柔性機械臂動力學建模與控制方法研究進展

楊 敏， 劉克平

(長春工業大學電氣與電子工程學院，吉林長春 130012)

0 引 言

近年來，隨著宇航技術與機器人技術的快速發展，越來越多的由若干個柔性組件構成的多柔體系統應用到工業和航空航天領域中。柔性機械臂作為最簡單的非平面多柔體系統，被廣泛用作多柔體系統研究模型。然而，柔性機械臂的動力學系統非常復雜，其不僅是一個剛柔耦合的非線性系統，而且也是系統動力學特性與控制特性相互耦合的非線性系統。所以建立準確、實用的動力學模型，是設計柔性臂高性能控制器的重要前提條件。針對柔性機械臂建模理論與控制方法的綜述性文章也有報道，但基本是十年前的研究成果總結[1-2]。文中旨在對近十年來柔性機械臂建模和控制問題的國內外發展現狀及趨勢做一個小結。

1 柔性機械臂的動力學建模理論研究

1.1 描述柔性體變形的常用方法

1.1.1 有限元法

有限元法是一類離散化的方法，是將具有無限自由度的連續體離散化為具有有限個自由度的單元集合體，從而將問題轉化為結構型問題，便于采用數值解法。Tokhi[3-4]利用有限元法和有限差分法比較研究了受約束單連桿柔性機械臂的動態特性。和興鎖[5]利用有限元方法對空間柔性梁結構進行離散化，然后采用Lagrange方程建立了系統的動力學方程。Shaker[6]基于有限元法設計了具有旋轉關節的平面雙連桿柔性機械臂的非線性模型。Korayem[7]利用有限元法研究了柔性連桿移動機械臂的最大允許動態載荷(maximum allowable dynamic load)。

1.1.2 假設模態法

假設模態法是廣義坐標的一種，以Ray leigh-Ritz法為基礎，通過模態截斷方法，以系統中子結構的模態綜合推導出系統整體模態。2003年，金國光[8]基于假設模態法和Kane方程建立了柔性機械臂的動力學模型。2006年，余躍慶[9]以柔性多體系統動力學理論為基礎，采用假設模態方法，建立了具有柔性桿件的欠驅動機器人的動力學模型。2007年，Amer[10]利用假設模態法及 Lagrange方程對柔性負載進行建模，根據末端執行器與柔性負載的相互作用力關系，得到整個系統的動力學模型。其所設計的滑模控制器可以在跟蹤期望軌跡的同時抑制柔性負載的彈性振動。2009年，M ills[11]基于假設模態法研究了剛體運動和具有3個柔性中間連桿的3-PRR并聯機器人彈性運動的耦合特性。

1.1.3 有限段法

有限段法是將細長件分為有限剛段，將柔性引入到系統的各接點中，即把柔性系統描述為多個剛體，以含有彈簧和阻尼器的接點相連。該方法容易計入幾何非線性的影響，理論推導程式化，便于數值計算，比較適合于含細長構件的系統。朱金鈺[12]研究了由一個中心剛體、兩個鉸鏈接的柔性梁構成的展開系統模型，用有限段梁單元以及碰撞連續力模型的方法建立多體模型。董龍雷[13]針對具有中心剛體并帶有柔性梁附件的剛柔耦合系統，介紹了基于Kane動力學方程的多體動力學理論，并應用有限段建模方法對這類剛柔耦合系統建立了動力學方程。何斌[14]提出了幾何非線性柔性機械臂動力學有限段傳遞矩陣建模方法，該方法既保留了有限段法自動計入幾何非線性和動力剛化的優勢，又保留了傳遞矩陣法建模方便靈活的特性。

1.1.4 集中質量法

集中質量法是將柔性體的分布質量離散化于若干離散結點上[15]。桿系結構的離散化剛度矩陣可直接得出，系統動力學方程通過質量近似離散化處理得到。集中質量法適用于部件外形復雜的柔性體系統，在自由度相同的情況下，其模型精度低于有限元法。田霞[16]研究了梁的離散模型的模態反問題，采用集中質量法和有限差分法對梁進行離散化，得到橫向振動梁的彈簧-質點-剛桿模型，其質量矩陣為對角矩陣，而剛度矩陣為對稱的五對角矩陣。蔡國平[17]對帶有末端集中質量的雙連桿柔性機械臂的主動控制進行了研究，給出了系統的動力學方程。

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1.2 動力學方程的建立

1.2.1 Ham ilton原理

Ham ilton原理[18]是柔性臂動力學建模的理論基礎。Hamilton原理采用能量方式建模，避免了動力學方程中包含內力項，適用于結構比較簡單的柔性體系統。對于結構復雜的系統，Ham ilton函數的變分運算變得較為復雜。但變分運算原理是將系統實際運動應滿足的約束條件表示為某一函數或泛函的極值，并以此確定系統的運動。因此，采用H amilton原理與控制系統的優化進行綜合分析，便于動力學分析轉化為系統控制模型。2005年，Cai[19]基于Hamilton原理，建立了末端帶有集中質量的單連桿柔性臂的分布參數模型。2007年，Pratiher[20]從Hamilton原理出發，建立了單連桿柔性笛卡爾機械臂的非線性分布參數模型。Bolandi[21]基于Hamilton原理和假設模態法研究了具有旋轉關節和柔性連桿的單連桿柔性機械臂完全非線性動力學模型。

1.2.2 Lagrange方程

Lagrange方程是柔性機械臂建立動力學模型的理論基礎。Lagrange方程分別與有限元法、假設模態法和奇異攝動法等方法結合使用可得到不同形式的動力學方程。李元春[22-23]、劉克平[24]基于Lagrange方程采用假設模態法和奇異攝動法得到了雙連桿柔性臂的雙時標動力學模型。2009年，劉善增[25]基于Lagrange方程建立了空間三自由度并聯機器人的動力學模型。王三民[26]利用Lagrange方程和變步長Runge-kutta法建立了空間RRRP機械臂的非線性動力學方程。

1.2.3 New ton-Euler公式

New ton-Euler公式應用質心動量矩定理推導出隔離體的動力學方程，方程中含有物理意義明確，并且能夠表征系統完整受力關系的相鄰體間的內力項。李英[27]基于New ton-Euler的幾何方法，推導了N連桿可重構機械臂的動力學方程。Siciliano[28]利用New ton-Euler公式建立了受約束柔性機械臂的動力學模型。Hw ang[29]研究了開環機器人柔性制造系統動力學特性，應用廣義New ton-Euler公式的遞推原理得到的大型、松散耦合系統方程描述柔性系統的運動。A lessandro[30]提出一種改進的遞推New ton-Euler方法，解決了常規方法難以計算機器人機械臂故障檢測和控制問題中的動態參數問題。New ton-Euler公式方法也存在方程數量多、計算效率低等缺點。但該方法仍是目前動力學分析的主要手段之一。

1.2.4 Kane方法

Kane方程[31]引入偏速度與偏角速度的概念，從約束質點系的D'A lembert原理出發，將各體的主動力(或力矩)和慣性力(或力矩)乘以偏速度、偏角速度，通過對整個系統求和，得到與系統所含自由度數目相等的方程組。Kane方程的特點是內力項在方程中不出現，建立方程更加程式化，可實現動力學方程的計算機符號推導。贠今天[32]基于Kane方程推導建立了慣性參考坐標系中的剛-柔機械臂的非線性動力學模型。孫漢旭[33]在運動分析基礎上，基于矢量運算的Kane方程建立了BYQ-3球形機器人的完整動力學模型。邊宇樞[34]和金國光[8]利用Kane方程和假設模態法對柔性臂系統進行了建模。

2 柔性機械臂的控制策略研究

2.1 PD控制

2.2 力反饋控制

柔性機械臂的力反饋控制實質是基于逆動力學分析，根據機械臂末端的給定運動計算作用于驅動端的力矩，并利用運動或力檢測對其進行反饋補償。蘇文敬[38]利用逆動力學控制算法實現了對空間柔性雙臂機器人系統動力學模型軌跡跟蹤控制。曾克儉[39]利用計算力矩法實現了液壓柔性機械臂軌跡控制。H uang[40]針對柔性關節機械臂設計了虛擬分解法的笛卡爾阻抗控制、自適應關節動態補償器、笛卡爾力反饋的實時路徑規劃三種控制方法相結合的基于碰撞檢測的自適應阻抗控制器系統。

2.3 自適應控制

柔性機械臂動力學模型一般含有結構或參數不確定性以及外部擾動，可以采用自適應控制。自適應控制通過測量過程狀態的連續信息、自動調整控制器參數以適應環境條件或過程參數的變化，使系統具有較強的魯棒性。Bai[41]采用了自適應增大狀態反饋控制方法，控制器的設計是依據穩態LQR技術，所設計的控制器具有很強的魯棒性。2002年，劉克平[42]基于奇異攝動理論將柔性臂動力學模型分解為慢/快變兩個子系統，并對慢/快變子系統分別設計了自適應控制器和最優控制器，實現了柔性臂的力/位置混合控制。Song[43]研究了基于神經網絡的柔性機械臂自適應控制。

2.4 變結構控制

變結構控制是一種不連續的反饋控制，其中滑模控制是最普遍的變結構控制。其基本思想是根據系統所期望的動態特性來設計系統的切換超平面，通過滑動模態控制器使系統狀態向切換超平面收斂。系統到達切換超平面后，控制作用將使系統沿切換超平面到達系統原點。在切換超平面上具有的滑動方式使系統的特性和參數只取決于所設計的切換超平面而與外界干擾沒有關系，所以滑模變結構控制具有很強的魯棒性。變結構控制器的設計不需要機械臂精確的動態模型，模型參數的邊界就足以構造一個控制器。Elangovan[44]基于自適應模糊滑模控制研究了三連桿從動機器人的控制，該方法對于系統的結構和非結構不確定性具有較強的魯棒性。Xu[45]基于變結構控制思想改進了模型參考自適應控制，有效抑制了柔性臂的彈性振動。張裊娜[46-48]通過重新定義柔性機械手的輸出變量，設計逆動態終端滑模控制策略，解決了其非最小相位控制問題。李元春[49]等學者也對變結構滑模控制進行了深入的研究。

2.5 魯棒控制

魯棒控制的特點是設計一個結構和參數固定不變的控制器，卻使系統模型的不確定性和參數攝動對系統性能的影響在要求范圍內。Jee[50]研究了關于大量時變有效載荷參數不確定性柔性機械臂的魯棒控制器設計方法。W ang[51]研究了多連桿柔性臂系統的H∞魯棒控制問題。Ho[52]采用H∞結合PID控制研究了單連桿柔性機械臂的位置控制。李元春[53]研究了基于神經網絡的準靜態撓度補償雙連桿柔性機械臂的魯棒控制。

2.6 智能控制

智能控制是在傳統的控制方法中加入邏輯、推理以及啟發式知識等環節的一種新型方法，其對于諸如柔性臂系統等具有參數不確定性、結構不確定性、高度非線性等特點的復雜系統具有良好的控制效果。近年來，許多學者將不基于系統模型的智能控制方法應用到柔性臂控制領域，并取得了很大的進展。李英[27]基于精確模型PD控制，提出了模糊神經控制算法辨識補償結構、非結構不確定性，實現了可重構機械臂軌跡跟蹤的有效的補償控制。肖志權[54]針對包含結構參數、傳感器參數和控制器參數的柔性機械臂系統模型進行整體優化設計，改進的遺傳算法用于參數的全局尋優。優化后的機械臂系統，僅采用簡單的控制器就能減小振動。Nguyen[55]提出了一種遺傳算法和模糊控制相結合的雙連桿柔性臂控制方法。Elangovan[44]，李元春[53]等學者利用智能控制對柔性機械臂控制做了相關研究。

2.7 預測控制

柔性機械臂的運動軌跡控制相當于已知下一步的預定位置，但未知彈性變形的影響，是部分已知部分未知的系統，可以采用預測控制進行研究。張奇志[56]采用預測控制結合I/O反饋線性化的控制策略，消除了柔性機械手的彈性振動。帥鑫[57]針對柔性機械臂末端軌跡跟蹤的內動態不穩定和模型不精確問題，提出一種用于柔性臂末端軌跡跟蹤的預測控制算法。張雪蓮[58]利用Takagi-sugeno模糊模型對柔性臂進行了建模，在驗證模型準確性的基礎上，進行了廣義預測控制方法的研究。

2.8 最優控制

蔡國平[59-60]利用最優跟蹤控制策略，實現了一次近似模型的柔性機械臂運動跟蹤的主動控制，并對柔性機械臂線性化主動控制中的時滯問題進行了研究。王從慶[61]針對一種自由浮動柔性雙臂空間機器人協調操作剛性負載閉鏈系統，基于線性二次型最優控制方法對其進行振動的主動控制。陳文楷[36]將最優控制與模糊神經控制相結合，用于控制變負載柔性機械臂，較傳統方法得到了更優的控制效果。

2.9 其它控制方法

近年來，利用輸入成形技術和壓電陶瓷等新型智能材料抑制彈性振動的方法得到了學者的廣泛關注。輸入成形是指將參考信號與一系列脈沖信號相卷積，形成的指令作為系統新的輸入。該方法考慮了系統的物理特性和振動特性，使得振動模態在輸入信號中不被激勵，從而消除系統的振動。輸入成形技術在柔性機械臂領域的研究取得了很多進展[62-66]。劉克平[67-68]針對魯棒輸入成形技術，提出了一種三階段最優任意時延輸入成形控制器的設計方法，克服了系統響應快速性和魯棒性之間的矛盾;將魯棒輸入成形技術和閉環控制器結合，應用于柔性機械臂實驗臺的軌跡控制和振動控制研究，實現了柔性機械臂高速高精度控制[69-70]。壓電陶瓷等智能材料在柔性機械臂彈性振動控制中的應用也得到了國內外眾多學者的關注[71-75]。

3 結 語

從柔性機械臂的研究現狀來看，具有以下熱點及趨勢:

1)基于柔性機械臂分布參數模型的Riesz基方法和動態邊界反饋控制;

2)多柔性臂系統的協調控制;

3)受約束多連桿柔性機械臂協調運動系統的分布參數模型;

4)機械臂操作柔性負載系統的控制。

同時，柔性臂系統的研究仍然存在一些有待進一步解決的問題:

1)柔性臂集中參數模型簡化帶來的控制/溢出以及控制器難以工程實現等問題;

2)基于分布參數模型控制器的設計方法問題;

3)在參數攝動和干擾影響下的柔性臂系統的協調控制系統的魯棒控制，仍有很多有待解決的問題。

盡管對于柔性機械臂系統的研究還存在很多問題，但在工業、航天以及核工業等某些危險的作業領域，涉及到越來越多的柔性機械臂控制問題，對于柔性機械臂控制難點問題的挑戰和創新性研究仍值得廣大學者廣泛關注。

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