基于有限變形理論的能量釋放率和 J積分增率形式

宋彥琦, 呂艷偉

(1.中國礦業大學 (北京)理學院,北京 100083;2.普利茅斯大學科技學院,英國 PL4 8AA)

基于有限變形理論的能量釋放率和 J積分增率形式

宋彥琦1, 呂艷偉2

(1.中國礦業大學 (北京)理學院,北京 100083;2.普利茅斯大學科技學院,英國 PL4 8AA)

以有裂紋的瞬時位形為參考,建立的增量變形引起的裂紋擴展方程能夠更真實地描述裂紋尖端的擴展機制.而真實地描述當前裂紋狀態下的增量變形的困難在于,帶裂紋尖端的瞬時位形相對于初始位形應滿足有關的力學平衡方程.在解決裂紋擴展問題時,基于能量方法的裂紋能量釋放率 G和 J積分是一種有效的研究方法.由于經典的微小變形理論引入的裂紋尖端模型解決問題的方法是相對于初始位形的,為得到當前裂紋狀態下的增量變形的有關方程,采用能量原理和變分原理,使用有限變形的隨體張量表達方式,在瞬時位形基礎上,推導裂紋體的能量釋放率 G和 J積分的增率G·和J·,建立增量變形的有關方程,從而為研究裂紋尖端的擴展問題提供了新的理論思路.

增量變形;有限變形;能量釋放率;J積分;增率形式

裂紋問題與工程結構的破壞和可靠性緊密相關.研究裂紋問題需要用到的斷裂力學理論中,裂紋擴展問題十分重要.目前,最常用的裂紋擴展準則是應力型和能量型準則.20世紀 20年代初,Griffith研究了玻璃、陶瓷等材料的脆斷問題,采用關于含橢圓孔無限平面介質的彈性力學解作為其理論的基礎,并從能量平衡的角度出發,提出了著名的能量釋放率理論,導出脆性斷裂材料斷裂的準則,奠定了斷裂力學的基礎.

Griffith理論是針對玻璃和陶瓷等理想脆性材料建立的,適用范圍有限.Griffith能量釋放率準則主要用于線彈性力學,而在彈塑性力學中,則主要采用 J積分守恒定理[1-5].人們常把 J積分作為對Griffith能量釋放率準則的一種擴展,其有 3個明顯的具有吸引力的特點:①對線彈性行為,其與能量釋放率 G相同;②對彈塑性行為,其表征了裂紋尖端區的特征;③J積分與路徑無關,可以通過簡單的實驗得到.

在斷裂力學理論及宏觀斷裂理論研究中,主要著重于應力應變分析,為了數學上的處理方便,仍沿用 Griffith尖裂紋模型,從而導致了在尖裂紋模型下的應力和應變的奇異性.為了消除裂紋尖端奇異性,人們提出了一些新的模型和研究方法,其中比較成功的是由 Eringen發展的非局部理論.盡管這種理論在普遍應用上還存在一定困難,但已顯示出它的優越性.陳篪[6]提出恢復裂紋的真實模型的可能裂紋擴展判據.田常海等[7]提出一種復合型裂紋脆斷的主應變因子準則.閆相橋[8]在裂紋尖端周圍Nadai屈服上考慮斷裂參數,提出一個新的斷裂準則.王沖[9]提出了一個以轉動梯度為基本參數的斷裂準則.以上準則對某些材料較為吻合.近年來,一些學者也在裂紋擴展方面做了相關的研究工作[10-14].

在彈塑性斷裂分析中,幾乎都要用到 J積分準則.但是這種積分守恒性僅在塑性全量理論、小變形以及不發生卸載等條件下成立.很顯然,對于裂紋頂端出現大范圍屈服時發生的大量的裂紋穩定擴展,J積分準則便無能為力了[1-5].如果摒棄裂紋尖端模型而采用真實的裂紋模型,并且仍然從能量角度來研究裂紋真實的數學物理狀態,那么將可能使得經典斷裂理論中遇到的這些問題得到解決.

以裂紋前端通常發生的塑性變形作為參考,則原則上引起裂紋或其擴展的是增量變形[15-16].這樣,就要在已變形的位形上建立增量變形的有關力學方程.本研究利用有限變形理論中的能量原理和變分原理,考慮含裂紋體真實的物理狀態,在含有裂紋物體的瞬時變形的基礎上,建立能量釋放率 G和J積分的增率G·和J·的形式來描述裂紋體的狀態.

1 有限變形理論下的能量原理和變分原理

對于大位移與大變形情況,外力的大小與方向一般在變形漸進過程中發生改變,用功的全量形式來表達是有條件的.物體在空間做三維有限轉動時,因最后位形與轉動次序有關,故有限轉動的功是非保守力性質的.所以,對有限變形與位形功的一般表達式應采用功的增量形式[16].

作用在變形體上的機械力和場力的功增加了變形體的宏觀動能和形變能[16],設已知作用在變形體的外力有表面力 P(力 /單位面積)和體力 f(力 /單位質量),考慮無體力矩作用的情況.在拖帶坐標系中,以 d a表示界面的微元面積,表示微元體積,ρ為單位體積質量 (變形位形中).變形體中任一點的與速變度形為能 V的,則增外量力功之和率 ,即可表示為動能的增加率從虛功率原理出發,考慮物體運動的每一瞬時,式(2)所表達的能量關系成立.假設某一瞬時,運動達某一狀態,以此狀態為基準,比較一切可能存在的無窮小相鄰狀態.

假設在變形后的位形,保持力的大小與方向不變,而給以速度、角速度與應變速率一虛變動,且這些虛變動滿足如下協調條件:

2 三維空間中的能量釋放率增率形式G·和 J積分增率形式 J·

考慮在三維空間中的一個有裂紋的物體,Σ表示包圍裂紋的實曲面,Σ所包含的體積為Ω,如圖 1所示.

圖 1 三維空間的裂紋端部簡化模型Fig.1 Sim plif ied model of 3-D crack-tip

2.1 能量釋放率的增率形式G·

定義系統勢能函數增率為

式中,W·為系統單位體積內非保守勢能函數的增率,T為曲面Σ上的外力,V為位移場中某點的速度.

設裂紋擴展方向上的單位矢量為 b,裂紋擴展長度為δrb.在時間 t內,保持外力 T不變,則沿著裂紋擴展方向上的勢能變化率為

在上述定義中,W·為單位體積內非保守能量勢能函數,是點的位置、溫度和時間的函數,而不是應變能密度函數的增率.這是由于在實際情況中,裂紋的擴展、裂紋端部小區域一般或多或少會發生不可恢復的塑性變形,存在一定的能量耗散.注意到,Griffith能量釋放率準則是建立在初始位形參考上的,其速率并不是在當前位形下的真實速率.事實上,在裂紋擴展問題上,Griffith能量釋放率準則并沒有給出好的結果.而上文公式是建立在有限變形能量原理和變分原理基礎上的,能量釋放率增率,適合彈性、彈塑性大小變形情況.

2.2 三維空間中 J積分的增率形式J·

根據上文結果,式 (11)表示系統勢能函數增率對裂紋擴展長度δrb變化率.如圖 1所示,圍繞裂紋端部選擇閉曲面 a-g-c-d-O-a,其中裂紋的上下表面de和 ef為自由邊界.在該自由邊界上,T=0,n·b=0.所以,在裂紋端部的微小區域內,

圖 2 簡化 2-D裂紋端部模型Fig.2 Simplif ied 2-D crack-tip model

3 結 束 語

本研究應用能量原理和變分原理,考慮裂紋體真實的物理狀態,在瞬時位形上推導了裂紋體的能量釋放率G和J積分的增率G·和J·,建立了增量變形的有關方程,以能量增率形式真實地描述裂紋狀態,為研究裂紋尖端的擴展問題提供了新的理論思路.

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[16] 陳至達.理性力學[M].重慶:重慶出版社,2000.

Form s of Energy Release Rate and J Internal Increase Rate Based on Fin ite Deformation Theory

SONG Yan-qi1, Lü Yan-wei2
(1.School of Science,China University of M ining and Technology(Beijing),Beijing 100083,China;2.Faculty of Science and Technology,University of Plymouth,PL4 8AA,UK)

To study the crack propagation problem,a model in terms of incremental deformation represents the real propagation mechanism by taking instantaneous configuration as a reference. It requires an accurate definition of incremental deformation on a fresh crack.However,it is difficult to make the instantaneous configuration including zones around the crack tip satisfy the relevant equilibrium equationswith regards to the initial configuration.Generally,energy methods such as crack tip energy release rate G and J-integral are powerful in analyzing and solving crack problems.Therefore the focus is on the determination of the form of the increase rate of energy release rate,G·,and that of J-integral,J·,regarding instantaneous configuration.Because the classical theory of small deformation takes initial configuration as a reference,the formulae for G·and J·

are derived by using the energy p rincip le and variational principle in the finite deformation theory in the p resent study.This work provides a new theoretical line for studying crack p ropagation.

incremental deformation;finite deformation;energy release rate;J integral;increase rate form

O 331

A

1007-2861(2011)02-0153-05

10.3969/j.issn.1007-2861.2011.02.009

2010-03-02

國家重點基礎研究發展計劃(973計劃)資助項目(2007CB209402,2010CB732002);國家自然科學基金資助項目 (10302030);中央高校基本科研業務費資助項目(2009QS01)

宋彥琦 (1969～),女,副教授,博士,研究方向為固體力學及工程應用.E-mail:yanqi_song@sina.com

(編輯:孟慶勛)