9-12.

[4] 王國(guó)瑾. 高次Ball曲線及其幾何性質(zhì)[J]. 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1987, 2(1): 126-140.

[5] Said H B. Generalized Ball curve and its recursive algorithm [J]. ACM Trans. on Graphics, 1989, 8(4): 360-371.

[6] 鄔弘毅. 兩類新的廣義Ball曲線[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2000, 23(2): 196-205.

[7] Delgado J, Pena J M. A shape preserving representation with an evaluation algorithm of linear complexity [J]. Computer Aided Geometric Design, 2003, 20(1): 1-10.

[8] 王成偉. 三次Ball曲線的擴(kuò)展[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 29(1): 77-81.

[9] Wu H Y. Unifying representation of Bézier curve and generalized Ball curves [J]. Applied Mathematics: A Journal of Chinese Universities, 2000, 15(1): 109-121.

[10] 沈莞薔, 汪國(guó)昭. Ball基的推廣[J]. 軟件學(xué)報(bào), 2005, 16(11): 1992-1999.

Two Classes of Quintic Generalized Ball Curves with Adustable Shape

YAN Lan-lan, ZHANG Wen, WEN Rong-sheng

( College of Mathematics and Information Science, East China Institute of Technology, Fuzhou Jiangxi 344000, China )

Two new classes of curves with shape parameters are defined. The first class of curve contains the quintic Wang-Ball and Said-Ball curves and the curves located between them. The second class of curve contains the quintic Said-Ball and Bézier curves and the curves located between them. By analyzing the relationship between the new curves and the quintic Bézier curve, the geometric meaning of shape parameters are obtained, and the geometrical drawing method of the new curves are given.

Wang-Ball basis function; Said-Ball basis function; Bernstein basis function; Ball curve; shape parameter

TP 391

A

1003-0158(2011)06-0016-05

2008-07-16

嚴(yán)蘭蘭（1982-），女，湖北浠水人，講師，碩士，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。