模糊判斷矩陣最優(yōu)化排序方法研究綜述

和媛媛，鞏在武

(南京信息工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,南京210044)

模糊判斷矩陣最優(yōu)化排序方法研究綜述

和媛媛，鞏在武

(南京信息工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,南京210044)

文章研究基于模糊判斷矩陣的方案排序問題。根據(jù)完全一致性模糊判斷矩陣的特性，依據(jù)不同的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)建立幾種求解排序向量的最優(yōu)化模型，從而解決具有滿意一致性的模糊判斷矩陣的方案排序問題，并對常用最優(yōu)化排序方法進(jìn)行了總結(jié)，初步分析了各種方法排序結(jié)果的合理性。

模糊判斷矩陣;一致性;最優(yōu)化模型;方案排序

近年來，許多學(xué)者針對模糊判斷矩陣排序問題進(jìn)行了大量的研究。文獻(xiàn)[1]從最優(yōu)化角度提出了模糊判斷矩陣排序的權(quán)的最小平方法，并給出了嚴(yán)格的理論證明。同時，基于轉(zhuǎn)換矩陣提出了模糊判斷矩陣排序的特征向量法，給出了其相應(yīng)的迭代算法及互補(bǔ)判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)方法。文獻(xiàn)[2]針對Fuzzy偏好關(guān)系建立了最優(yōu)化模型，并通過求解該模型得到方案的參考排序值，使得最終方案的排序結(jié)果最大程度地反映決策者的偏好。文獻(xiàn)[3]利用正互反判斷矩陣與模糊判斷矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系，探討了模糊判斷矩陣的兩種排序方法——對數(shù)最小二乘法和對數(shù)最小一乘法。在上述研究工作的基礎(chǔ)上，本文針對基于模糊判斷矩陣的方案排序問題，建立幾種求解排序向量的最優(yōu)化模型，并對常用最優(yōu)化排序方法進(jìn)行歸納總結(jié)和分析，致力于為決策者選擇合理的方案決策方法提供理論依據(jù)。

1 相關(guān)概念

考慮一個有限的決策方案集(或指標(biāo)集)X={xi|i=1,2,…，n}，記N={1,2,…，n}，其中xi(i∈N)表示第i個決策方案。在對方案進(jìn)行排序時，決策者針對方案集X提供的偏好信息是由一類用實(shí)數(shù)值表示的模糊判斷矩陣給出的。下面給出模糊判斷矩陣及其一致性的一些描述。

定義1[4]稱直積X'X上的一個模糊子集P∶X×X→[0,1]或?yàn)閄中的(二元)模糊關(guān)系。記pij=μp(xi,xj)，pij表示方案xi優(yōu)于方案xj的相對重要程度，具體規(guī)定如下：

(1)pij=0.5，表示xi與xj同樣重要;

(2)0≤pij≤0.5，表示xj比xi重要，且pij越小，xj比xi越重要;

(3)0.5

定義2[4]設(shè)二元對比矩陣P=(pij)n×n，若滿足下列性質(zhì)：

(1）Pii=0.5，?i∈N；

(2）pij+pji=1，?i,j∈N,i≠j.

則稱矩陣P為模糊判斷矩陣。其中，性質(zhì)(2)表示矩陣P具有互補(bǔ)性。

文獻(xiàn)[1]給出了模糊判斷矩陣的完全一致性定義。

定義4[1]對于模糊判斷矩陣P=(pij)n×n，若?i,j,k∈N,i≠j≠k.有pikpkjpji=pkipjkpij，則稱判斷矩陣P具有完全一致性。

2 最優(yōu)化排序方法綜述

2.1 最優(yōu)化排序方法

設(shè)A=(aij)n×n為互反判斷矩陣，P=(pij)n×n為模糊（互補(bǔ)）判斷矩陣，則通過轉(zhuǎn)換公式可得互反判斷矩陣A=(aij)n×n。若P=(pij)n×n為完全一致性模糊判斷矩陣，則通過公式轉(zhuǎn)換得到的互反判斷矩陣A=(aij)n×n亦是完全一致性判斷矩陣。對于(完全一致性)互反判斷矩陣A=(aij)n×n，則通過轉(zhuǎn)換公式[1]可得(完全一致性)互補(bǔ)判斷矩陣P=(pij)n×n。

設(shè)ω=(ω1,ω2,…，ωn)T是互反判斷矩陣A=(aij)n×n的排序向量,其中當(dāng)A為完全一致性互反判斷矩陣時，則有由轉(zhuǎn)換公式，有pij=，i,j∈N，則P是完全一致性模糊判斷矩陣。根據(jù)完全一致性模糊判斷矩陣的特性，有

據(jù)此可導(dǎo)出如下幾個等式成立：

若P是非一致性判斷矩陣，則上述等式均不成立。為了求解方案的排序向量，根據(jù)不同的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)，給出以下幾種最優(yōu)化排序方法：

（1）權(quán)的最小平方法（WLSM）

當(dāng)判斷矩陣P不具有完全一致性，式(2)的等號不成立，則希望求得的排序向量ω=(ω1,ω2,…，ωn)T能夠使ωi盡量逼近于，從而構(gòu)造下列最優(yōu)化模型：

利用Lagrange乘子法解上述有約束的純量優(yōu)化問題[5]，得到優(yōu)化模型的解為

ω=Q-1e/eTQ-1e

其中，e=(1,1，…，1)T，

根據(jù)矩陣?yán)碚摚愃朴谖墨I(xiàn)[6]的證明，可證得Q是正定矩陣，且Q-1非負(fù)，故有ω>0。

（2）最小二乘法（LSM）

上述模型是非線性最小二乘問題，文獻(xiàn)[7]給出了求解該優(yōu)化模型的簡潔的收斂迭代算法。

（3）對數(shù)最小二乘法（LLSM）

根據(jù)文獻(xiàn)[8]求解互反判斷矩陣的對數(shù)最小二乘優(yōu)化模型的方法，同理可解得上述優(yōu)化模型的解為

（4）幾何最小二乘法（GLSM）

基于文獻(xiàn)[9]提出的幾何最小二乘的思想，考慮式(2)的幾何意義，希望找到某點(diǎn)ω使得ω至式(2)所示平面方程的平方距離和最短，為此構(gòu)建以下模型：

其中

（5）χ2方法（CSM）

文獻(xiàn)[10]在偏差函數(shù)中引入了數(shù)量統(tǒng)計(jì)中χ2擬合的優(yōu)化準(zhǔn)則，提出了互反判斷矩陣的χ2排序方法。根據(jù)χ2排序方法的基本原理，在偏差函數(shù)中引入χ2擬合的優(yōu)化準(zhǔn)則，構(gòu)造下列優(yōu)化模型：

文獻(xiàn)[11]給出了求解該最優(yōu)化模型的收斂性迭代算法。

（6）擴(kuò)展最小二乘法（ELSM）

文獻(xiàn)[12]給出了求解判斷矩陣的擴(kuò)展最小二乘方法的收斂性迭代算法，同理上述模型亦可用該文獻(xiàn)給出的迭代算法求解排序向量。

（7）最小偏差法（LDM）

基于式(5)，依據(jù)文獻(xiàn)給出的互反判斷矩陣最小偏差法，構(gòu)造下列優(yōu)化模型：

文獻(xiàn)[13]證明了最小偏差法優(yōu)化模型的極小值的存在性與唯一性，并提出了LDM的收斂性迭代算法。

（8）最小平方幾何距離法（LSGM）

根據(jù)文獻(xiàn)[14]提出的點(diǎn)平面距離法的基本思想，給出下列優(yōu)化模型：

令B=(bij)n×n，其中

利用文獻(xiàn)[14]導(dǎo)出的點(diǎn)平面距離法的排序公式，解上述優(yōu)化模型可得

ω=(BTB)-1e/eT(BTB)-1e

（9）基于Fuzzy偏好關(guān)系的排序方法[2]（FRM）

文獻(xiàn)[2]給出了一個基于Fuzzy偏好關(guān)系的方案排序方法，構(gòu)造了下列帶有約束的最優(yōu)化模型

并利用Lagrange乘子法求得上述模型的解為

其中，

(10)互補(bǔ)判斷矩陣排序的權(quán)的最小平方法[1]（CWLSM）

一般地，式(3)中等式不總能成立，為此文獻(xiàn)[1]引入偏差項(xiàng)fij=pjiωi-pijωj，i,j∈N，并構(gòu)造偏差函數(shù)

顯然，偏差函數(shù)越F(ω)小越好，從而構(gòu)建以下優(yōu)化模型[1]：

文獻(xiàn)[1]通過Lagrange乘子法解得排序向量為

其中，

(11)互補(bǔ)判斷矩陣的對數(shù)最小二乘法[3]（CLLSM）

文獻(xiàn)[3]依據(jù)式(1)，引入擾動函數(shù)qij，有由擬合的角度考慮，使qij盡量接近于1，利用極小化函數(shù)來達(dá)到，給出下列優(yōu)化模型：

解此優(yōu)化模型得

3.2 排序方法比較分析

針對上一節(jié)列舉出的目前常見的幾種模糊判斷矩陣最優(yōu)化排序方法，下面將對上述排序方法進(jìn)行歸納總結(jié)和比較分析。事實(shí)上，根據(jù)模糊判斷矩陣與互反判斷矩陣之間的轉(zhuǎn)換公式，雖然轉(zhuǎn)換前后的兩種判斷矩陣在形式上發(fā)生了變化，但任意兩個方案之間的優(yōu)劣關(guān)系卻沒有改變，原有偏好信息的特征被完整地傳遞到新的判斷矩陣中。所以，可將轉(zhuǎn)換公式直接代入互反判斷矩陣的最優(yōu)化模型中，從而得到模型(M1)—(M8)。因此，上述模型的求解方法、一致性檢驗(yàn)均與互反判斷矩陣是一致的。比如模型(M3)可看作將公式直接代入互反判斷矩陣的對數(shù)最小二乘法而得到的，而模型(M11)與之相比較可以看出，在對數(shù)運(yùn)算規(guī)則下CLLSM與LLSM兩種方法是相同的。由此可見，模糊判斷矩陣的LLSM方法可以由互反判斷矩陣的LLSM法直接代入即可。

另外，比較模型(M9)與(M10)，由于模糊判斷矩陣P=(pij)n×n的互補(bǔ)性，即pji=1-pij，則有pjiωi-pijωj=ωi-(ωi+ωj)pij，故模型(M10)與模型(M9)是相同的。并且兩個模型各自對應(yīng)的解中矩陣Q2與Q1只相差一個系數(shù)，即有Q1=2Q2，所以有因此，F(xiàn)RM與CWLSM兩種方法是完全相同的，故可將兩種方法統(tǒng)稱為CWLSM。

基于上述分析，模糊判斷矩陣的最優(yōu)化排序方法的排序效果及保序性都應(yīng)與互反判斷矩陣相應(yīng)方法一致。因此，根據(jù)文獻(xiàn)[15]對各種互反判斷矩陣的排序方法的效果的研究、總結(jié)，可得出CSM是排序效果最好的一種排序方法，且排序效果較好的排序算法有LSM、LLSM、LDM，而排序效果比較差的排序算法有WLSM、GLSM以及CWLSM。除此之外，對排序方法的比較還應(yīng)考慮算法的保序性。Saaty T L指出，當(dāng)判斷矩陣不完全一致時，保序性是決定排序方法優(yōu)劣的重要準(zhǔn)則[16]。根據(jù)文獻(xiàn)[17]對各種判斷矩陣最優(yōu)化排序方法的保序性的理論分析，可以得到CSM、ELSM、LSGM具有良好的保序性。綜上所述，χ2方法（CSM）是相對最好的模糊判斷矩陣的最優(yōu)化排序方法。

3 結(jié)論

本文針對模糊判斷矩陣的方案排序問題，根據(jù)模糊判斷矩陣與互反判斷矩陣之間的轉(zhuǎn)換公式，將多種互反判斷矩陣的最優(yōu)化排序方法推廣至模糊判斷矩陣決策領(lǐng)域，并對常用最優(yōu)化排序方法進(jìn)行了總結(jié)，并初步分析各種方法排序結(jié)果的合理性，從而為決策者選擇合理的方案決策方法提供了理論依據(jù)。顯然，由于最優(yōu)化模型求解算法的復(fù)雜性，關(guān)于模糊判斷矩陣的最優(yōu)化排序方法的比較分析還有待今后更深入的比較研究。

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N945.25;O223

A

1002－6487（2011）07－0165-04

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(70901043)

和媛媛(1981－),女,山東泰安人,博士,研究方向:決策分析、系統(tǒng)工程。

(責(zé)任編輯/浩天)