基于 Gogny相互作用的非對稱核物質同位旋的相關性質

陳 融, 楊艷芳, 陳列文

(1.上海大學理學院,上海 200444;2.上海交通大學 物理系,上海 200240)

基于 Gogny相互作用的非對稱核物質同位旋的相關性質

陳 融1,2, 楊艷芳1, 陳列文2

(1.上海大學理學院,上海 200444;2.上海交通大學 物理系,上海 200240)

基于有限程的 Gogny相互作用,系統研究同位旋非對稱核物質的狀態方程 (equation of state,EOS)及其單粒子勢和它們的同位旋相關性.通過對比各類模型以及實驗值,說明現有的 D1,D1S和 D1N這 3組 Gogny參數的不足之處,指出探尋新的 Gogny核力參數的必要性.

Gogny相互作用;非對稱核物質;狀態方程;同位旋

本工作研究的是零溫均勻無窮大非對稱核物質,該系統僅由中子和質子組成,且只考慮強相互作用.雖然在實際情況下,人們研究的往往是有限大核物質,但本研究依然可以根據均勻無窮大零溫系統這個再考慮模型推導出的一系列物理量,結合表面能、庫侖的相互作用等進行修正,進而給出和實驗相吻合的結果.同時,很多真實的物理系統可以很好地看成是無窮大核物質,如中子星的內部、重原子核(如208Pb)內部等.

1 Gogny相互作用

Gogny兩體相互作用的一般形式為[2]

式中,r=r1-r2,Pσ為自旋交換算符,Pτ為同位旋交換算符.從式 (1)可以看到,Gogny相互作用由 11個含量綱參數 (W1,W2,B1,B2,H1,H2,M1,M2,μ1,μ2,t0)和 2個不含量綱的參數 (x0,α)共 13個參數構成 (此式省略了自旋軌道耦合項,因為該項不適用于均勻無窮大核物質).

文獻[2-9]均未明確給出基于 Gogny相互作用的單粒子勢和每核子能量的具體表達式.本研究給出了基于 Gogny相互作用的零溫均勻無窮大非對稱核物質的單粒子勢和每核子能量的表達式,這對研究相關的物理量具有重要意義.同時,本工作也將系統地研究同位旋非對稱核物質的狀態方程和單粒子勢及其同位旋相關性.

2 計算與分析

本研究根據已有的 3組 Gogny相互作用參數D1[2],D1S[10],D1N[11],并結合其他核力模型和實驗數據,分析了非對稱核物質中每核子能量隨密度的變化關系、單粒子勢隨單核子能量的變化關系、對稱勢隨核子動能的變化關系、等壓壓縮系數隨同位旋不對稱度的變化關系、有效質量的同位旋劈裂以及對稱能隨密度的變化關系等.此外,還計算了飽和密度處對稱核物質性質以及對稱能的高階特征參數,討論了等壓不可壓縮系數同位旋依賴的拋物線近似.本研究中所有的物理量均采用自然單位制.

2.1 每核子能量與對稱能

每核子能量 E(ρ,δ)是在數密度為ρ=ρn+ρp,同位旋不對稱度為δ=(ρn-ρp)/ρ的核物質中,平均每個核子的總能量.非對稱核物質的狀態方程(equation of state,EOS)就是每核子能量 E(ρ,δ)的表達式.基于 Gogny相互作用的 EOS為

式中 ,fτ=2h-3Θ [pf(τ) -p]為零溫時質子 (或中子 )的 Fermi分布函數 (Θ [pf(τ) -p]為階躍函數 ),RT=t0αρα+1[3-(2x0+1)δ2]/8為核物質的重排項,pFn,pFp分別為中子和質子的 Fermi動量.

圖 1給出了 3組參數 (D1,D1S和 D1N)下,不同δ時的每核子能量隨密度的變化關系.由圖 1可見,對于 3組 Gogny相互作用參數,E(ρ,δ)隨同位旋不對稱度δ的提高而增加,這說明 E(ρ,δ)是同位旋相關的,當δ=0時,即為對稱核物質.研究發現,對任意一組參數,δ=0時的 E(ρ,δ)均在 ρ0=0.16 fm-3左右達到極小值,約為 -16 MeV(即ρ0=0.16 fm-3稱為飽和密度),和實驗值相符.當δ較大時,E(ρ,δ)在密度很小情況下會出現先增后減再增的現象,甚至當δ大于某個臨界值δc后,E(ρ,δ)會隨密度單調上升,此時就不存在飽和密度.計算表明,D1參數的δc約為 0.79,D1S的δc約為 0.78,D1N的δc約為 0.83.

圖 1 不同δ下 3組參數每核子能量隨密度的變化Fig.1 Relationship between density and energy per nucleon w ith d ifferentδ

在核天文學中,對稱能是與中子星中質子的比例、中子星的演化、中子星的半徑和密度等密切相關的重要物理量,因此,有關對稱能的研究一直是人們十分感興趣的問題[1].

將每核子能量 E(ρ,δ)泰勒展開[12],其中的就是非對稱核物質的對稱能Esym(ρ).可以看出,對稱能為核子數密度ρ的函數,與δ無關.圖 2給出了 3組參數的對稱能隨密度的變化關系.可以看出,3組參數的對稱能隨密度都呈先增后減的趨勢.在ρ0=0.16 fm-3附近,3組參數的對稱能和實驗值 30 MeV吻合得很好.目前,關于對稱能在密度較大區域究竟是增還是減,并不十分清楚.

圖 2 3組參數下對稱能隨密度的變化Fig.2 Relationship between density and symmetry energy under three param eter sets of Gogny interaction

2.2 單粒子勢(光學勢)隨核子能量的變化

單粒子勢 U(ρ,δ,p,τ)=Uτ表示動量為 p的核子在核子數密度為ρ,同位旋不對稱度為δ的核物質中感受到的所有來自其他核子的作用.基于Gogny相互作用的單粒子勢可表示為

式中,τ為同位旋第三分量的大小,中子τn=-1/2,質子 τp=-1/2,kfτ=(3π2ρτ)1/3為質子 (或中子 )的Fermi波矢 ,pfτ= ?kfτ為質子 (或中子 )的 Fermi動量.

圖 3給出了單粒子勢 (光學勢[13-15])隨單核子能量 E-M的變化關系,其中單核子能量 E-M=可見,3組Gogny參數在能量較大時,單粒子勢始終小于 0 MeV,這與實驗值 30 MeV不符 (見圖 3中 Hama[16]的 Fit 1和 Fit 2).這說明現有的 3組 Gogny相互作用參數還有待改進.

圖 3 單粒子勢(光學勢)隨核子能量的變化Fig.3 Relationship between single nucleon energy and single par ticle poten tial(optical poten tial)

2.3 對稱勢

研究非對稱核物質中的對稱勢,對理解核物理和天體物理中的許多重要物理問題具有重要意義[1].零溫時的對稱勢 Usym定義為

研究表明,Usym(ρ,p)的大小對δ不敏感.為方便起見,取δ=0.5,則對稱勢簡化為

由于中子和質子的質量十分接近,因此,可以看成是質量 m0=939 MeV/c2的核子.圖 4給出了對稱勢隨核子動能 Ekin的變化關系.由圖可知,D1給出的結果與唯象的動量相關相互作用 (momentumdependent interaction, MD I) 模 型[13-14,17-18]、DBHF(Dirac-Brueckner-Hartree-Fock)理論、非相對論BHF(Brueckner-Hartree-Fock)理論以及相對論沖擊近似 (relativistic impulse app roximation,RIA)等微觀理論給出的結果類似[15],這與目前公認的結果比較接近:即隨著核子動能的增大,中子的單粒子勢會逐漸變小,最終會小于質子的單粒子勢,使得對稱勢為負[15].相比較而言,D1S和 D1N這兩組參數雖然在核子動能很低的情況下給出的結果與微觀理論的結果比較吻合,但當動能繼續增大時,特別是動能大于 100 MeV后,對稱勢將大大偏離實驗值.

圖 4 對稱勢隨核子動能的變化Fig.4 Relationship between nucleon k inetic energy and symmetry potential

2.4 有效質量

在核物理中,另一表征單粒子勢性質的物理量為核子的有效質量m＊τ.有效質量反應了核子單粒子勢的動量相關性[1],其定義式為

在 Gogny相互作用中,非對稱核物質中質子和中子的有效質量隨動量 p的變化是不同的,這被稱為有效質量的同位旋劈裂.

圖 5給出了δ=0.5時 3組參數飽和密度時的有效質量隨動量的同位旋劈裂.圖 6給出了δ=0.5時,在各密度的 Fermi動量處的有效質量隨密度的同位旋劈裂.由圖 5和圖 6可見,D1N給出的最新結果與 D1,D1S區別較大.在圖 5中,當動量很大時,3組參數所給出的質子和中子的有效質量都趨于它們的靜質量,而最新的D1N參數表現出的中子有效質量始終小于質子的有效質量.在圖 6中,D1N給出的結果與 D1,D1S區別更為明顯.隨密度增大,D1和D1S參數的同位旋劈裂較緩慢.而 D1N參數的同位旋劈裂則隨密度的增大變化得很快,并且中子的有效質量幾乎總是小于質子的有效質量.但是在豐中子核物質中,已有的研究認為中子的有效質量要比質子大[12],這樣看來,D1N的結果不夠理想.

圖 5 有效質量隨動量的同位旋劈裂Fig.5 Isosp in splitting of effectivemass w ith momentum

圖 6 Ferm i動量處有效質量隨密度的同位旋劈裂Fig.6 Isosp in splitting of effectivemass w ith density at Ferm imomentum

2.5 飽和密度處的性質

飽和密度 (每核子能量取極小值時的密度)處的核物質的性質一直是本研究比較關心的問題.這里主要研究不可壓縮系數 (等壓壓縮系數)在飽和密度處的性質.最近的研究表明,δ的高階項對于確定極其豐中子的中子星外殼內緣分離出液態核時的轉變密度起著非常重要的作用[12].

不可壓縮系數 K為描述核物質性質的一個重要參量[12],可以用來描述系統的力學穩定性等性質,其定義式為式中 ,為壓強.K(ρ,δ)在飽和密度 ρ0處可寫為 Ksat(δ),稱為等壓壓縮系數 (isobaric incompressibility)[19].

為了研究等壓壓縮系數的性質,將對稱核物質的每核子能量 E0(ρ)=E(ρ,δ=0)在 ρ0處展開到第四階,即式中,反映了在具有不對稱度δ的非對稱核物質中,飽和密度處的不可壓縮系數相對于對稱核物質 (δ=0)飽和密度處的不可壓縮系數的偏移,或者說,反映了等壓壓縮系數Ksat(δ)對同位旋的依賴性.圖 7和圖 8分別給出了 3組參數下的等壓壓縮系數隨δ以及δ2的變化關系.

圖 7 3組參數等壓壓縮系數隨δ變化Fig.7 Isobar ic incompressib ility vs.δunder three param eter sets

由圖 7可見 ,對于 3組 Gogny參數 ,Ksat(δ)隨δ的增大總是減小的,最終在臨界值δc處,Ksat(δ)仍然大于 0,這說明在飽和密度處,系統總是力學穩定的.由圖 8可見,(Ksat-K0)隨δ2的變化曲線幾乎可以用 Ksat,2δ2這條直線來代替 ,這說明 Ksat(δ)很好地滿足了拋物線近似,也說明當斜率參量L比較小時,Ksat(δ)的高階量對 Ksat(δ)影響不大.

圖 8 3組參數的等壓壓縮系數隨δ2的拋物線近似Fig.8 Parabolic approximation betweenδ2and isobar ic incompressibility under three param eter sets

最后,根據計算結果,本研究在表1中給出一些高階量和關鍵參數的具體值,其中ρ0為δ=0時的對稱核物質的飽和密度,E0/A為對稱核物質飽和密度處的每核子能量的值.可以看出,3組參數下的ρ0,E0/A,Esym(ρ0)的值與實驗值比較吻合.但是需要指出的是,這 3組參數下斜率參量 L的最大值均不超過 33.6 MeV,這和實驗值 L=60.0 MeV相比,還是偏小的.這也說明現有的 3組 Gogny相互作用參數還有待改進.

表1 3組參數下一些高階量和關鍵參數Table 1 Values under three sets of Gogny parameter s

3 結 束 語

本工作基于 Gogny相互作用,研究了零溫均勻無窮大非對稱核物質的同位旋相關性.結果發現,現有的 D1,D1S和 D1N 3組參數都與實驗值 (趨于30 MeV)差距比較大,不能很好地描述非對稱核物質的單粒子勢;同時,D1S和 D1N也不能很好地描述對稱勢.另外,從研究的有效質量同位旋劈裂的結果來看,D1N參數給出的結果和預期值相差較大.此外,還研究了等壓不可壓縮系數 Ksat(δ)的同位旋隨不對稱度δ的變化關系,討論了 Ksat(δ)的同位旋依賴的拋物線近似.結果發現,Ksat(δ)能很好地滿足拋物線近似,這說明 Ksat(δ)的高階量對于這 3組Gogny相互作用參數的影響不大.本研究還計算了飽和密度處的對稱核物質的性質及對稱能的高階特征參數,列出了一些關鍵值.過小的L值也說明了尋找新的 Gogny相互作用參數的重要性.

從對比各類模型以及實驗值的綜合結果來看,現有的D1,D1S和D1N這 3組 Gogny相互作用參數還存在不足,所以給出新的更好的 Gogny相互作用參數是十分必要的.

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Isosp in Dependent Proper ties of Asymmetr ic Nuclear M atter Using Gogny Interaction

CHEN Rong1,2, YANG Yan-fang1, CHEN Lie-wen2
(1.College of Sciences,ShanghaiUniversity,Shanghai200444,China;2.Department of Physics,Shanghai Jiao Tong University,Shanghai200240,China)

Using the finite-range Gogny interaction,the equation of state(EOS)and the single-particle potential as well as their isosp in dependence in isosp in asymmetric nuclear matter is studied.By comparison with othermodelsand empirical values,we show the limitation of the Gogny interactionsD1,D1S and D1N,and necessity of a new parameterization of Gogny interaction.

Gogny interaction;asymmetric nuclear matters;equation of state(EOS);isospin

O 571

A

1007-2861(2011)02-0164-06

10.3969/j.issn.1007-2861.2011.02.011

2009-09-23

國家自然科學基金資助項目(10575071,10675082);上海市青年科技啟明星計劃資助項目(06QA 14024),國家重點基礎研究發展計劃 (973計劃)資助項目 (2007CB815004);上海市重點學科建設資助項目(S30105)

楊艷芳 (1973～),女,副教授,博士,研究方向為物理學.E-mail:yangyangzhaoyb@yahoo.com.cn

(編輯:劉志強)

自量子色動力學 (quantum chromodynamics,QCD)被提出以來,人們對強相互作用有了進一步的認識.雖然QCD可以描述強相互作用,理論上也應該可以推導出核力,但是在使用 QCD解決具體問題時,其復雜性令其難以直接求解.而核物理研究的一個極為重要的部分,就是找到真正的“核力”.為此,人們構造了含經驗參量的簡化模型來處理與核力相關的具體問題,如基于零程的 Skyrme相互作用的Hartree-Fock理論和基于介子交換模型的相對論平均場理論等.

1980年,Gogny等[1]提出了 Gogny相互作用,修正了 Skyrme作用的一些不足之處,并對 Gogny相互作用進行了計算,給出了與實驗吻合得更好的結果.因此,本研究使用 Gogny相互作用.