論莫爾條紋的計算

龔仲華

(常州機電職業技術學院，江蘇常州 213164)

光柵是數控機床等機電一體化設備常用的位置檢測裝置，其工作原理早為人們所熟知。一次偶然的機會，筆者發現某高校教材中所給出的莫爾條紋節距計算式存在錯誤，因而專門瀏覽了其他教材及相關參考書，不料這樣的錯誤竟然十分普遍，乃至于未見正確的計算式。為此，本文將對光柵莫爾條紋的正確計算式進行分析與證明，以供讀者參考。

1 問題的提出

眾所周知，絕大多數光柵都是通過如圖1b所示的夾角為θ的標尺光柵與指示光柵所產生的莫爾條紋來放大柵距W(光柵的條紋間距)、提高測量分辨率的，因此，分析光柵工作原理需要確定莫爾條紋節距B與光柵柵距W、夾角θ的關系問題。歸納目前教材與參考書中所提供的莫爾條紋節距B計算式，主要有以下3種:

式(1)［1－2］與式(2)［3－4］為標尺光柵與指示光柵在柵距同為W時的計算式;部分書籍還提供了指示光柵柵距為a、標尺光柵柵距為b時的計算式［5－6］:

以上3個計算式都是錯誤或片面的。

從圖1b可見，式(1)誤將傾斜條紋被相鄰兩垂直條紋所截線段(圖1b中的粗線段)的長度直接當成了莫爾條紋的節距B，這顯然不正確。

式(2)已注意到這一問題，它在計算式(1)的基礎上通過三角函數變換，由B=(W/sinθ)·cos(θ/2)=W/［2sin(θ/2)］得到結論。如僅從圖1b上看，這一結論似乎是正確的。但是，如進一步分析當兩光柵夾角θ=180°時的情況，此時由于兩光柵相互平行，實際上不可能得到上下移動的莫爾條紋，但按計算式(2)得出的結果為B=W/2，這就意味著光柵能生成節距為W/2的莫爾條紋，此結論顯然與實際情況不符。

由下面的分析可知，式(3)所提供的莫爾條紋節距計算式是不正確的。

2 分析要點

以上計算式錯誤的原因在于，他們沒有根據莫爾條紋產生的一般規律來分析問題，所得到的結論或只適用于特定情況或存在錯誤，因此，不能正確解釋莫爾條紋的普遍現象。

計算莫爾條紋節距B必須先計算莫爾條紋的水平夾角α(圖2)，即確定條紋的運動方向，這是分析問題的關鍵。因為，α一旦為90°，條紋就不再有垂直方向的上下運動，節距也就失去了意義。

莫爾條紋的節距B、夾角α不但與兩光柵的夾角θ有關，而且還與光柵的柵距有關。柵距不同的光柵同樣可以生成莫爾條紋，這一點在分析時同樣必須清楚。莫爾條紋夾角α的分析方法如下:

假設傾斜條紋的寬度為b、垂直條紋的寬度為a，從圖2可以得到垂直條紋被相鄰兩傾斜條紋所截部分的長度h1為

傾斜條紋被相鄰兩條垂直條紋所截部分在垂直方向的投影長度h2為

h1與h2之間的關系是決定莫爾條紋水平夾角α、節距B的關鍵，必須由此入手，通過對不同情況的分析，才能得到正確結論。

3 正確的計算式

莫爾條紋的節距B、夾角α與h1、h2有關，在不同情況下的計算式可以推導如下。

3.1 h1≥h2

當h1≥h2時，莫爾條紋的情況如圖2所示，因此有:

即莫爾條紋的節距B與垂直條紋寬度b直接相關。

由式(5)可見，若光柵夾角 θ=0°或180°，則夾角α為90°，故無垂直方向移動的莫爾條紋;或簡單地從式(6)上理解為B=∞，這也可解釋無莫爾條紋的實際情況。

對于a=b的特殊情況，可得到:

由此可見，式(2)僅是在特殊情況下所得到的特殊結論，而不能用來解釋普遍現象。

3.2 h1＜h2

h1＜h2時的情況較為復雜，分析如下。

① 如h1＜h2≤2h1，其情況如圖3所示，計算方法如下:

即:莫爾條紋的節距B與傾斜條紋寬度b直接相關。式(8)與式(9)同樣可以解釋θ=0°或180°兩種特殊情況。

對于a=2b的特殊情況，則存在以下結論:

與a=b的情況相比，這時所產生的莫爾條紋其水平夾角α不變，但節距B是a=b時的1/2(圖4)。

②對于柵距相差更大的光柵，同理可推出其計算式。如2h1＜h2≤3h1，則:

同樣對于a=3b的特殊情況，這時所產生的莫爾條紋水平夾角仍然為θ/2，但節距B是a=b時的1/3。依次類推，可得出3h1＜h2≤4h1等情況下的結論。以上結論可以直接通過實驗證明，也可以簡單地用CAD制圖進行模擬驗證。

4 結語

光柵莫爾條紋的分析與計算只需要簡單地利用三角函數便可進行，特別是在CAD技術普及的今天，還可用CAD直接進行驗證，因此，在教材、設計手冊等較為嚴肅的參考書籍中，還是有必要進行深入、仔細的分析，以防止出現基本概念上的錯誤而誤導讀者。

［1］何玉安.數控技術及其應用［M］.北京:機械工業出版社，2004.

［2］上海市電氣自動化研究所.機床數字控制與計算機應用［M］.北京:機械工業出版社，1982.

［3］王永章.數控技術［M］.北京:高等教育出版社，2001.

［4］張燏.機電一體化概論［M］.北京:人民郵電出版社，2009.

［5］趙先仲.機電系統設計［M］.北京:機械工業出版社，2004.

［6］李謀.位置檢測與測量技術［M］.北京:機械工業出版社，1991.