頻率對二維聲子晶體平板負折射成像的影響

劉紹娥，賀萌，覃世冬，李曉春, ，周科朝，黃伯云

(1. 中南大學 物理科學與技術學院，湖南 長沙，410083；2. 中南大學 粉末冶金研究院，湖南 長沙，410083)

左手物質的概念最早由 Veselago于 1968年提出[1]。在Veselago的理論中，介電常數ε和磁導率μ同為負數，其折射率n也為負數，由此引發負折射效應。但是，由于自然界不存在天然的左手物質，Veselago的理論在很長一段時間內都沒有受到足夠的關注，負折射的研究也進展甚微。直到1996年，Pentry等[2]從理論上證明了用周期性排列的金屬條和金屬開口諧振環組成的復合結構，在一定頻率范圍內能夠產生負等效介電常數和負等效磁導率。之后，Smith等[3]制作了世界上第一塊等效介電常數和等效磁導率同時為負的介質；Shelby等[4]則首次在實驗上證明了當電磁波斜入射到左手介質和右手介質的界面時，折射波的方向與入射波的方向位于法線的同側。這些研究引起了人們的廣泛關注。Pentry[5]關于負折射平板可以突破衍射極限完美成像的理論建議更是激起了研究者們的極大興趣。而且，人們找到了一種現實有效的實現負折射的方法，那就是利用人工結構——光子晶體[6-8]。隨著研究的深入，負折射研究已擴展到了聲子晶體領域[9-13]。在解釋聲子晶體平板負折射成像時，通過引入等效負折射率概念，并利用反常折射定律來描述成像過程[14-15]。在此，本文作者在考察聲子晶體等效負折射率的等效范圍的基礎上，從聲波頻率和入射角兩方面，對聲子晶體平板成像特性進行分析。

1 理論與模型

以二維鋼/空氣聲子晶體為模型，垂直方向的鋼圓柱以正三角結構排列于空氣中。材料參數為：對于空氣，密度ρ=1.29×10-3kg/m3，縱波波速cl=0.34×10-3m/s，橫波波速ct=0 m/s；對于鋼柱，ρ=7.67×103kg/m3，cl=6.01×103m/s，ct=3.23×103m/s。鋼柱的半徑r=0.36a(a為晶格常數)，對應的單胞填充率為f=0.47。用多重散射方法計算模型能帶結構，結果如圖 1(a)所示。圖1(a)中，從Γ點出發的直線表示空氣的色散線。從圖 1(a) 可以看出：在歸一化頻率(簡稱為頻率，下同)為 0.62～0.95時，Γ點的頻率比其他點的頻率都要高，說明在該頻段內，等頻線的梯度方向是指向Γ點的，即群速度方向和波矢量方向相反。因此，該頻段就是發生負折射現象的區域。圖1(b)所示為等頻線圖，可見：當頻率達到0.62時，等頻線凹向Γ點，與帶結構圖中的提示一致。

從圖1(b)可以看出：不同頻率對應的等頻線具有不同的形狀。等頻線是聲波在聲子晶體中傳播特性的反映。對于本文中的模型，在頻率0.65～0.95之間等頻線的形狀近似為圓形。這意味著這些頻率的聲波沿聲子晶體各個方向的傳播特性相同，即各向同性。因此，可用等效負折射率的概念來描述該聲子晶體中的負折射行為。

圖1 二維三角steel/air聲子晶體能帶結構和等頻線Fig.1 Band structure for phononic crystal consisting of steel cylinders hexagonal arranged in air background and equifrequency surfaces for some frequencies

根據聲子晶體等效負折射率的定義[13]，結合等頻線理論，用多重散射方法計算本文模型的等效負折射率，結果如圖2(a)所示，其中，在頻率0.65～0.80之間為圓形等頻線對應的頻率范圍。從圖 2(a)可以看出：隨著入射波頻率增大，本文模型的等效負折射率的絕對值逐漸減小。等效負折射率的這種變化將直接影響聲子晶體平板負折射成像，并會造成類似幾何光學成像中的色像差，即‘點’物成‘線’像。

本文模型中，基體材料為空氣，若其折射率記為1，則折射規律可寫為。其中：iα和rα分別為入射角和折射角；neff為聲子晶體相對于空氣的等效負折射率。顯然，折射角rα的取值范圍為0°～90°。因此，對于任意一個等效負折射率neff，當rα=90°時，都存在1個最大入射角。只有入射聲源的入射角小于時，聲波才會在聲子晶體表面發生負折射行為，即入射角在αi,MAX內的信號才會對負折射成像有貢獻。由于等效負折射率會隨入射波頻率的變化而發生改變，因此，也會受入射波頻率的影響。圖2(b)所示為與入射波頻率之間的變化關系曲線。從圖2(b)可以看出：隨著頻率的增大，逐漸變小。同時，能發生負折射現象的入射角范圍也相應減小，進而影響負折射成像，即出現頻‘高’像‘暗’現象。以下通過數值模擬來說明這些現象。

圖2 聲子晶體等效負折射率隨頻率的變化關系和最大入射角隨頻率的變化關系Fig.2 Effective negative refractive index vs frequency and maximum incident angle vs frequency

2 入射角對負折射的影響

以9層聲子晶體平板為模型，模擬高斯波束以不同角度入射聲子晶體平板后的折射現象。入射的高斯波頻率為0.70，由圖2(b)可知：該頻率對應的αi,MAX為32.57°。圖 3所示為入射角分別為 20.00°，32.57°和40.00° 3種情況下的平板負折射過程。圖3～6中水平(x)和垂直(y)方向刻度均表示空間位置，a為晶格常數。圖3～6中的灰度由黑至白，表示聲壓逐漸增強。

由圖3可知：入射角小于αi,MAX如 20.00°時，平板中出現明顯的負折射情況(見圖3(a))；當入射角大于αi,MAX如40.00°時，無負折射情況出現(見圖3(c))；入射角等于αi,MAX如32.57°時，負折射情況處于邊界狀態(見圖 3(b))。因此，高斯波在平板中的折射過程證實了αi,MAX的存在。

αi,MAX的存在也會影響平板負折射成像。在點聲源平板負折射成像中，表現為：不同的入射角范圍內的信號對像的貢獻不同。仍以9層聲子晶體平板為例，點聲源頻率保持為0.70，點聲源離聲子晶體平板的距離為10.0 (即物距)。在確定的物距下，通過在平板前加擋板的方式，控制入射到平板的入射角范圍。圖 4所示為不同的入射阻擋下，平板負折射成像的結果。

圖 4(a)中：點聲源發出的聲波信號沒有受到任何阻擋，全部通過聲子晶體平板負折射成像；在聲子晶體平板的內部和外部出現完整、清晰的匯聚像點。圖4(b)中：與水平方向夾角在±16.28°之間的入射聲波信號被阻擋，相當于±αi,MAX/2內的信號被擋，只有入射角絕對值在16.28°到αi,MAX之間的入射信號通過平板，產生了負折射；因此，像的強度受到了較大影響，像變得模糊、暗淡了許多。圖4(c)中：與水平方向夾角在±32.57°之間的入射聲波信號被阻擋，相當于±αi,MAX內的信號都被隔板擋住，即可以產生負折射的入射信號都被阻擋。因此，圖 4(c)中：平板負折射成像不見了。這進一步說明：只有入射角小于αi,MAX的聲波信號才能通過平板負折射成像，而其他的入射信號對負折射成像沒有貢獻，或貢獻幾乎可以忽略。

圖3 頻率為0.70的高斯波經9層聲子晶體平板折射的聲場分布Fig.3 Intensity distributions of pressure field of Gaussian Beam across nine-layer phononic crystal slab

對同一入射角、不同的物距，聲源投射到平板上的面積不一樣。物距小的，投射到平板上的面積小；物距大的，投射到平板上的面積也大。當αi,MAX固定為 32.57°，物距分別為2.6，6.6和10.6時的成像如圖5所示。平板寬度仍為9層，入射頻率保持0.70。

比較圖5(a)，5(b)和5(c)中3個不同物距條件下的成像特征，除了由于物距的變化，成像位置會出現相應的平移外，還發現：隨著物距的增大，豎直方向(y方向)上發生負折射的范圍變寬，但像的強度及清晰度幾乎沒有改變。這主要是因為αi,MAX固定，即使投射到平板的面積增大，但不增加折射進入聲子晶體平板的聲波信號，故像的強度不變。圖5所示的結果進一步證實了前面關于入射角影響成像的判斷。

3 入射頻率對成像的影響

以0.05為間隔，選取0.65～0.75之間的3個頻率點作為入射點聲源的頻率，利用多重散射方法，模擬點聲源經9層聲子晶體平板的負折射遠場成像情況，結果見圖6。圖6中聲子晶體平板的填充率仍為0.47，物距保持為10.0。

由圖6可知：入射聲源頻率改變，像的位置、強度、清晰度都發生改變。具體表現為：隨著點聲源頻率的增加，聲子晶體平板外部的成像離平板右端面(出射面)的距離增大；像的強度逐漸減弱，“線狀像”的清晰度也隨之降低，平板內部的匯聚點離平板左表面的距離減少。另外，當聲源頻率增大時，聲波在聲子晶體平板左表面的有效投射面積變小。

負折射成像隨聲源頻率變化的這些現象，可以用等效負折射率的特性及折射定律加以解釋。一方面，隨著入射頻率的增大，等效負折射率的絕對值減小(見圖2(a))，這樣，對于一定的小角度入射信號，根據折射定律，對應的折射角增大，從而導致聲子晶體平板內部像點位置向平板的左表面(入射面)移動，相應地就有平板外部的像點位置朝遠離聲子晶體平板的方向移動；另一方面，隨著入射聲源頻率增大，能發生負折射的最大入射角αi,MAX減小(見圖 2(b))，有效投射面積變小，耦合進入聲子晶體平板的聲波信號減弱，從而導致平板外部成像的強度減弱，像也變得模糊。

圖4 不同入射角范圍對應的點聲源負折射成像圖Fig.4 Negative refractive imagings of point source with different incident angle ranges

圖5 物距變化時的平板負折射成像Fig.5 Negative refractive imagings of phononic crystal slab with change of distance between point source and phononic crystal slab

圖6 不同頻率信號的負折射成像Fig.6 Negative refractive imagings of sound signals with different frequencies

4 結論

(1) 聲子晶體的等效負折射率，其絕對值隨聲源頻率的增大而減小，平板負折射也會出現類似幾何光學成像中的色像差；對于某一確定的入射聲源頻率，負折射現象存在一個最大入射角，且隨著聲源頻率的增加，這一最大入射角變小。

(2) 在聲子晶體平板負折射成像過程中，點聲源的頻率不僅會影響負折射成像的位置，還會影響像的強度和清晰度。隨著點聲源的頻率的增大，最大入射角變小，負折射進入聲子晶體平板的有效聲波信號減弱，負折射成像的清晰度降低。

(3) 在應用平板負折射成像的實際過程中，應根據成像所用到的頻率，選擇合適的物距和入射角，以得到清晰明亮的像。或者選擇合適的信號頻率、合適的物距，以達到清晰成像的目的。

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