一種新的用于編制露天礦生產計劃開采模型

黃俊歆 ，郭小先，王李管，譚正華，畢林，李德，陳建宏

(1.中南大學 資源與安全工程學院，湖南 長沙，410083；2.湖南工學院 安全與環境工程系，湖南 衡陽，421001；3.西部礦業股份有限公司，青海 西寧，810001；4.玉溪礦業有限公司，云南 玉溪，653100)

編制露天礦采掘進度計劃的總目標是確定一個技術上可行且能夠使總體經濟效益最大化的礦巖采剝順序。礦床開采的總體經濟效益最大是指從動態經濟觀點出發，使礦床開采中實現的總凈現值最大；技術上可行是指采掘進度計劃必須滿足一系列技術上的約束條件，主要包括：(1)在每一個計劃期內為選廠提供較為穩定的礦石量和入選品位；(2)每一計劃期的礦巖開采量應與可利用的采剝設備的生產能力相適應；(3)各臺階水平的推進必須滿足正常生產要求的時空發展關系，即最小工作平盤寬度、安全平臺寬度、工作臺階的超前關系、采場延深與臺階水平推進的速度關系等[1]。目前，國內編制露天礦采掘進度計劃普遍采用手工方法，即使借助計算機，現在已有的輔助設計軟件都只是提供模擬手工操作的方法，無法準確考慮上述技術約束條件，導致編制出來的露天礦采掘計劃難以指導生產。國外發達國家通常利用計算機來解決露天礦生產計劃編制問題(Open-pit mine production scheduling problems, OMPSP)。最初有研究者提出利用LG圖論法[2]或浮錐法[3]通過調整價值模型分別進行計算，得出一系列嵌套分期境界作為各計劃期的期末圖，但這種方法無法滿足采掘進度計劃的技術約束條件，而且試算法調整價值模型的工作量非常大。隨后又相繼產生 heuristics算法[4]、Korobov算法[5]、參數化算法[6]、動態規劃法[7]、混合整數規劃法[8]，等等。其中：混合整數規劃法能夠充分考慮露天礦生產計劃編制問題的一系列技術約束條件，該算法的時間復雜度為指數階[9]，因計算量太大，該方法僅在理論上可行，無法解決實際的大規模 OMPSP。Natashia等[10]針對OMPSP從優化線性規劃問題求解算法的角度進行研究，有效地降低了其時間復雜度，但該方法實現難度非常大。在此，本文作者提出一種基于成本流的開采錐模型(CFCM)。采用圖論的方法將正價值塊與其開采錐內相關負價值塊聚合，減少了混合整數規劃模型中的變量個數，降低了計算復雜度，從而使解決實際的大規模OMPSP變成可能。此外，通過工程實例驗證了該模型的有效性及可行性。

1 露天礦生產計劃編制流程

將礦床劃分為有限個尺寸相等的長方體(包括開采的礦石和剝離的廢石)，每個塊體形成的離散模型稱為礦床塊段模型。采用礦體解譯、地質資料分析等方法，通過估值使塊段模型中每一塊的凈價值變為已知，估值后的塊段模型稱為價值塊段模型。露天礦境界優化流程圖見圖1。

圖1 露天生產計劃編制流程圖Fig.1 Flow chart of open-pit mine production scheduling

塊段凈價值是根據塊中所含可利用礦物的品位、經營成本及產品價格計算的。由于礦床所含礦物的多樣性及礦山企業經營體制和成本管理制度的差異，計算凈價值時用到的參數并不固定。其凈價值計算方法見圖2。其中：每個塊體的值表示開采該塊體的凈利潤，剝離的廢石為負值，Vore=Vo?Com?Cot?Cor?Cp?Cs；Vwaste=?Cwm?Cwt?Cwr。

2 CFCM模型的構建

實際的露天礦礦床塊段模型的塊數通常在 106數量級以上。構建混合整數規劃計算模型時，為了充分考慮露天礦生產計劃約束條件，必須為每一個塊建立一個整數變量(0表示不開采，1表示開采)。這樣一個大型的混合整數規劃問題，對現有的計算機軟、硬件技術來說是無法實現的。

2.1 基本原理

為便于敘述CFCM模型的基本原理，采用圖3所示的簡單二維塊段模型進行闡述，以塊段的中心點表示該塊段(以下稱節點)。

在滿足工作幫坡角幾何約束條件的前提下，只考慮開采礦床塊段模型中某一正價值節點，該節點記為Ni，其凈價值記為Vi，其上方所有必須先開采的負價值節點的凈價值代數和即為開采正價值節點Ni所須承擔的成本。節點Ni與其上方所有必須先開采的節點形成1個倒圓錐，稱為正價值節點Ni的開采錐，記為Ci；開采錐Ci的頂點為Ni，正價值節點Ni與其開采錐內某負價值節點Nj之間以有向邊相連，該有向邊表示節點Ni與節點Nj之間的成本流，記為fij；該開采錐頂點Ni與錐內所有負價值節點的價值代數和稱為開采錐的錐價值，記為Vci。礦床塊段模型中的所有正價值節點都與其開采錐內的負價值節點以有向邊相連，在其底部加一源節點，記為S；在其頂部加一匯點，記為T。形成的有向圖稱為初始CFCM，如圖3所示。

這樣，礦床塊段模型中每一正價值節點都與其上所有可能對其構成成本負擔的負價值塊以成本流連接，但節點作為模型中的最小單元，每一個負價值節點只可能對1個正價值節點構成成本負擔。以此作為理論基礎，采用線性規劃方法對初始CFCM進行成本最優分配。構建混合整數規劃計算模型時，其整數變量個數也從原來的礦床塊段模型節點總數減少為其正價值節點數，極大地減少了整數變量個數，降低了計算復雜度。

2.1.1 構建線性規劃模型目標函數

對于一個給定的礦床塊段模型，在其最終開采境界內的所有負價值節點的價值代數總和為定值，即總開采成本為定值，則其成本流之和也為一定值，即∑fij為定值。

為力求早投產、快達產、縮短基建期、減少基建投資，應從最先能開采到正價值塊處開始開采，從而達到盡快回收成本的目的。這樣，就應該使成本流盡量地流向價值更大的開采錐。依據該原則構建如圖3所示的線性規劃模型。

圖3 二維塊段模型及初始CFCM模型Fig.3 2D block model and initial CFCM model

圖3所示為簡單二維塊段模型的CFCM模型初始圖，為便于闡述，令工作幫坡角為 45°。構建模型的具體步驟如下。

(2)為每個正價值節點按其CV分配 1個權值系數，記為Ce。將所有節點按其在塊段模型中的層號從大到小排序(坐標系統如圖4所示)，層號相同的按其CV從大到小排序，權值系數Ce則按排好序的節點。其Ce則按該順序從小到大分配，下一層的各正價值塊的Ce則從上一層最大Ce開始分配。

(3)構建目標函數。該線性規劃模型的目標是使成本流盡量地流向價值更大的開采錐，因此，取上述分配了權值系數的表達式的最小值作為線性規劃模型的目標函數，即

注：fN(r1,c5)N(r2,c5)表示節點N(r1,c5)流向節點N(r2,c5)的成本流，其他項類同。

2.1.2 構建線性規劃模型約束條件

由于成本流是從源點流出，流向匯點，根據圖的性質，有：

(1)中間任意節點流入的與流出的成本流代數和為0；對于正價值節點Ni，有：價值節點Nj，有：

(2)從源點流向正價值節點的成本流不大于該節點的價值，即：fSi≤Vi；

(3)從負價值節點流入匯點的成本流等于該節點的價值，即：fjT=Vj。

其中：S表示源點；T表示匯點；i表示正價值節點；j表示負價值節點；ni表示從正價值節點Ni引出的有向邊條數；pi表示指向負價值節點Nj的有向邊條數。

因此，對于圖3所示的簡單塊段模型，其線性規劃模型約束條件如下：

2.2 算法描述

建立圖4所示的坐標系統，XYZ坐標系為世界坐標系，其值為塊段的真實坐標值；ijk坐標系為相對坐標系，其值為塊段在礦床塊段模型中的序號。

2.2.1 CFCM構建算法

第1步：形成初始圖。遍歷所有節點，當前節點記為Ni，若節點Ni為正價值節點，將節點Ni與其開采錐內所有負價值節點以有向邊相連，正價值節點Ni與負價值節點Nj間的有向邊記為fij。同時，將Ni存入正價值節點數組中。

圖4 三維塊段模型坐標系統Fig.4 Coordinate system of 3D block model

第2步：計算錐價值。遍歷所有正價值節點，當前節點記為Ni，節點Ni及所有與它以有向邊相連的負價值節點的價值代數和即為節點Ni的錐價值。

第3步：賦權系數。將正價值節點數組中所有節點按其在塊段模型中的層號從大到小排序，層號相同時按節點的錐價值從大到小排序。在排序后的數組中，第1個節點權系數Ce1為1，第2個節點權系數Ce2為2，依此類推，第n個節點權系數Cen為n。

第4步：建立線性規劃模型。

第5步：求解線性規劃問題，遍歷結果中所有成本流，當前成本流記為fij。若fij為0，則將節點Ni與節點Nj之間的有向邊刪除。刪除所有為0的成本流后形成新的CFCM，執行第2步；若無結果為0的成本流，則程序結束，得到最終CFCM。

2.2.2 線性規劃模型算法的建立

第1步：構建目標函數。遍歷所有正價值節點，共有m個正價值節點，當前節點記為Ni；其權系數為Cei；Ni引出的成本流有n條，記為f1～fn。則目標函數

第2步：構建約束條件。

(1)遍歷所有從源點S流出的成本流，共有x條，當前成本流記為fSi，流向正價值節點Ni，Ni的價值為Vi。據此可以構建出x個約束條件：fSi≤Vi；1≤i≤x

(2)遍歷所有流入匯點T的成本流，共有y條，當前成本流記為fjT，從負價值點Nj流出，Nj的價值為Vj。據此可以構建出y個約束條件：fSi=|Vj|；1≤j≤y

(3)遍歷所有正價值節點，共有z個正價值節點，當前節點記為Ni，流入該節點的成本流有u條，記為fiI1～fiIu；從該節點流出的成本流有v條，記為fiO1～fiOv；據此可以構建出z個約束條件：1≤i≤z。

3 實例應用

3.1 三維地質模型的創建

基于CFCM的算法已用于DIMINE數字礦山系統中。以云南某礦為研究對象，用DIMINE創建了該礦的空間地質數據庫、數字地形模型(Digital Terrain Model，DTM)[9?11]、礦體模型、礦床品位塊段模型，見圖5，這些資料是該礦露天礦生產計劃編制工作的基礎。

圖5 DTM、鉆孔空間位置及主要礦體分布Fig.5 DTM and drill spatial location and main orebodies distribution

礦體呈北西向北東呈波狀緩傾斜，傾角為 10°～25°，局部大于 35°。地面標高 1.21 km，礦體總體長2.00 km，寬100～670 m，埋深從地表到280 m標高，礦體厚度為2～50 m，平均品位約0.4%。礦體形態較復雜，呈多個不規則的透鏡體或構造塊體。同一礦體厚度與品位變化較大。

本次建立地質數據庫包含鉆孔486個，測斜數據2 246條，所有鉆孔、槽探和坑探取樣38 411個。礦床主要有Ⅰ號、Ⅱ號、Ⅲ號3個礦體，其中Ⅱ和Ⅲ號礦體儲量大，為該礦區的主要礦體，塊段模型創建中選擇單元塊長×寬×高為10 m×20 m×4 m。礦體分布情況及最終設計境界見圖6。

圖6 礦體分布情況及最終設計境界(即范圍)Fig.6 Ore bodies distribution and its final designed limit

3.2 露天礦生產計劃編制參數選擇

3.2.1 經濟參數的選取

此次優化的參數主要來源于地質報告、選礦實驗指標和根據目前開采技術條件下通過工程類比法選取出相關指標，本例以云南某露天礦的3 a采剝計劃編制為例。其主要優化參數見表1。

3.2.2 優化參數的選取

在計劃編制過程中，按照礦山的選廠處理能力等實際情況，確定6 000 t/d方案各年采礦量為：第1年75萬t，第2年150萬t，第3年以后按照198萬t進行編排，直至減產結束。礦量容差為 5%，各年品位及剝采比約束如表2所示。

3.3 結果分析

將上述參數輸入DIMINE軟件露天礦生產計劃編制模塊中。礦床塊段模型XYZ3個方向的塊數為89×55×93，共455 235塊；但其中正價值塊數僅為75 315塊。利用CFCM構建計算模型，采用混合整數規劃法進行露天礦生產計劃編制，其整數變量數從455 235個減少到75 315個，極大地減少了計算量。

表1 優化參數表Table1 Optimal parameters table

表2 優化參數表Table2 Optimal parameters table

經計算，得到各年度采剝塊段集合。在該結果數據為指導的基礎上進行生產計劃設計，其設計結果見圖7，采剝量見表3。

圖7 露天礦生產計劃設計結果Fig.7 Design results of open pit mine production scheduling

表3 各年度采剝量Table3 Stripping quantity for each year

4 結論

(1)針對采用混合整數規劃法求解 OMPSP時的高復雜度，提出了一種新的露天礦開采錐模型即CFCM。CFCM 能夠極大地減少采用混合整數規劃法求解OMPSP時的整數變量個數，為解決OMPSP提供了一種新的有效方法。

(2)CFCM 的不足之處在于其依賴于規則三維塊段模型，塊段的細分程度及各個方向的尺寸對工作幫坡角的精度影響很大。然而，混合整數規劃算法為指數復雜度，塊段劃分過細將會導致計算量過大。如何構建一種不規則塊段模型，通過調整不同臺階、不同工作地點的塊段尺寸、形狀、細分程度來更精確地模擬工作幫坡角、開采條帶等，是未來露天礦開采錐模型構建技術的難點與發展方向。

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