具有輸入飽和的環(huán)形永磁力矩電動機自適應魯棒控制*

孫宜標 劉春麗 王麗梅

（沈陽工業(yè)大學電氣工程學院，遼寧沈陽 110870）

環(huán)形永磁力矩電動機是為直接驅(qū)動而設計的一種三相永磁同步電動機，具有直徑/長度比很大、極數(shù)多的特點［1］。在采用環(huán)形永磁力矩電動機直接驅(qū)動復合A/C軸的伺服系統(tǒng)中，由于受到電動機對最大電流、發(fā)熱等因素的限制，從而導致輸入飽和現(xiàn)象。輸入飽和可導致控制輸入與被控對象實際輸入不等，進而引起系統(tǒng)閉環(huán)響應變差，甚至引起系統(tǒng)不穩(wěn)定［2］。為保證伺服系統(tǒng)可靠運行，在控制器設計過程中必須考慮輸入飽和問題。

文獻［3］通過求解一個參數(shù)化的Lyapunov方程，設計了低增益控制器保證系統(tǒng)半局穩(wěn)定，但該控制器使得系統(tǒng)收斂速度慢且收斂域小;文獻［4－5］設計了低－高增益混合控制器使系統(tǒng)全局穩(wěn)定且有較大的收斂域;文獻［6－7］采用抗飽和補償器來減小輸入飽和對系統(tǒng)的影響。以上方法主要針對精確已知的系統(tǒng)，而環(huán)形永磁力矩電動機伺服系統(tǒng)在實際運行中存在的非線性、參數(shù)變化以及不可預知的外部擾動等因素明顯影響系統(tǒng)的伺服性能。因此，在處理系統(tǒng)輸入飽和時，考慮這些因素具有實際意義。針對該問題，文獻［8］結(jié)合飽和函數(shù)和自適應魯棒控制器［9］（ARC，A-daptive Robust Controller）實現(xiàn)良好的伺服性能。

本文針對復合A/C軸環(huán)形永磁力矩電動機伺服系統(tǒng)運行過程中由于輸入飽和造成的伺服性能下降問題，基于反步法設計了飽和自適應魯棒控制位置控制器，即設計一個虛擬控制律保證誤差信號在每一步都收斂且有界。在控制器設計中構(gòu)建非降函數(shù)處理執(zhí)行器飽和，將控制輸入限制在飽和范圍內(nèi);對參數(shù)不確定性，用不連續(xù)投影算法進行在線參數(shù)估計。該方法不僅使伺服系統(tǒng)在無輸入飽和情況下具有較好的伺服性能，且在輸入飽和情況下也能實現(xiàn)良好的跟蹤性能。

1 環(huán)形永磁力矩電動機數(shù)學模型

圖1為環(huán)形永磁力矩電動機直接驅(qū)動復合A/C軸示意圖，該電動機作為一種特殊的永磁同步電動機，具有直徑/長度比較大，轉(zhuǎn)軸中空，轉(zhuǎn)子呈薄環(huán)狀和極數(shù)多等特點，保證了電動機運行時慣量小且能產(chǎn)生大轉(zhuǎn)矩等優(yōu)點。當只考慮基波分量時，可采用d－q軸系下的模型，令電流內(nèi)環(huán)d軸電流分量id=0，使定子電流矢量和永磁體磁場在空間上正交，則復合A/C軸永磁環(huán)形力矩電動機運動方程為:

式中，J為系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量;ω為轉(zhuǎn)子的電角速度;Te和Tc分別為電動機電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩;B為粘滯摩擦系數(shù);d為外部擾動。

電動機電磁轉(zhuǎn)矩可寫成

其中:KT是轉(zhuǎn)矩系數(shù);iq為電動機q軸電流。

齒槽轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)子位置θ相關，表達式為［10］:

其中:Ti為i次諧波的齒槽轉(zhuǎn)矩峰值;Nc為定子齒數(shù)與極數(shù)的公倍數(shù);Ksk為電動機斜槽系數(shù)。

齒槽轉(zhuǎn)矩Tc以基波為主要影響因素，設

其中:Ac為未知量;Sc（θ）為齒槽轉(zhuǎn)矩基波的形態(tài)函數(shù)。

令狀態(tài)變量 x=［θ，ω］T=［x1，x2］T，則伺服系統(tǒng)狀態(tài)方程為

其中u=KTiq/J為控制輸入。

2 飽和自適應魯棒控制器設計

2．1 模型變換與條件假設

在復合A/C軸的工件加工中，外部擾動d=d1+，其中d1為負載擾動為未建模不確定性。d1是系統(tǒng)外部擾動中最主要的因素。則根據(jù)式（5）可得

實際系統(tǒng)中，參數(shù)J、B、Ac和 d均有界，且邊界已知或可測，故做如下假設:

假設1:

其中ξmin=［ξ1min，…，ξ4min］T，ξmax=［ξ1max，…，ξ4max］T且ξmin，ξmax和δdj是已知的。

假設2:

其中ubd是控制輸入u（t）的邊界值。

2．2 飽和ARC控制器設計

飽和ARC的設計目標是:在滿足式（7）、（8）和（9）的條件下，所設計飽和ARC控制律使得系統(tǒng)全局穩(wěn)定且輸出誤差

盡可能小。其中，x1d（t）為x1的期望跟蹤軌跡。

基于標準反步法設計飽和ARC控制律。首先對x2構(gòu)建一個有界虛擬控制函數(shù)α1，使得當x2=α1時系統(tǒng)輸出跟蹤誤差z1收斂到零。

則有

虛擬控制函數(shù)α1給出如下:

其中:σ1（z1）是關于z1的飽和函數(shù)，該函數(shù)是平滑非降的且滿足以下條件:

（i）如果|z1|＜L11，則有σ1（z1）=k1z1

其中:L11＞0，L12＞0，k1＞0和M1＞0是設計參數(shù)，則函數(shù)σ1（z1）如圖2所示。

合并式（12）和式（13）得

其中，當z2=0時，z1趨近于零。

由式（11）和（13）可知

令u=ua+us，其中ua為自適應控制項，用來補償模型已知動態(tài)以實現(xiàn)良好的跟蹤性能;us為魯棒控制項，用以抑制不確定性對系統(tǒng)性能的影響。為保證控制輸入u有界，ua和us必須有界。

由于 ua必須有界，則φT（x）=［－x2，Sc（x1），－1］T可以寫成φT（x）=［－z2，0，0］T+［－α1，－Sc（x1），－1］T=φaT（x）+φbT（x），其中φaT（x）在突加強干擾的情況下是無界的，φbT（x）顯然有界。自適應控制項ua為

其中^ξ為ξ的估計值。

參數(shù)向量^ξ通過以下不連續(xù)投影參數(shù)估計算法給出

對于任何自適應函數(shù)τ，不連續(xù)投影參數(shù)估計算法（17）可以保證以下條件成立:

則式（16）可寫成

將式（20）代入式（15），可得

為使z2有界，由式（21）可知，魯棒控制項us必須克服（?σ1/?z1）z2和參數(shù)不確定性的影響。對z2構(gòu)建一個飽和函數(shù)，令us=－σ2（z2），其中σ2（z2）滿足以下條件:

（i）如果|z2|＜L21，則有?σ2/?z2=k21

（ii）z2σ2＞0，?z2≠0

（iii）如果 L21≤|z2|≤L22，則有?σ2/?z2=k22＞ k21且σ2（L22）=M2，σ2（－L22）=－M2

（iv）若 |z2|≥L22，則|σ2（z2）|≥M2

其中:L21＞0，L22＞0，k21＞0，k22＞0和M2＞0是設計參數(shù)，飽和函數(shù)σ2（z2）如圖3所示。故控制輸入為

系統(tǒng)在無外部擾動情況下運行時，采用適中的增益k21使得系統(tǒng)響應速度較快，跟蹤誤差跟蹤較小且對較小參數(shù)不確定性具有魯棒性;當系統(tǒng)受到較大外部擾動時，瞬態(tài)跟蹤誤差變大，采用更大的增益k22減小跟蹤誤差，提高抑制干擾的能力;當系統(tǒng)受到極大的擾動時，遠離正常工作區(qū)域，即|z2|?L22，σ2是一常數(shù)保證系統(tǒng)狀態(tài)在執(zhí)行器的物理限制范圍內(nèi)，當該干擾消失，系統(tǒng)回到原狀態(tài)。飽和自適應魯棒控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。

其中，θd為電動機轉(zhuǎn)子期望位置，θ為實際位置輸出。首先由式（13）構(gòu)造出虛擬控制函數(shù)α1，再通過實際輸入誤差z2由式（17）進行在線參數(shù)估計，然后根據(jù)式（16）求得自適應控制項ua，最后由式（22）得出控制輸入u。

3 仿真結(jié)果及分析

以德國CyTec公司的R166/100型環(huán)形永磁力矩電動機為例，參數(shù)如下:額定轉(zhuǎn)矩Ten=232 N·m，轉(zhuǎn)矩系數(shù)KT=9.4 N·m/A，轉(zhuǎn)動慣量 J=0.205 kg·m2，額定電流In=42.1 A，粘滯摩擦系數(shù)B=0.09 N·m·rad/s，極對數(shù) p=15，電動機槽數(shù) Q=36。采用MATLAB7．1進行仿真。

根據(jù)環(huán)形力矩電動機模型，照上述方法設計飽和ARC控制器，得到參數(shù)如下:k1=4 100，M1=0.05，L11=10 ×10－6rad，k21=5 500，k22=6 200，L12=22 ×10－6rad，L21=0.025，L22=0.3，M2=320，Г=diag{0.2，0.1，0.5，5 000}，齒槽轉(zhuǎn)矩為Tc=6sin（180x1）N·m，給定軌跡為θd=0.5sin（2πt）rad。為了驗證所設計控制器的性能，設環(huán)形力矩電動機所承受電流極限值為60 A。

圖5和圖6分別是ARC和飽和ARC控制系統(tǒng)在d=0 N·m和d=350 N·m時的位置跟蹤響應曲線。由圖可以看出，當系統(tǒng)處于正常工作范圍內(nèi)，飽和ARC控制器可實現(xiàn)良好的跟蹤性能和抗干擾性能。

由于復合A/C軸環(huán)形力矩電動機受到極大擾動時，為驗證所設計飽和ARC的性能，在t=2 s時，突加d=650 N·m的擾動，持續(xù)時間為0.2 s，采用ARC控制器和飽和ARC控制器的位置跟蹤誤差曲線分別如圖7和圖8所示。仿真結(jié)果表明，當系統(tǒng)出現(xiàn)輸入飽和情況時，自適應魯棒控制系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定情況，而所設計的飽和ARC控制器可最終實現(xiàn)漸進跟蹤。出現(xiàn)輸入飽和時，伺服系統(tǒng)q軸電流曲線如圖9所示。

4 結(jié)語

為使伺服系統(tǒng)復合A/C軸環(huán)形永磁力矩電動機在實際中可靠運行，除考慮自身參數(shù)變化、外部擾動以及齒槽轉(zhuǎn)矩等不確定性因素的影響外，也須對強擾動引起的輸入飽和問題進行處理。本文針對直接驅(qū)動復合A/C軸環(huán)形永磁力矩電動機伺服系統(tǒng)，結(jié)合反步法和自適應魯棒算法設計了飽和自適應魯棒控制器。控制器包括魯棒項和自適應項，魯棒項設計中構(gòu)建飽和函數(shù)保證控制輸入在飽和范圍內(nèi);自適應項通過采用不連續(xù)投影算法對不確定性進行估計以實現(xiàn)良好的跟蹤性能。仿真結(jié)果和分析表明，所設計控制器實現(xiàn)了伺服系統(tǒng)在有無飽和情況下均能達到良好伺服性能的雙重目標，滿足了高精度直接驅(qū)動復合A/C軸伺服系統(tǒng)的要求。

［1］王成元，夏加寬，楊俊友，等．電動機現(xiàn)代控制技術(shù)［M］．北京:機械工業(yè)出版社，2006．

［2］JANG J O．Neural network saturation compensation for DC motor systems［J］．IEEE Trans．on Industrial Electronics，2007，54（3）:1763 －1767．

［3］ZHOU B，LIN Z L，DUAN G R．A parametric lyapunov equation approach to low gain feedback design for discrete － time systems［J］．Automatica，2009，45（1）:238 －244．

［4］MARCHAND N，HABLY A．Global stabilization of multiple integrators with bounded controls［J］．Automatica，2005，41（12）:2147 －2152．

［5］ZHOU B，DUAN G R．A novel nested non－linear feedback for global stabilization of linear systems with bounded control［J］．International Journal of Control，2008，81（9）:1352 －1363．

［6］Phil March，Matthew C Turner．Anti－ windup compensator designs for non－salient permanent－magnet synchronous motor speed regulators［J］．IEEE Trans．on Industry Application，2009，45（5）:1598 －1608．

［7］楊明，李釗，胡浩，等．永磁同步伺服系統(tǒng)速度調(diào)節(jié)器抗飽和補償器設計［J］．電動機與控制學報，2011，15（4）:46－51．

［8］GONG J Q，YAO B．Global stabilization of a class of uncertain systems with saturated adaptive robust control［C］．Proceeding of the 39thIEEE Conference on Decision and Control，Sydney，Australia，2000:1882 －1887．

［9］YAO Bin．High performance adaptive robust control of nonlinear systems:a general framework and new schemes［C］．Proceeding of the 36thIEEE Conference on Decision and Control，San Diego，USA，1997:2489－2494．

［10］ZHU Z Q，HOWE D．Influence of design parameters on cogging torque in permanent magnet machines［J］．IEEE Trans．on Energy Conversion，2000，15（4）:407－412．

［11］GOODWIN G C，MAYNE D Q．A parameter estimation perspective of continuous time model reference adaptive control［J］．Automatica，1989，23（1）:57－70．