隨機粗糙面電磁散射特性的研究方法

曹金燕

（太原理工大學，山西 太原 030024）

波在介質中傳播常會遇到粗糙介質表面，這些介質表面的粗糙起伏相對于入射波的波長不能忽略，此時除了鏡面方向的反射外，還會在其他方向產生散射。由于入射波與目標、背景的相互作用產生的散射場不僅能反映目標和背景的特征信息，而且也可用于對目標的識別和隱藏。近幾十年來，隨機粗糙表面電磁散射理論在光學、聲學、電磁學、醫學等領域得到了廣泛的應用和研究，并且隨著激光雷達、制導、引信、通訊及激光武器在軍事上的應用，加速了對激光目標特性的理論與實驗研究。由此而發展的研究方法也多種多樣，值得后學者學習與借鑒。

1 粗糙面散射基本理論

粗糙面的電磁散射問題本質上是在一定的邊界條件下求解Maxwell方程。在解決實際問題時，少數時候是直接求解Maxwell方程，而在大多數情況下直接求解的是由Maxwell方程結合邊界條件導出的積分方程。即一種是簡化積分方程，獲得表面切向場或等效表面電流進而求解遠區散射場，稱為近似方法；另一種是從散射場的積分方程出發，利用數值模擬的方法直接求解，稱為數值方法。因此，電磁場的積分方程是粗糙面電磁散射問題的基本理論依據。

對于具有時間因子eiwt的時諧電磁波在均勻介質空間中傳播時其電磁場E、H分別滿足矢量方程：

圖1 介質散射體的散射情況

（3）～（6）式稱為 Stratton-Chu 積分公式，是求解電、磁散射常用的公式。其意義是：表面外任意點可用表面上各點的本地場來表示。

其中，η=（μ/ε）1/2為波阻抗。其邊界場的積分方程為

上式稱為電場的積分方程（EFIE）。

上式稱為磁場的積分方程(MFIE)。

2 粗糙面電磁散射特性研究方法

2.1 近似法

2.1.1 基爾霍夫近似(KA)

基爾霍夫近似就是在粗糙表面的任何一點都近似認為產生平面界面反射，該點的總場強由過這一點的切平面上的總場代入遠區散射場的積分表示式（10）而得到。

由于基爾霍夫近似中是用切平面代替曲面，所以在使用基爾霍夫近似時，就必須滿足切平面的兩個條件，用數學表達式表示為：

所以基爾霍夫近似在小于30°～40°的入射角是有效的。

采用這種假設后，簡化了遠場散射積分公式，然而要得到解析解仍是相當困難。這種方法缺點是不能反映極化、退極化特性，也不適合于掠入射情況。

目前基爾霍夫近似在很大程度上得到了修正與應用,如引入遮蔽函數、討論多次散射等。

2.1.2 微擾法（SPM）

微擾法是20世紀70年代后期發展起來的處理粗糙面散射的經典方法之一。這一方法認為粗糙面被入射波照射時，散射場和透射場可以用遠離表面傳播的未知振幅的平面波的疊加來表示。這種表示通常稱為Rayleigh假設，并受固有誤差的影響。未知振幅通過求解表面切向電磁場每階微擾滿足的邊界條件及微分關系得到。可以說微擾法是一個解積分方程的漸近方法。

應當指出的是，對微擾法來說，不存在很精確的條件，不同的研究者在研究各種特定的表面時，可以得出一些不同的條件。

微擾法的優點是其結果能反應極化及退極化特性，在任意散射角都是有效的，因此適用于掠入射情況。

2.1.3 二尺度方法(TS)

“二尺度”方法就是當一隨機粗糙面由兩種粗糙度構成，一種滿足微擾方法的假設，另一種滿足基爾霍夫近似假設，而將這兩種方法結合起來構成的一種散射模型。

對于一些由自然力造成的粗糙表面，如海面等,可以近似認為是在一個大粗糙面上附加一些微粗糙面。在一級近似下，可以簡單把微粗糙面每單位面積平均非相干散截面疊加在大粗糙表面的非相干截面上。大粗糙面的散射功率被證明是產生于很小法平面，這些小的法平面按光學原理產生徑向反射。微粗糙面產生的功率與粗糙度譜成正比，其機理完全不同于大粗糙尺度的散射。因此，由于兩種尺度的散射功率是不相關的，他們可以迭加在一起。這種近似滿足斜度不太大的表面。

以往的結果已經表明，單獨大粗糙度表面產生的后向功率在垂直方向很強，但接近于掠射時迅速下降。然而，微粗糙表面在垂直方向附近散射強度很小，但隨著接近掠射，強度幾乎不下降。因此，復合粗糙表面的散射，在近垂直入射的區域，用徑向反射來解釋，即大粗糙尺度散射。而近掠射區由微粗糙尺度散射來支配。

2.1.4 消光定理法

消光定理法是把Ewald-Oseen消光定理作為一種邊界條件和微擾理論相結合來求解散射場的近似解。首先把表面起伏高度h作為小參量將表面電磁場展開成h的冪級數，然后，由于求解空間散射場和透射場滿足Helmholtz方程，可將他們用平面波疊加來表示，最后比較各階小量前的系數從而獲得透射場與散射場各階近似。

這種方法優點是:沒有作任何物理近似假設，如Rayleigh假設，沒有對表面斜度作任何限制，因而求解精度高，使用范圍廣，尤其是適用于掠射情況。

飛行載荷實測是驗證飛機結構完整性、完成新機定型必須進行的試驗項目。飛機載荷測量主要方法有：應變法、壓力法及其他成熟的方法，還可以使用加速度計、熱測試設備及外掛外載荷測試。壓力測量法不方便實施且耗費較高，通常采用應變電橋測量法來測量飛行載荷[1]。應變法主要思想是通過地面校準試驗來建立應變電橋與加載載荷之間的對應關系(即載荷模型)，飛行中將實測應變代入載荷模型，即可得到飛行實測載荷。

2.1.5 全波法

全波法是E.Bahar在20世紀50年代提出的，經過幾十年的發展己構成了一種系統地研究電磁散射的理論方法。這一方法把散射場表示為輻射場、側向場及表面場之和，每個成分都以一般Fourier變換形式給出，其幅值表示為前向和后向之和，這種散射場的表示要求在粗糙面上滿足嚴格的邊界條件。由麥可斯韋方程出發，利用Fourier變換表示的基函數的正交性和邊界條件可以獲得一組關于前向和后向波幅的藕合差分方程。最終解的有效范圍依賴于求解這組藕合方程的假設。全波法所獲得的結果包含了作為特殊情況基爾霍夫近似與微擾法一級近似結果，為了使能量守恒，全波法所獲得的平均功率表示是粗糙面散射理論的一個很重要補充。

全波法的優點是表面不受高度、斜度的限制。

2.1.6 相位微擾法

相位微擾法是由Winebrenner和Ishinaryu提出的，它可以應用于對于任意入射波長而言粗糙度連續變化的粗糙面的散射問題。這一方法與非均勻介質波傳播中的Rytov方法類似，其本質是邊界上的單極子源密度以新的函數指數eψ的形式表示，這種函數按不同級次ψ=ψ1+ψ2+···展開。對不同高度水平面的一級近似公式是嚴格的。因此，對Rayleigh參數不能作為小參數。另外，相位微擾法散射系數在適當的限制下可轉化為基爾霍夫方法。

相位微擾法的優點是它使得平均散射強度明確分離為鏡向分量和漫反射分量。但該方法在掠入射情況下，誤差較大。

2.2 數值法

2.2.1 矩量法（MOM）

矩量法是計算電磁散射問題最常用的一種數值方法。直接從積分方程出發，利用矩量法可以研究強高度起伏、大斜率粗糙面，獲得表面場的精確解。由此而獲得的遠區散射場及散射功率沒有附加任何簡化假設。這一方法主要優點是它所獲得的散射場是精確的，可用于驗證其它近似方法的有效范圍。然而，由于需要矩陣求逆計算，受計算機內存的限制，僅應用于小尺度粗糙面和中等入射角。

2.2.2 時域有限差分方法（FDTD）

FDTD方法是Yee在1966年首先提出來的在時域計算目標電磁散射的一種數值方法。從依賴時間變量的麥克斯韋方程出發，在電場和磁場各分量交叉設置的網格空間中，利用具有二階精度的中心差分格式把各場分量滿足的微分方程轉化為差分方程，按時間交替計算電磁場。

FDTD方法的優點是：①占用計算機的存儲空間小，若進行并行計算，更加提高了FDTD解決實際復雜問題的能力和速度；②構成粗糙面的各種復雜的邊界條件能自動地得到滿足，這為解決非均勻介質和結構復雜系統中的電磁問題提供了極大的方便；③由于直接求解的是時域Maxwell方程，所以不僅可以計算時諧連續波的散射，而且可以計算非時諧脈沖波的散射，當然也可用于穩態電磁場的計算。顯然，隨著高速電子數字計算機的發展，FDTD方法的應用范圍和解決實際問題的潛力一定會不斷的得到完善和發展。

2.2.3 前后向迭代法（FBM）

以MoM為基礎，并設法減少計算量的快速計算方法得到了進一步的研究發展。其中一種新的數值方法是前后向迭代法(Forward Backward Method，FBM)。該方法將粗糙表面每個離散單元的感應電流對散射場的貢獻分為前向與后向兩個部分：由入射電磁波和在該接收場單元前面的源單元感應電流共同產生的前向貢獻，以及在該接收場單元后面的源單元感應電流產生的后向貢獻。首先通過整個粗糙面計算得到前向貢獻，然后用來確定后向貢獻，通過多次迭代直到收斂為止。這種方法具有很快的收斂性，使得計算速度加快，其計算量為O（N2）。因此FBM適用于快速模擬計算包含低掠角入射時粗糙表面的散射問題。但是EFIE數值計算的不穩定性會導致該方法的收斂速度較慢。

2.2.4 波束模擬法

當寬波束入射或掠入射時，由于被照射的面積很大，利用矩量方法直接求解時，要求很大矩陣求逆，超出計算機內存，使計算無法進行。Sallard M和Maystre提出波束模擬方法(BSM)，即把一個寬波束分解成許多窄波束，所有窄波束對散射面的散射場就等于寬波束對散射面的散射場。它可以用于寬波束入射或掠入射的粗糙面散射問題，減少所需計算機內存。然而使用這一方法必要前提是表面相互影響的兩點間隔必須足夠的小，這樣合成表面的解可以通過每一個子表面相關迭加來獲得。這就要求入射到子表面的誘導電流需要限制在被照射的區域，只有這一條件嚴格的滿足，誘導電流的線性迭加才可以嚴格產生散射場。除上述方法外還有有限元法、小斜率近似方法等。

3 結論

近似方法雖簡單，但因其作了一定的近似，因此有一定的適用范圍。數值方法較精確，但其計算復雜，有時即使是使用高效的計算機也很難實現。人們在實際中往往采用近似方法計算粗糙面的電磁散射，而采用數值方法研究近似方法的有效性。

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