帶有 p-Lap lacian算子的二階微分方程組多個正解的存在性

王 斌,江衛華,黃曉芹,李國剛

(1.河北化工醫藥職業技術學院基礎部,河北石家莊 050026;2.河北科技大學理學院,河北石家莊 050018)

帶有 p-Lap lacian算子的二階微分方程組多個正解的存在性

王 斌1,江衛華2,黃曉芹2,李國剛2

(1.河北化工醫藥職業技術學院基礎部,河北石家莊 050026;2.河北科技大學理學院,河北石家莊 050018)

利用五個泛函的不動點定理,研究帶有 p-Lap lacian算子的二階微分方程組分別在3種邊界條件下至少3個正解的存在性,并給出例子驗證所得結論。

p-Lap lacian算子;五個泛函的不動點定理;錐;正解

對于帶有 p-Lap lacian算子的微分方程的研究已有很多結論[1-4],文獻[1-2]分別利用錐上的不動點定理和五個泛函的不動點定理研究了帶有 p-Lap lacian算子的二階微分方程正解的存在性。文獻[3-4]分別利用錐上的不動點指數理論和錐拉伸和錐壓縮不動點定理給出了帶有 p-Lap lacian算子的微分方程組邊值問題至少1個正解存在的條件,筆者利用五個泛函的不動點定理研究帶有 p-Lap lacian算子的二階微分方程組

分別在

的邊值條件下至少有3個正解的存在性,其中φp(v)=|v|p-2v。

1 主要結果

以下用到的基本概念和定理見文獻[5]。假設如下條件成立:

H1)f,g:[0,1]×[0,∞)×[0,∞)→[0,∞)是連續的;

H2)B0(v)和B1(v)是2個定義在 R的連續奇函數,并且存在 m>0,使得對所有 v≥0,有0≤Bj(v)≤m v,j=0,1;其中ψp是φp的反函數。易知A為全連續算子,且(x,y)為問題(1)和(2)的解的充分必要條件是(x,y)是A的不動點。

則問題(1)和(4)至少存在3對正解(xi,yi),滿足

證明 定義全連續算子 T2為

類似定理1證明可得結論成立。

2 示 例

考慮下列邊值問題:

其中

[1] WANG Jun-yu.The existence of positive solutions for the one-dimensional p-Lap lacian[J].Proceedings of the American Mathematical Society,1997,125(8):2 275-2 283.

[2] GUO Yan-ping,GEWei-gao.Three positive solutions for the one-dimentional p-Laplacian[J].J Math Anal Appl,2003,286:491-508.

[3] 王 芳,鐘承奎,王彩勛.一類一維奇異 p-Laplacian方程組邊值問題正解的存在性[J].蘭州大學學報(自然科學版)(Journal of Lanzhou University(Natural Sciences)),2009,45(1):103-106.

[4] 田元生,劉春根.p-拉普拉斯四點邊值問題擬對稱正解的多重性[J].系統科學與數學(Journal of System Science and Mathematical Science),2010,30(3):349-357.

[5] ZHANGB,L IU X.Existence of multiple symmetric positive solutions of higher order Lidstone p roblems[J].J Math Anal Appl,2003,284:672-689.

Existence of multiple positive solutions of second-order differential system s w ith p-Laplacian

WANGBin1,JIANGWei-hua2,HUANG Xiao-qin2,L IGuo-gang2

(1.Department of Basic Courses,Hebei Professional and Technological College of Chemical and Pharmaceutical Engineering,Shijiazhuang Hebei 050026,China;2.College of Sciences,Hebei University of Science and Technology,Shijiazhuang Hebei 050018,China)

Using five functions fixed point theorem,we p rove the existence of at least three positive solutions to second-order system s w ith p-Lap lacian under three kindsof boundary conditions,respectively.We give an examp le to illustrate our result.

p-Laplacian operator;five functions fixed point theo rem;cone;positive solution

O152.7

A

1008-1542(2011)01-0015-05

2010-06-15;

2010-10-10;責任編輯:張 軍

國家自然科學基金資助項目(10875094);河北省自然科學基金資助項目(A2009000664)

王 斌(1964-),男,河北石家莊人,副教授,主要從事微分方程方面的研究。