基于Copula理論的投資組合風險測度

趙 鵬

（西安交通大學 經濟與金融學院，西安 710061）

基于Copula理論的投資組合風險測度

趙 鵬

（西安交通大學 經濟與金融學院，西安 710061）

文章基于現代前沿的Copula理論，以中國股市八個行業板塊指數的組合為研究對象，構建了Copula-GARCH模型，得到了更加準確的組合收益聯合分布函數。通過蒙特卡洛模擬法獲得投資組合的VaR，回測檢驗表明Copula-GARCH模型能夠較Riskmetrics和歷史模擬法的更加準確地描述組合風險。這為我們在國內股票市場上應用Copula理論管理證券投資市場風險提供了理論依據。

Copula；中國股市；市場風險；金融風險管理

0 引言

隨著計算機技術的日新月異，一種早在上世紀五十年代就被提出卻在技術上難以應用的理論——Copula理論，在金融領域尤其是市場風險管理領域的應用研究得以迅速發展。1959年，Sklar提出可以將一個聯合分布分解為k個邊際分布和一個Copula函數的觀點[1]。Nelsen（1998）對Copula作了系統的介紹[2]，而張堯庭將Copula理論引入國內[3][4]。

在經典的證券投資組合理論中，資產組合的風險由系統風險和非系統風險組成，其中非系統風險即單個證券的風險由其本身的屬性來確定，而系統風險則由組合內各證券資產的相關結構來決定，這個相關結構由協方差矩陣來描述。不過限于線性和正態假設，協方差矩陣方法在實踐中無法刻畫金融資產波動的尖峰厚尾分布特征。在引入Copula函數后，我們就可以剛好把投資組合的整體風險按照系統風險和非系統風險進行分解，系統風險即資產組合的結構風險可以由一個Copula函數來描述，而非系統風險即單個證券的市場風險可以由成熟的單變量時間序列波動模型（如EWMA、GARCH）來刻畫。本文將以中國股票市場八個行業板塊指數為實證研究對象，通過應用Copula理論來獲得資產組合的VaR（在險價值），為金融機構管理國內股票投資的市場風險提供應用理論依據。

1 Copula函數的選擇、估計與檢驗

1.1 Copula函數的選擇

在多變量的金融應用研究中，我們最常用的是正態Copula函數和t-Copula函數。

⑴多元正態Copula分布函數的表達式為

其中，ρ為對角線上的元素為1的對稱正定矩陣，Φρ表示相關系數矩陣為ρ的標準多元正態分布，Φ-1()表示標準正態分布函數的逆函數。

⑵多元t-Copula分布函數的表達式為

其中，ρ為對角線上的元素為1的對稱正定矩陣，Tρ,v表示相關系數矩陣為ρ、自由度為v的標準多元t分布，tv-1(ui)(i=1，2，…，N)為自由度為v的一元t分布的逆函數。

1.2 Copula函數的估計

Copula函數的估計方法一般包括極大似然估計法（ML）、邊際分布推導法（IFM）[5]和規范極大似然法（CML）。 在變量維數很高時，極大似然法會顯得參數過多，IFM法將邊際分布參數的估計和Copula函數參數的估計分成兩個階段進行，比ML法要簡化許多，但也容易產生邊際分布模型的設定錯誤。CML法不對邊際分布作任何假設，在IMF法的第一步中用經驗分布代替邊際分布。Okaes[6]對此專門做過研究，其結論是只要邊際分布形式符合實際，CML方法較前兩種方法更加精確。因此在本文的實證研究中采用CML法進行Copula函數參數的估計。

1.3 Copula函數的檢驗與選優

對于估計得到的Copula函數，我們需要進行擬合優度檢驗以確定其有效性。在本研究中，我們采用K-S檢驗。KS檢驗是非參數檢驗，統計值T定義為經驗累積分布函數與理論累積分布函數之間的最大差異其中，為經驗 Copula 函數[7]，F(x)為理論 Copula 函數。

2 邊際分布的選擇與Copula-GARCH模型的構建

根據Copula理論，在確定了描述資產相依結構的Copula函數后，只要能夠確定各資產變量的邊際分布，即可獲得整個資產組合的聯合分布，進而計算出資產組合的VaR。大量的金融時間序列研究發現，金融時間序列的波動分布是隨時間變化的，存在著明顯的波動聚集效應，而GARCH族模型是目前最成熟的單變量金融時間序列波動模型，因此在本研究中，我們采用GARCH族模型來刻畫聯合分布的條件邊際分布。于是，我們可以構建出描述投資組合收益聯合分布的Copula-GARCH模型：

假設{y1t}t=1T,…,{yNt}t=1T為N個服從GARCH過程的隨機變量，結合Copula理論，我們可以得到N元Copula-GARCH模型：

其中C為任意形式的N元條件Copula函數，Fnt為聯合分布的邊際分布，隨機干擾項ξ1t,…,ξNt可以是服從獨立同分布的標準t正態分布、標準t分布或其他分布。根據（3）式，我們得到y1,…,yN的聯合分布：

3 Copula函數的模擬與VaR計算

對于大多數的Copula函數，其相應的逆函數的解析式一般很難求出，因此我們常采用蒙特卡羅模擬法來實現VaR的計算。完整的基于Copula理論的多資產投資組合VaR計算的步驟為：⑴確定恰當的Copula函數C和邊際分布Fn(x)的形式并估計分布參數，組建基于Copula的聯合分布模型；⑵根據多元Copula仿真技術生成邊際分布隨機數；⑶根據，rn=Fn-1(un)得到與邊際分布隨機數對應的資產收益；⑷計算投資組合的收益，由此得到投資組合未來收益的一個可能情景；⑸重復步驟⑵~⑷k次，得到k個投資組合未來收益的可能情景，從而獲得投資組合未來收益的模擬經驗分布，給定置信水平α，即可根據P{rp≤-VaR}=α，得到投資組合的VaR。

4 實證研究

4.1 Copula-GARCH模型的參數估計與檢驗

4.1.1 樣本的選取

本研究選取了滬深300材料指數（399909）、300工業指數 （399910）、300 公 用 指 數 （399917）、300 金 融 指 數（399914）、300 能源指數 （399908）、300 消費指數（399912）、300信息指數（399915）和 300醫藥指數（399913）八個行業板塊指數的日收益率作為研究對象。研究所需原始數據來源于中證指數有限公司發布的自2007年9月26日至2009年12月31日的552組交易日的歷史收盤價。根據收益率計算公式，共得到551組收益率樣本觀測值。其中，2009年8月5日前的451組觀測值用于估計參數，之后的100組觀測值用于回測檢驗。

4.1.2 Copula函數的估計

我們采用規范極大似然法（CML）估計八個指數的Copula函數，得到結果見表1、表2。

表1 正態Copula函數的參數矩陣ρ的估計結果

表2 t-Copula函數的參數矩陣ρ的估計結果

4.1.3 Copula函數的擬合優度檢驗

我們對估計出的正態Copula函數和t-Copula函數進行K-S檢驗，得到的結果如表3。

從K-S檢驗的結果看，正態Copula函數和t-Copula函數的K-S檢驗的相伴概率p值分別為0.4310和0.3397，均通過了顯著性水平0.05的K-S檢驗，因此兩個Copula函數均可用于描述投資組合內部的相依結構。

4.1.4 邊際分布模型的選擇與參數估計

⑴均值方程的確定

經我們對八個行業指數的收益率作ADF平穩性檢驗、滯后20階的序列自相關檢驗以及對各指數收益率的GARCH過程進行擬合檢驗后可以確定：（5）式均可作為各指數收益率GARCH模型的均值方程

檢驗表明，對于各行業指數，通過選擇合適的方差方程，（5）式的殘差序列不再存在序列自相關和ARCH效應。

⑵方差方程的確定

我們用GARCH族模型對各行業指數收益率進行擬合。根據AIC和SC信息準則，經過比較選擇，我們確定八個行業指數收益率GARCH模型的方差方程類型見表4。

由此可見，行業指數收益率所服從的條件分布各不相同。根據Eviews軟件的計算，我們得到各行業指數收益率的GARCH模型參數估計檢驗結果如表5。

從均值方程的估計檢驗結果看，各均值方程的截距項在0.05的水平下均不顯著，說明在觀測階段，行業指數收益率與零值無統計上的差異；從方差方程的估計檢驗結果看，各方差方程的GARCH項系數、ARCH項系數以及杠桿系數均通過了顯著性水平0.05的檢驗；我們對均值方程的殘差項進行了檢驗，發現各估計方程的殘差項均不再存在自相關和ARCH效應，因此我們認為，估計出的GARCH族模型可以用來描述實際資產收益率序列的波動。

表3 理論Copula函數的K-S檢驗

表4 各行業指數條件方差方程的選擇

表5 行業指數收益率GARCH模型參數估計檢驗結果

表6 不同方法得到的T+1日投資組合VaR結果比較 （單位：%）

上文中，我們確定了描述資產收益間相依結構的Copula函數，也確定了各資產收益的邊際分布，下面即可通過進行蒙特卡羅模擬法計算投資組合的VaR。

4.2 投資組合VaR的計算與回測檢驗

4.2.1 未來收益分布的模擬與VaR計算

為便于說明，我們令用于計算的觀測樣本最后一日即2009年8月5日為T日。設第T+1日的初始總投資為1，對各行業指數的資金投入平均分配。首先，按照選定的Copula函數生成10000個隨機數，即對應10000個可能的情景，并以各邊際分布的GARCH模型模擬推算各行業指數T+1日的收益率，最后計算出T+1日的投資組合收益率。經過仿真計算，得到以正態Copula-GARCH模型和t-Copula-GARCH模型（ν=8.6262）分別模擬得到的T+1日的投資組合收益率分布直方圖如圖1所示。

經統計檢驗，兩個分布的峰度分別為3.4296和3.4214，J-B統計值分別為79.44和75.64，均顯著不同于正態分布，這符合經驗收益分布的尖峰、厚尾特征。從圖形直觀地觀察，由兩個Copula-GARCH模型分別模擬得到的投資組合收益率分布的差異較小。之后對分別得到的模擬數據進行排頻，并根據設定的置信水平得到投資組合T+1日的風險值VaR。這里設定置信水平分別為95%，97.5%和99%，得到的模擬結果如表6。為便于比較，我們同時給出了歷史模擬法和Riskmetrics參數法的計算結果。

可以看到，由歷史模擬法得到的VaR的絕對值在4個不同的置信水平下均是最大的，以正態假設為基礎的標準Riskmetrics參數法計算得到的VaR的絕對值在4個不同的置信水平下均是最小的，而由Copula-GARCH模型模擬得到的結果介于前二者之間。

4.2.2 回測檢驗及模型的比較

為確定究竟哪種方法更加準確，需要進行回測檢驗。分別以上述四種方法計算了自T+1日至T+100日的8個行業指數投資組合的VaR，其中歷史模擬法和Riskmetrics法以經驗數據推算，Copula-GARCH方法以蒙特卡羅模擬法推算投資組合收益未來100天的10000條路徑，然后對模擬得到的每日的投資組合收益率進行排頻，最后根據設定的置信水平得到VaR。自T+1日至T+100日共100天的VaR回測結果見圖2和表7。

表7 八行業指數投資組合的VaR回測檢驗結果

回測結果分析：

⑴在95%的置信水平下，由歷史模擬法、Riskmetrics、正態Copula-GARCH及t-Copula-GARCH蒙特卡羅模擬四種方法預測得到的VaR在后來的100天內分別失敗了3次、6次、5次和5次，回測結果均通過了Kupiec檢驗，可見在95%的置信水平下，上述四種方法都可以用來預測投資組合的VaR。從LR統計量的相伴概率p值來看，兩個Copula-GARCH模型的表現最好，而Riskmetrics模型也表現良好，歷史模擬法則稍劣于前三種模型。

從經濟角度看，以Riskmetrics方法計算VaR最節約風險資本，運用Copula-GARCH模型較Riskmetrics方法要平均增加8.83%的風險準備，以歷史模擬方法進行風險控制的機構則需要較Riskmetrics方法增加37.89%的風險準備。

⑵在97.5%的置信水平下，由四種方法預測得到的VaR在后來的100天內分別失敗了2次、5次、4次和4次，回測結果也都通過了Kupiec檢驗。從LR統計量的相伴概率p值來看，歷史模擬法表現最好，兩個Copula-GARCH模型的表現也不錯，而Riskmetrics模型則稍顯低估了風險。

從經濟角度看，以Riskmetrics方法計算VaR仍然最節約風險資本，運用正態Copula-GARCH模型或t-Copula-GARCH模型較運用Riskmetrics方法要平均增加11.72%和12.44%的風險準備，而以歷史模擬方法進行風險控制的機構需要較Riskmetrics方法增加38.04%的風險準備。

⑶在99%的置信水平下，由四種方法預測得到的VaR在后來的100天內分別失敗了0次、4次、1次和1次，Riskmetrics方法不能通過顯著性水平為0.05的Kupiec回測檢驗，已不能運用于中國股票市場投資組合的風險控制。從LR統計量的相伴概率p值來看，正態Copula-GARCH及t-Copula-GARCH模型的表現一樣好，由其計算出的VaR正好覆蓋了后來100天內的99天的風險，而歷史模擬法又再次表現出一定的高估風險的跡象。

從經濟角度看，由于Riskmetrics方法已不能準確刻畫99%置信水平下的投資組合風險，因此我們只比較其他三種方法。從得到的VaR的均值看，正態Copula-GARCH模型在三者中是最經濟的，但運用t-Copula-GARCH模型也僅僅較前者平均增加1.57%的準備金，而以歷史模擬方法進行風險控制的機構則需要較運用正態Copula-GARCH方法的機構增加22.16%的風險準備資本金。

5 結論

在本研究中，歷史模擬法無論是在三種置信水平下都是經濟成本最高的模型，這與觀測期內有較多大的波動而回測期內波動減小有直接關系。從VaR的回測圖形及標準差可以看出，由歷史模擬法得到的VaR變動很小，不能快速反映市場風險的變化，這樣，當市場從大波動期向小波動期轉換時，歷史模擬法會高估市場風險，增大金融機構成本，而在市場從小波動期向大波動期轉換時，又會低估市場風險，引發金融機構風險。

其他三種模型均可快速反映市場波動的變化。基于正態資產收益分布正態假設的Riskmetrics模型在較低的置信水平下是良好的、經濟的風險控制模型，但其缺點是在高置信水平下會明顯低估市場風險，這對于金融機構是危險的。而正態Copula-GARCH模型和t-Copula-GARCH模型雖然沒有Riskmetrics模型經濟，但其在各置信水平下都能比較準確地覆蓋風險，綜合比較起來，Copula-GARCH模型是金融機構測度投資組合VaR的理想方法。就這兩種Copula-GARCH模型而言，兩個模型的波動刻畫能力在總體上差異很小。正態Copula模型在計算時相對容易，而t-Copula模型則對市場極端的波動更加敏感一些，二者各有優劣，金融機構可根據自己的偏好選擇使用。

[1]Sklar A.Fonctions de RepartitionànDimensionsetLeurs Marges[J].Publication de l'Institut de Statistique de l'Université de Paris,1959,(8).

[2]Nelsen R B.An Introduction to Copulas[M].New York:Springer,1998.

[3]張堯庭.連接函數技術與金融風險分析[J].統計研究,2002,(4).

[4]張堯庭.我們應該選用什么樣的相關性指標[J].統計研究,2002,(9).

[5]Durrleman V,Nikeghbali A,Roncalli T.Which Copula is the RightOne?[C].Working Paper，Groupe de Recherche Operationnelle.Credit Lyonnais，France，2000.

[6]Okaes D.Semiparametric Inference in a Model for Association in Bivariate Survival Data[J].Biometrika，1986，73(2).

[7]Deheuvels P.A Non-parametric Test for Independence[J].Publications de 1’Institut de Statistique de 1’Universite de Paris,1981,(26).

（責任編輯/浩 天）

F224.9

A

1002－6487（2011）03－0037-04

趙 鵬（1976-），男，河南鄭州人，博士研究生，研究方向：金融理論與貨幣政策、金融風險管理。