兩種坐標系轉換計算方法的比較*

潘國榮 周躍寅

(1)同濟大學測量與國土信息工程系，上海200092) 2)現代工程測量國家測繪局重點實驗室，上海200092

兩種坐標系轉換計算方法的比較*

潘國榮1，2)周躍寅1)

(
1)同濟大學測量與國土信息工程系，上海200092) 2)現代工程測量國家測繪局重點實驗室，上海200092

出于對目前常用的兩種坐標系轉換模型的學習和理解，對原本適合于小角度坐標轉換的布爾莎模型進行了拓展，使其適合于任意角度坐標轉換。將改進后的7參數布爾莎模型與13參數的大角度模型，結合盾構三棱鏡法解算盾首盾尾坐標的工程實例，通過大旋轉角和小旋轉角兩組數據以及編程實現兩者的對比，并得出了結論。

多余觀測;迭代平差解算;坐標轉換;盾構坐標;布爾莎模型

Abstract For the purpose of the research on the two current main methods of coordinate transformation，I expanded the Burse transformation model which was only fit for narrow angle to fit any angle transformation.Improved Burse transformation model of 7 parameters and 13 parameters transformation model are studied.Associating an example of the shield calculating the coordinate by the mean of three prism calculation，We did the comparison and drew a conclusion through the two sets of data including wide-angle data and narrow-angle data and programming.

Key words:redundant observation;iteration adjustment;coordinate transfer;coordinate of shield;Burse transformation model

1 前言

坐標系轉換在測量科學中是普遍存在的需求，無論是攝影測量的像空間坐標系到設站坐標系的轉化，還是GPS解算基線換算到獨立坐標系，或者在盾構自動導向中三棱鏡法解算盾首盾尾坐標中都需要用到坐標系轉換。目前，關于坐標轉換理論大致可分為7參數的模型［1，2］與13參數模型［3］，本文將分析比較這兩種模型使用過程中的區別與特點，并通過編程加以實現對比。

2 數學模型

空間中同一點在兩個坐標系中具有兩套不同的坐標值(圖1)。假如現有n個點，其在兩個坐標系中的三維坐標值已知，在o-xyz中的坐標為(xiyizi)T，在0'-x'y'z'中的坐標為(x'i)T(i=1，2，…，n)。

圖1 兩個不同坐標系Fig.1Two different coordinate systems

2.1 七參數模型

在七參數模型中，公共點之間的關系表示為:

式中，(xyz)T為兩坐標系間的平移量，R(α)R00012(β)R3(γ)為3個旋轉矩陣的乘積，分別繞X軸旋轉α，繞Y軸旋轉β，繞Z軸旋轉γ，μ為尺度參數，定義0'-x'y'z'為起始坐標系，0-xyz為目標坐標系，其中:

需要特別指出的是:由于布爾莎模型對式(2)中的三角函數作了近似處理，所以在應用上受到了限制，只能適合于小角度的坐標轉換。

本文對式(2)不作近似處理，而在構成誤差方程進行平差解算時，采取對式(1)在參數近似值處泰勒展開進行線性化，如下:

將每次計算出的參數改正值(δx δy δz δμ δα δβ δγ)T加上上次計算時的參數近似值x0、y0、z0、μ0、α0、β0、γ0的和，作為本次參數近似值代入，第一次解算的近似值都設定為0，根據間接平差原理，

權陣P為單位陣，可以不斷迭代解出新的參數改正值，直到解算出的δx、δy、δz、δμ都小于10－5而且δα、δβ、δγ都小于10－7為止。

2.2 十三參數模型

與7參數模型類似，13參數的思路是將7參數模型中R1(α)R2(β)R3(γ)3個相乘的旋轉矩陣用R陣代替，R陣中包含有9個參數都設為未知參數a1、a2、a3、b1、b2、b3、c1、c2、c3，再加上一個尺度參數μ和3個平移參數x0、y0、z0一共是13個參數。

但是我們知道R陣是由R1(α)R2(β)R3(γ)3個矩陣相乘得來的，其中僅有3個參數是互相獨立的，現在設定了9個參數，則必定有6個條件方程來約束其余的6個非獨立參數。由于此R陣為正交矩陣，則必定存在如下條件:

因此可以用附有條件的間接平差法來解算，仍然需要通過求微分將誤差方程線性化:

3 工程實驗

在地下工程自動導向理論中，尤其是地鐵盾構的精密定位，通常采取3棱鏡方法［4］，即在盾構未開挖之前，用得到的3個棱鏡的標定坐標，解算出開挖過程中盾首盾尾的坐標，并根據設計位置得出其偏差量。

為對比兩種坐標系轉換效果，分別以兩坐標系間大旋轉角和小旋轉角為區別采集了兩組數據，每組數據都采用3個公共點，7參數模型中，觀測方程n=9，未知參數t=7，多余觀測數r=2;13參數模型中，誤差方程+條件方程一共有15個方程，未知參數為13個，則多余觀測數r仍為2。

以上海某條在建地鐵盾構項目數據為例進行分析。兩組棱鏡的坐標位置如圖2所示。3個棱鏡在起始坐標系和目標坐標系中的坐標值分別為表1與表2所示。

圖2 采集數據大致位置Fig.2Approximate location of collected data

經過編程解算，結果顯示:7參數模型和13參數模型解算出的平移參數和尺度參數在10－6級以上，分別解算出的R陣9個元素間在10－10級上都完全相同，即在指定限差內，小角度坐標系轉換和大角度坐標系轉換迭代解算出的轉換參數幾乎完全一致，單位權中誤差的解算按σ0=計算。以下是小角度坐標系轉換參數和大角度轉換參數結果，由于兩種模型解算出的結果完全一樣，因此只列出一個結果(表3及表4)。

由于所采集的數據來自盾構施工線路上的兩個不同的位置，行進路線基本是在XOY平面上繞Z軸

表1 小角度坐標系轉換的坐標值(單位:m)Tab.1Coordinates of coordinate transfer in narrow angle(unit:m)

表2 大角度坐標系轉換的坐標值(單位:m)Tab.2Coordinates of coordinate transfer in wide angle(unit:m)

表3 轉換參數解算結果Tab.3Results of transfer parameter solution

表4 兩坐標系間的旋轉角度Tab.4Rotation angle between two coordinate systems

旋轉，所以繞X軸和Y軸旋轉的角度很小且接近，而區別則主要體現在繞Z軸的旋轉角度γ上。旋轉角度也可以從R陣看出，若旋轉角度都很小，則旋轉陣R趨向于單位陣，即對角線上的元素趨向于1，其余元素趨向于零。以X軸旋轉角α為例，當旋轉角度α－sin α＜ε，ε為某一限差小量，即滿足在允許ε限差下有sinα≈α，cosα≈1，再由公式(2)中的3個旋轉矩陣連乘得到:

R=R1(α)R2(β)R3(γ)=

γ=0.000 208 545 7＜0.000 5，則可用布爾莎模型解算，表5列出了小角度中，利用7參數模型、13參數模型與布爾莎模型解算出的參數，從起始坐標系到目標坐標系進行坐標轉換的結果。

如果允許α與sinα之差在0.000 5弧度以內認為是相同的，則可利用式(13)中約等號右端的近似R陣列立誤差方程，這便是布爾莎模型的思路，可看作是滿足特定條件下的簡化方程，本例小角度數據中的最大角γ滿足γ－sin

表5 利用解出的參數進行坐標轉化結果(單位:m)Tab.5Results from coordinate transfer by using calculated parameters(unit:m)

從表5可見，解算出的參數完全相同，僅迭代次數略有差別(表6)。

表6 兩種模型的迭代次數Tab.6Iteration times with the two models

若采用相同的數據，在迭代收斂之前，迭代相同次數時7參數與13參數解算的結果如表7和表8所示。

可見，7參數模型在相同條件下能更快趨近最終結果。需要注意的是，如果迭代解算的初始值不同，會導致解算出的參數不一致(主要影響尺度參數和旋轉參數)，例如之前解算出的μ和R在改變迭代初值后，會得到一組新的μ'和R'，這些解算出的角度參數和尺度參數會同時不同，但都會在坐標轉換最終結果不變的大前提下相互間自適應而同時改變。例如，會在改變迭代初值時出現新解出的μ'滿足1+μ'=－(1+μ)，并且R'=－R，而平移參數卻不會改變。可以看出，利用新的解算參數，從起始坐標系下的坐標推算到目標坐標系下的坐標，其結果是與利用之前的解算參數計算結果完全相同。

表7 小角度兩種模型迭代4次時的解算結果Tab.7Results from the iteration 4 times in narrow angle with two models

表8 大角度兩種模型迭代6次時的解算結果Tab.8Results from the iteration 6 times in wide angle with two models

4 結論

兩種參數模型解算過程中迭代次數不同的原因，主要是由于7參數模型是用多余兩個方程平差解算7個參數，而13參數模型同樣是利用多余兩個方程卻平差解算13個參數，多余觀測數所占總的方程比例7參數模型比13參數模型占優。

總體來說，無論是7參數模型還是13參數模型，都可以解決任意角度坐標系轉換的問題，7參數模型參數少，但線性方程不好列;13參數模型線性方程比較容易列出，但參數過多，計算時內存占用更大，不如7參數效率高。

1王解先，季凱敏.工業測量擬合［M］.北京:測繪出版社，2008.(Wang Jiexian and Ji Kaimin.Industrial surveying fitting［M］.Beijing:Surveying and Mapping Press，2008)

2張宏.布爾莎－沃爾夫轉換模型的幾何證明［J］.測繪與空間地理信息，2006，29(2):46－47.(Zhang Hong.To prove Burse－Wolf conversion model with simple formula［J］.Geomatics＆Spatial Information Technology，2006，29 (2):46－47)

3陳義，沈云中，劉大杰.適用于大旋轉角的三維基準轉換的一種簡便模型［J］.武漢大學學報(信息科學版)，2004，29(12):1 101－1 105.(Chen Yi，Shen Yunzhong and Liu Dajie.A simplified model of three dimensional－datum transformation adapted to big rotation angle［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2004，29 (12):1 101－1 105)

4潘國榮，周瑩，張德海.坐標轉換模型在盾構姿態計算中的應用［J］.大地測量與地球動力學，2006，(3):84－87.(Pan Guorong，Zhou Ying and Zhang Dehai.3D datum transformation model for determining orientation of shield in subway construction［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2006，(3):84－87)

COMPARISON BETWEEN TWO WAYS OF CALCULATION OF COORDINATE TRANSFER

Pan Guorong1，2)and Zhou Yueyin1)(
1)Department of Surveying and Geo－informatics，Tongji University，Shanghai200092) 2)Key Laboratory of Modern Engineering Surveying，SBSM，Shanghai 200092

P226+.3

A

1671-5942(2011)03-0058-05

2011-02-26

國家自然科學基金(40674010);“十一五”科技支撐項目(2006BAC01B02－02－02，05)

潘國榮，男，1960年生，教授，博士生導師，主要研究方向為精密工程測量、工業測量與測量數據處理.E－mail:pgr2@163.com