考慮個體移動和局域控制的SIR傳染模型

趙敬，方義，夏承遺

(1.天津理工大學天津市智能計算與軟件新技術重點實驗室，天津 300384;2.天津理工大學教育部計算機視覺與系統重點實驗室，天津 300384)

考慮個體移動和局域控制的SIR傳染模型

趙敬1，2，方義1，2，夏承遺1，2

(1.天津理工大學天津市智能計算與軟件新技術重點實驗室，天津 300384;2.天津理工大學教育部計算機視覺與系統重點實驗室，天津 300384)

為了能夠有效地對疾病傳播進行建模和分析，提出了帶有個體移動性的考慮局部感染程度和局部控制程度的SIR模型，引入了感染半徑和控制半徑的概念.在二維平面空間的基礎上，首先介紹了帶有個體運動的模型，然后將此模型與改進的SIR模型結合，通過大量的數值仿真分析感染半徑和控制半徑對疾病傳播的影響;同時，還利用數值仿真研究了移動個體密度和個體運動方向對疾病傳播的影響;此外，基于改進的SIR模型提出了一些能夠抑制疾病傳播的直觀控制策略，如對感染個體進行隔離、控制以及對人群進行疏散等.

個體移動;SIR模型;感染半徑;控制半徑

縱觀人類社會的發展，傳染病一直持續不斷地阻礙著社會發展的進程，從早期的天花、麻疹，到近年來的艾滋病、非典型性肺炎(SARS)以及禽流感，每一次大爆發都給人們的生命財產帶來巨大的損失［1－3］.一方面，人類社會的不斷發展和完善促進了公共衛生體系的不斷完善，從而降低了傳染病的威脅;另一方面，社會快速發展的需求使得人力、物力資源流動日益頻繁，從而加快了傳染病的傳播速度，增大了傳染病的傳播風險.在經歷了一次次的考驗之后，人們也不得不考慮:為什么在醫療水平如此發達的今天，傳染病還會迅速傳播?為什么在采取了病毒預防和控制措施后，計算機病毒還能在因特網上肆意地蔓延?經典的流行病學的研究將系統中所有個體劃分成有限數目的倉室(如易感個體Susceptible、感染個體 Infective、免疫個體 Removed 等)，提出所謂的倉室模型(如SI、SIS和SIR模型等)，然后利用常微分方程組來建模和分析，雖然取得了驕人的成就，但仍然無法解決上述問題和困惑［4］.近年來，復雜網絡理論的進展為傳染病動力學的分析和研究提供了新的理論、工具和手段，使得復雜網絡上的流行病傳播成為生命科學、系統生物學、數理科學、信息科學與技術等領域的一個熱點研究問題［5－7］.

基于復雜網絡的傳播動力學研究，假定每個節點代表一個獨立的個體，節點之間的連線既代表兩者之間有聯系(熟人)，也代表了疾病傳播的途徑，即兩者之間如果有一個感染者，那么和它有連線的另一個很可能會被感染.Pastor－Satorras等人［8］利用平均場理論研究了均勻網絡和非均勻網絡上的疾病傳播行為，基于SIS模型他們發現均勻網絡上疾病傳播行為與經典傳染模型類似，存在固定的與網絡規模無關的正臨界值(λc＞0);但是對于非均勻網絡，在網絡規模趨于無窮時(N→∞)感染臨界值趨于0(λc→0)，這一突破性的進展改變了經典傳染病動力學研究中許多固有的結論，激發了大量相關的研究［6－7，9－14］.

但是，目前的大多數研究仍是基于熟人之間的聯系才可以傳播，即假定網絡結構固定不變.而實際生活之中個體之間不管是有連接(熟人)，還是無連接(陌生人)都是不確定的，熟人在疾病傳播期間可能不相遇，陌生人在疾病傳播期間可能有接觸，例如商場、火車站等公共場所的服務人員每天可能接觸成千上百的陌生人，他們原本都是陌生人，互相沒有聯系，但是在公共場所的某段時間內他們之間就會建立起新的連接.熟人之間的固定聯系只能說明二者之間有疾病傳染的可能性，疾病在人群中的傳播不能僅僅考慮個體之間原有固定的聯系，還應該考慮個體在物理空間的運動范圍.因此，在真實網絡中，個體之間的連接模式不斷變化，研究復雜變化環境下的疾病傳播行為具有重要的現實意義.文獻［15］基于二維規則晶格，引入長程運動，允許個體以特定的概率pj在晶格上隨機移動，建模個體在社會空間上的運動以及移動終端設備在通信網絡中的移動，使得疾病在系統中的傳播行為更加符合真實情況.文獻［16］考慮了更一般的二維平面空間，假定個體在一個圓形的鄰域范圍內隨機運動，并允許以特定的概率作長程跳躍，已感染疾病的個體可以感染給定半徑內的易感個體.在此基礎上，文獻［17］考慮了個體運動的長程關聯性.但是，上述研究也忽略了一些影響因素，例如在面臨傳染病爆發時，公共衛生部門會進行一定的干預和控制，會對感染個體周圍進行適當的隔離措施，從而抑制疾病的進一步傳播.本文擬提出一個同時考慮個體運動和局域控制策略的SIR模型，通過大量的數值仿真分析感染范圍和接種疫苗范圍對感染個體密度的影響，以建模分析公共衛生部門的控制策略的作用和影響.

1 個體運動模型

假定個體運動模型如圖1所示，黑色的圓圈代表已感染的個體，白色的代表其他狀態的個體，初始時，將N個智能體隨機分配到L×L的滿足周期邊界條件的二維平面空間中，此時平面空間中的個體密度是ρ=N/L2.令vi和 θi(－π≤θ≤π )為第i個(i=1，2，…，N)個體的運動速度和方向，其中vi≈(vcos θi，vsin θi)即個體可以在二維平面空間上隨機游走，方向和速度都是隨機分配的.此外，個體還可以以一定的概率pj作(0≤pj≤1)長程運動.

圖1 個體運動模型Fig.1 Individual motion’s model

不同狀態的個體運動形式也會有差別:1)感染者因為有傳染性而被限制只能做局部運動，不能做長程運動，即pj=0;而其他狀態的個體既可以做局部運動也可以做長程運動.2)未感染者對感染者有“趨利避害”的自適應性，若感染者在健康者的感染范圍內，那么健康個體的運動方向θ不再是360°，本文假設未感染個體背離染病個體的方向在180°范圍內隨機運動，如圖2所示.

圖2 個體移動方向示意Fig.2 Direction of individual motion

此外，考慮個體的“趨利避害”效應，進而會遠離感染者，例如在圖2中給出了個體移動方向的示意.當在一個未感染者(S，R)的一定范圍內(例如r1=2)有感染者I，那么這個未感染者會按照背離感染者的方向(α=180°)移動.

2 考慮局域控制的改進SIR模型

在本文介紹的SIR模型中，假定個體可以處于5種狀態，那么就可以把人群分為5類，如圖3所示，它們分別是:易感染人群(S)、潛伏個體(E)、染病人群(I)、康復人群(R)和接種人群(V).另外，假定疾病傳播過程中存在2個作用網絡:傳播網絡和控制網絡，控制網絡是感染網絡的子集，分別用感染半徑(r1)和控制半徑(r2)來定量刻畫這2個網絡，然后從微觀上分析局部疾病傳播程度和疾病控制程度對整體疾病傳播的影響.

圖3 改進的SIR狀態Fig.3 The status of the improved SIR model

在圖3所示模型中引入感染半徑r1和控制半徑r2的概念，如圖4所示.

圖4 感染半徑r1和控制半徑r2Fig.4 Infection radius r1and control radius r2

其中，黑色圓圈代表染病個體I，陰影圓圈代表接種個體V，白色圓圈代表其他狀態的個體.易感染人群S不能感染其他人，但是有可能會被感染;潛伏個體E是已經染病且具有傳染其他個體能力的，但是沒有患病癥狀的人;染病人群I呈現患病癥狀且具有傳染性，以概率β把疾病傳染給以r1為半徑的圓形范圍內的易感染人群S，以概率γ被治愈進入康復狀態R;另外，染病的個體I觸發相應的控制動作，使其周圍以r2為半徑的圓形范圍內的所有個體(不包括R狀態個體)以概率μ被接種.

3 數值仿真結果

本節利用Matlab對改進的SIR模型進行數值分析，給出了一些典型參數條件下的仿真結果，以定量分析模型參數對傳播行為的影響.在仿真實驗中，模型參數設置如下:移動個體總數為N=10 000，感染率 β=0.1，治愈率 γ=0.1，接種率 μ=0.1，移動個體密度ρ=0.1，移動個體的速度模v=0.1，個體長程運動的概率pj=0.1.

圖5給出了感染半徑對系統中感染密度的影響，其中縱軸代表了感染個體的密度，橫軸代表了迭代時間步(可代表任意時間單位).從圖5中可以清楚地看出，感染的個體數最終趨于0，所有的個體都會進入到無病的狀態(R，V)，但是在圖5(a)中可以看出，在控制半徑相同的情況下，當感染半徑較小時(如r1=1或r1=2)，感染個體的密度從初始密度直接下降，而當感染半徑r1=3時，隨著時間的推移，感染密度會先增加，然后逐漸緩慢下降，說明疾病在人群中大規模流行開來.當控制半徑r2越大即接種疫苗的范圍越大，則疾病會更快被抑制住，患病的人數也會更少.

圖5 感染半徑對感染密度的影響Fig.5 Influence of infection radius on infective density

圖6給出了控制半徑r2對感染密度的影響.在感染半徑(如r1分別為1和2時)較小的情況下，即使控制半徑r2設為1時，感染密度也會從初始感染密度直接下降，代表疾病不會大規模流行開來.當感染半徑(如r1分別為3時)較大的情況下，即使控制半徑r2設為3時，感染密度也會從初始感染密度先增加，然后再緩慢下降到0，即疾病在人群中大規模流行開來.總之，從圖6(a)～(c)可以看出，感染半徑越大即疾病的傳染范圍越大則疾病在人群中的傳播時間越長，患病的人數也會越大.此外，圖6(c)圖可以看出，當感染半徑較大(即疾病的感染范圍比較大)時，即使大范圍的接種疫苗疫情也不會得到控制，這就提示人們在面臨較高感染風險時，對高傳染性個體進行隔離和控制，限制其運動，減小其感染范圍(半徑)是降低其大規模傳播的一個有效手段.

圖6 控制半徑對感染密度的影響Fig.6 Influence of control radius on infective density

圖7表明了移動個體密度對感染個體變化曲線的影響.在圖7中，模型參數與圖5和6中設置基本相同，只是感染半徑和接種半徑均都設為2，即r1=r2=2.‘o’、‘□’、‘+’、‘＊—’4 條曲線分別代表了移動個體密度ρ為0.1、0.2、0.3、0.5的時候感染人群變化曲線，當ρ=0.1時，感染密度從0.1開始逐漸下降到0，疾病沒有流行開來;當ρ=0.2，0.3，0.5時，隨著移動個體密度不斷加大，感染密度從初值0.1開始先是增加，到達一個峰值后逐漸減小，最終趨于0，代表了疾病在人群中大規模的擴散.這也提示了在面臨傳染病爆發時，要對人群進行疏散，降低人群密度，從而到達抑制疾病大規模的傳播.

在圖8中，給出了個體移動方向對感染密度的影響.同樣，個體總數N=10 000，感染半徑和接種半徑均為2，即r1=r2=2，其他參數設置與前面保持一致.只是未感染者(包括S和R狀態的個體)按照圖2中所示的“趨利避害”性限制其運動方向，即當一個未感染者(S，R)的一定范圍內(例如r1=2)有感染者I，那么這個未感染者會背離感染者的方向(α=180°)移動.在圖8中，實線和虛線分別代表了沒有控制個體移動方向(α=360°)和控制個體移動方向(α=180°)2種情況下的感染個體密度的變化情況.從圖8中可以看到，虛線比實線更快地下降到0，是因為當未感染者背離感染者的時候，相當于減小了個體被感染的風險，縮短了疾病傳播的時間，這與人們的基本認識是一致的.

圖7 移動個體密度對感染人群的影響Fig.7 Influence of the density of mobile individuals on infective population

圖8 個體移動方向對感染群體的影響Fig.8 Influence of the direction of individual motion on infective population

4 結束語

傳染病動力學是對真實傳染病進行建模、預測和控制的有效理論和方法，在傳染性疾病傳播規律和預防接種等方面有著成功的應用，本文將個體運動和局部狀態與SIR模型結合，提出了改進的SIR疾病傳播模型，研究了局域控制對流行疾病傳播的影響.每種疾病的感染范圍不同，在模型中體現為r1不同，選擇接種疫苗的人群范圍不同在模型中體現在r2不同，在一定的條件下討論了r1和r2分別對整體疾病傳播的影響.結果顯示當疾病的感染范圍較小時，只要進行小范圍的接種疫苗或控制其隨機運動時，即可實現有效的控制;對于感染范圍較大即感染力強的疾病，必須采取大范圍的接種才能有效地抑制疾病的傳播，減少被感染的人數.這就提示人們，在現實生活中，為了較快地抑制疾病的傳播，可以采取隔離具有高傳染性的個體，限制其運動范圍，減小其感染范圍的措施.在接種疫苗的時候可以根據疾病感染范圍的大小，權衡接種疫苗范圍和數量，減小控制疾病傳播的成本.

此外，還分析了個體在二維平面空間中只限制染病個體的運動，使其只做局部運動，而其他個體執行完全隨機運動時，和限制染病個體方向的時候疾病傳播程度，實驗結果表明了限制個體移動的方向可以更快抑制疾病的傳播.

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趙敬，女，1986年生，碩士研究生，主要研究方向為復雜網絡病毒傳播.

方義，男，1988年生，碩士研究生，主要研究方向為復雜網絡病毒傳播.

夏承遺，男，1976生，副教授，博士，主要研究方向為復雜系統與復雜網絡建模分析、傳播動力學等.目前主持國家自然科學基金1項，省部級科研項目1項，其他科技計劃項目1項.獲天津市科技進步三等獎1項，發表學術論文近20篇，其中被SCI檢索7篇.

A susceptible-infected-removed model considering individual mobility and local control

ZHAO Jing1，2，FANG Yi1，2，XIA Chengyi1，2
(1.Tianjin Key Laboratory of Intelligent Computing and Novel Software Technology，Tianjin University of Technology，Tianjin 300384，China;2.Key Laboratory of Computer Vision and Systems(Ministry of Education)，Tianjin University of Technology，Tianjin 300384，China)

In order to effectively analyze and model the spread of infectious diseases，this paper proposed a novel Susceptible－Infected－Removed(SIR)model considering mobile individuals and local control in which the concept of the infection radius and control radius were introduced.Based on the two－dimensional space，the individual motion model and improved SIR model were considered first，and then large－scale numerical simulation was used to explore the influence of the infection radius and control radius on the behavior of disease propagation.At the same time，the paper also investigated the impact of population density and the direction of mobile agents in relation to the spread of disease.Furthermore，some intuitive control strategies were presented to inhibit the diffusion of epidemics on the basis of the proposed novel SIR model;for instance，separating and controlling the infective individual and evacuating high－density populations.

individual motion;SIR model;infection radius;control radius

TP18;O231.5

A

1673－4785(2011)06－0515－05

10.3969/j.issn.1673－4785.2011.06.006

2011－09－01.

國家自然科學基金資助項目(60904063);天津市應用基礎及前沿技術研究計劃資助項目(11JCYBJC06600);天津市高等學校科技發展基金資助項目(20090813);國家大學生創新實驗計劃資助項目(101006019).

夏承遺.E－mail:xialooking@163.com.