復雜地質曲面三維插值—逼近擬合構造方法

李明超，繆正建，劉 菲，王 剛

(1．天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300072;2．中國水電顧問集團成都勘測設計研究院，成都 610072)

1 前言

地質勘探結果大多反映在一些離散不規則分布的數據點上，為了通過這些離散數據建立起區域性連續的整體模型，需要利用插值和逼近的曲面處理方法［1，2］。曲面插值(surface interpolation)是嚴格通過給定的數據點來構造曲面，并根據原始數據點值來插補空白區的值;這類方法不改變原始數據點值。而曲面逼近(surface approximation)則是利用相對簡單的數學曲面來近似構造復雜的地學曲面，根據一定的數學準則，使所給出的數學曲面最大限度地逼近地質曲面;通過擬合處理的曲面，原始數據點一般有所改變，所以曲面逼近的結果往往會取得平滑的效果。曲面的插值與逼近統稱為曲面擬合(surface fitting)［3］。

在地質曲面構造中運用較多的插值和逼近方法包括按近點距離加權平均法、按方位取點加權法、雙線性插值法、移動曲面插值法、二元三點插值法、Kriging插值法和三次樣條函數擬合法、趨勢面擬合法、加權最小二乘擬合法等［4～9］。插值方法能保證構造曲面嚴格通過原始數據點集合，適用于均勻分布的數據點，但外推能力和唯一性較差［1］;地質工程師一般傾向于使用插值方法，這在二維環境下能夠有效地操作，但在三維環境下解決基于分布不均勻原始數據的復雜地質曲面構造時就會遇到較大的困難［6，9］。基于逼近思想的曲面擬合方法對原始數據點的分布沒有任何要求，且外推能力和唯一性均較強，并能夠保證曲面對原始數據點集合具有最佳逼近效果和很好的光順性［10］;但是直接采用逼近方法應用于分布不均勻原始數據點的復雜曲面擬合也存在兩點困難［3］，一是如何確定擬合曲面的控制網格頂點個數保證其滿足精度要求，二是如何保證所構造的逼近曲面的形狀能夠滿足實際需要。

由于自然界地質結構的復雜性，各種地質曲面的擬合構造方法始終是地質學家和計算機科學家關注的熱點問題，目前仍然缺乏完善的處理方法［11］。文章以水利水電工程為例，在分析多源地質數據特征的基礎上，針對曲面插值和逼近方法各自的優缺點，提出了插值—逼近相結合的復雜地質曲面擬合方法，以滿足工程區域三維地質建模精度高且存儲量小的要求［12］。

2 多源地質數據

在水利水電工程中，通過多種地質勘測方式如地質測繪、遙感、地質勘探等，得到了各種豐富多樣的地質數據，如地質點資料，遙感圖像，鉆孔、平硐及物探信息等，如圖1所示。同時，對這些原始數據加以解譯分析，可獲得相應的地層界線、斷層、褶皺等構造跡線以及平面構造地質圖、不同位置的橫/縱剖面圖和不同高程的平切圖等。

圖1 多源地質數據示例Fig．1 Examples of multi-source geological data

這些來源不同的數據在精度、分辨率、數量、質量等方面都存在較大的差異，為了使所有有效數據一起成為三維地質曲面擬合可利用的、可靠的、一致的信息，應采用統一的數據結構進行管理。因此，采用面向對象分類和系統的思想，將直接可用的鉆孔、平硐信息與解譯分析得到的剖面數據進行耦合處理［11］，按不同地層、斷層等對象進行自動分層和三維化，最后統一以點集合的數據結構進行存儲，供三維地質曲面擬合使用。圖2為某水電工程一個地質界面的點集合數據實例，圖中數據比較集中且分布均勻的區域是工程主要樞紐建筑物布置區域，而在其相關的周邊地區勘探分布較少且離散。

3 地質曲面的插值—逼近擬合構造

圖2 地層界面的多源數據集合Fig．2 Data set of a horizon boundary surface

根據上述分析可知，原始的工程地質勘探數據往往分布范圍較大且不均勻，單獨采用插值方法或者逼近方法都會遇到較大的困難，因此文章提出插值與逼近相結合的方法。在構造復雜地質曲面的過程中，充分考慮原始數據點的分布特點和曲面構造的精度要求，對于集中且均勻分布的原始數據，采用插值方法，使曲面嚴格通過這些數據點;對于分布離散不均勻的數據，若精度要求很高則采用插值方法進行加密，一般情況下采用逼近擬合方法，使曲面在給定精度下充分逼近原始數據。在水利水電工程壩區，)地質勘探數據集中且分布較均勻，其構造的地質曲面精度要求很高，這部分須采用插值方法;而在其相關的周邊地區，對精度要求不高，采用逼近方法是可行的。

3．1 NURBS 曲面技術

NURBS(Non-uniform rational B-splines，非均勻有理樣條曲線)技術是ISO(International Standard Organized，國際標準化組織)1991年頒布的STEP標準中自由型曲線曲面的唯一表示方法，它是在B樣條函數基礎上發展起來的，利用非均勻節點向量表達式來構造有理B樣條，它對標準的解析圖形(如圓錐曲線、二次曲面、旋轉曲面等)和自由型曲線曲面提供了統一的數學描述。隨著計算機輔助幾何設計(CAGD)的發展，NURBS技術有了快速的發展，已被廣泛應用于包括三維地質建模在內的工程實踐中［13］。雖然如此，但由于NURBS技術的復雜性、地質對象的錯綜復雜和所具有的不規則形態，阻礙了NURBS在三維工程地質中更多的應用。實際上，針對復雜地質體形態的無規律性變化，選擇NURBS技術進行水利水電工程三維地質建模與分析，具有節省存儲空間、計算機處理簡便易行、數據庫管理方便、保證空間唯一性和幾何不變性等優點，在地質表示方面有很高的應用價值。

給定一組(m+1)(n+1)的網格控制點Pij(0≤i≤m，0≤j≤n)的NURBS曲面可定義為:

式(1)中，wij為相應于控制點Pij的權因子;k、l為階數;Nki(u)(0≤i≤m)和Nlj(v)(0≤j≤n)分別是定義在u、v向節點矢量U={u0，…，um+k|ui≤ui+1，i=0，…，(m+k － 1)}和 V={v0，…，vn+l|vj≤ vj+1，j=0，…，(n+l－1)}上的 k、l階 B 樣條基函數;Sij(u，v)表示擬合的曲面段，u∈［ui，ui+1］，i= (k － 1)，…，m ，v ∈ ［vj，vj+1］，j=(l－1)，…，n。在實際工程中，一般 k、l取3基本上就可以滿足要求。

3．2 基于NURBS技術的插值—逼近擬合實現

以圖2中給定的數據點集合為例，設該地層面的原始數據集合為 D={ps，s=1，2，…，m}，其中分布密集均勻的子集為 D1={pi，i=1，2，…，n}，剩余分布不均勻的子集為 D2={pj，j=1，2，…，r1}和 D3={pk，k=1，2，…，r2}，這里 n+r1+r2=m，如圖3(a)所示。則基于NURBS技術的地質曲面插值—逼近擬合方法具體實現如下:

1)對于子集 D1，按照蒙皮法(skinning)［14］插值思想構造曲面，若曲面控制點為n，該方法的數學模型為:

式(2)中，X∈Rn，為曲面控制頂點構成的未知矢量;B∈Rn，為曲面集合D1及邊界條件構成的已知矢量;A∈Rn×Rn，為系數矩陣。

由式(2)可知，蒙皮法是一種基于插值思想的曲面構造方法，能夠保證曲面嚴格通過集合D1中的所有數據點。該方法使曲面在進行插值時順序地通過一系列截面曲線，從而很好地生成復雜的自由曲面。在NURBS蒙皮過程中，首先要求各截面曲線的拓撲性質應該一致，即都是開曲線或都是閉曲線;其次在蒙皮插值過程中，插值的方式將影響最終的結果，根據工程地質實際需要，一般選擇線性插值。圖3(b)為子集D1通過蒙皮插值得到的曲面S1。

2)對于子集D2和D3，則直接利用NURBS曲面技術采用反算法［15］進行擬合。為了滿足曲面的邊界約束條件(鄰接曲面邊界和區域邊界約束)，這里直接提取已構建曲面S1與子集D2、D3相鄰的邊界線加入子集D2、D3，同時根據研究區域將原始數據轉化為一系列u、v方向的曲線矢量，利用反算法求出各曲線矢量上的控制點。進而，基于設定精度和控制點數據運用分段NURBS函數進行逼近擬合，獲得按精度充分逼近子集D2、D3的擬合曲面S2、S3，如圖3(c)所示。這里曲面控制點的權值均設置為1(可進行調整)，曲面邊界公差為0．01，內部公差為0．1。

3)合并曲面S1和曲面S2、S3，由于構建S2、S3曲面的右邊界和左邊界數據均來自S1曲面，因此兩者能夠達到實際精度要求的縫合，最終得到完整的地質擬合曲面S，如圖3(d)所示，該圖對完整曲面進行了渲染表達，同時顯示了相應的原始數據集，以便進行對比調整。

圖3 基于NURBS技術的地質曲面插值—逼近擬合構造Fig．3 Interpolation-approximation fitting construction of geological surface based on NURBS technique

3．3 曲面分析與調整

在完成上述地質曲面的構造后，需要對其進行檢查分析與調整，以滿足實際精度要求和建模需要。這主要從以下兩個方面進行:

1)地質結構合理性和曲面幾何性檢查。即檢查所擬合的地質結構面整體變化趨勢是否合理、在幾何結構連續性及拓撲關系上是否正確。若發現不合理或錯誤之處，可快速方便地對其進行局部調整(NURBS曲面局部調整不會影響其他部位)或重新構造。

2)原始數據的精度分析。將所有原始數據與構造曲面進行偏差分析，以原始數據點與曲面間距離為變量，求其標準偏差σ(m):

式(3)中，n為數據點數;di為數據點i與構造曲面間的距離。

若σ小于控制誤差ε，則曲面滿足要求，否則需要對曲面偏差較大處按原始數據進行局部調整，直到達到誤差要求。對于上述曲面，其原始數據點數n=597，控制誤差 ε =0．5 m，根據式(3)求得標準偏差值σ=0．17 m，這主要是由逼近擬合曲面引起的誤差，小于控制誤差，精度已足以滿足實際需要。

4 結語

文章針對工程地質多源數據的分布和地質曲面的特征，充分考慮了地質精度要求、曲面連續性和數據存儲量等方面的均衡，提出并實現了基于NURBS技術的復雜地質曲面插值—逼近擬合構造方法。該方法對于工程關鍵區域集中且均勻分布的原始數據，采用NURBS蒙皮插值方法，使曲面嚴格通過這些數據點;對于周邊區域分布離散的數據，采用逼近擬合方法，使曲面在給定精度下充分逼近原始數據;并可通過地質結構合理性檢查、曲面幾何性和原始數據精度分析對構造曲面進行檢查分析和調整。實例研究表明，該方法所構造的地質曲面能滿足地質工程師的實際需要，并能為進一步的三維地質建模提供基礎，效果良好。

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