馬克思再生產模型中的最高、最低積累率

陶為群

（中國人民銀行南京分行，江蘇 南京 210004）

馬克思再生產模型中的最高、最低積累率

陶為群

（中國人民銀行南京分行，江蘇 南京 210004）

馬克思的兩部類再生產模型中的各部類和全社會最高與最低積累率問題，是尚未獲得完滿解決的難點問題。本文運用單調函數的性質和求函數最大、最小值方法，通過解析，給出了靜態意義下的各部類和全社會最高及最低積累率與兩個部類結構參數的函數關系式。并且引用和借鑒《資本論》中的舉例，對給出的函數關系式做了算例驗證。

馬克思再生產模型；積累率；最大、最小值；結構參數；單調函數

1 引言

馬克思的擴大再生產理論與模型對于研究國民經濟運行的規律具有基礎性指導意義。積累是擴大再生產的源泉，因而其中的兩個部類積累率之間關系的問題，以及與此相連的全社會積累率高低界限問題，都是非常重要的內容，也是經過多年研究、至今尚未獲得完滿解決的難點問題。解決這個問題對于將模型加以控制和優化都是必須的。難點主要在于，兩個部類的產品實現和積累相互依賴和約束，因此兩個部類的積累率高低界限問題無法分割，必須一同解決。張忠任（2006）研究馬克思再生產體系的兩個部類積累率的調節機制時，明確給出了消費資料部類積累率的表達式，以及生產資料部類的最大積累率表達式，但他認為整個調節過程是從首先確定生產資料部類的積累率開始，消費資料部類積累率是生產資料部類積累率的函數[1]。陶為群、陶川(2010、2011)研究馬克思的兩部類再生產模型時，引入兩個部類新創造價值之比例關系作為結構參數，與各部類的資本有機構成和剩余價值率一起，共同完整地反映了馬克思兩部類經濟增長模型的結構[2]，并明確給出了兩個部類積累率之間的相互約束關系式[3]。由于馬克思的擴大再生產模型是一個特別的兩部類經濟增長模型，因而各部類的積累率必然存在高低界限；于是由兩個部類積累率加權形成的全社會的積累率也必然存在高低界限；各部類積累率、全社會積累率的高低界限應當是這個模型的結構參數的函數。

2 對馬克思兩部類經濟增長模型的結構的辨識

馬克思經濟增長理論和模型建立在勞動價值論的基石之上，含有價值構成原理和實物構成原理。價值構成原理在社會產品價值上的體現是，產品的全部價值由生產它所消耗的生產資料價值、勞動力價值和剩余價值三部分構成。實物構成原理在社會生產上的體現是，劃分成分別生產生產資料、消費資料的兩大部類。經濟增長以社會總產品的實現為前提，這個實現過程必須通過兩個部類之間的產品等價交換完成。資本積累是剩余價值轉化成資本，是經濟增長的源泉。馬克思兩部類經濟增長模型設定了經濟增長過程中各部類的資本有機構成和剩余價值率不變，那么在每個部類內部，不變資本、可變資本、剩余價值、新創造價值之間都保持著固定不變關系，因而兩個部類之間任一個對應部分之間的比例關系，都足以表現整個部類之間的比例關系。陶為群、陶川（2010）為了便于和現代經濟增長模型比較，用兩個部類新創造價值之間的比例關系從總體上反映兩個部類之間的比例關系。分別以C，V，M，Y表示不變資本、可變資本、剩余價值、新創造價值，則Y=V+M；以下標Ⅰ、Ⅱ表示生產資料部類和消費資料部類，上標（t）表示第t年。用h=C/V表示資本有機構成，e、μ分別表示剩余價值率、剩余價值積累率，這些結構參數再加上t年兩個部類新創造價值之間的比例關系，就共同完整地反映了馬克思兩部類經濟增長模型的特殊結構[2]。

3 部類間產品交換確立了兩個部類積累率之間的函數關系

由于馬克思兩部類經濟增長模型中設不變資本的周轉周期為1年，因而固定資產折舊已經計入生產資料消耗之中，當年新創造價值對應于統計上的國內生產凈值。對確定了含義的字母前面加符號△表示增量。按照馬克思擴大再生產理論，積累來自剩余價值，分解為△C和△V兩個部分。包括完成積累的社會總產品實現，必須經過兩個部類之間的產品交換，并且在產品交換時生產資料生產部類對消費資料的全部需求，等于消費資料生產部類對生產資料的全部需求。這一交換等式可以表示成：

一個也就被隨之確定，不應看作誰被誰決定。或者說，可以任取二者之一作為自變量，讓另一個成為其函數。 現在不妨取作為自變量，根據每個部類內部不變資本、可變資本、剩余價值、新創造價值之間的關系式和φ（t）的定義，將用參數確定的部類結構關系式帶入（2）式，可得到兩個部類的積累率之間的函數關系：

4 運用求函數最大、最小值方法確定每個部類最高、最低積累率

對于某個取定的t年，兩個部類新創造價值之比例關系φ（t）是個已經被確定的數值；而φ（t）可以取不同值。 因為同樣，由（4）、（5）兩式可解得作為對應的必要條件時，φ（t）的取值區間是：

5 運用求函數最大最小值方法確定全社會最高、最低積累率

5.1 在第Ⅰ部類有機構成高情形下確定全社會最高積累率

從（14）式看出：當第Ⅰ部類有機構成高即 hⅠ＞hⅡ時，全社會積累率 μ（t）是的單調增函數。 這是由于，根據（1）式△C（t）是已經相對被確定的，當 hⅠ＞hⅡ時消費品部類的有機構成低，增大意味著匹配增大該部類的新增可變資本△，因而增大全社會新增可變資本△V（t），就會提高全社會積累率。所以取值越大，全社會積累率 μ（t）越高。 將（14）式中的換成用（9）式表示的 Max（）帶入，得到 μ（t）的最大值 Max（μ（t））表達式：Max（μ（t））

5.2 在第Ⅱ部類有機構成高情形下確定全社會最高積累率

同樣從（14）式看出：當第Ⅱ部類有機構成高即 hⅠ＜hⅡ時， μ（t）是的單調減函數，越小則 μ（t）越大。 這是由于，（1）式中△C（t）是已經相對被確定的，相對減少意味著增大，hⅠ＜hⅡ時投資品部類的有機構成低，意味著必須匹配增大該部類的新增可變資本△因而增大全社會新增可變資本△V（t），從而會提高全社會積累率。所以取值越小，全社會積累率 μ（t）越高。 將（14）式中的換成用（11）式表示的 Min帶入，得到 μ（t）的最大值 Max（μ（t））表達式。Max（μ（t））

這時對于某個取定的t年，全社會積累率μ（t）是個確定的數值，與

5.3 在兩個部類有機構成相同情形下確定全社會最高積累率

根據（14）式，當兩個部類有機構成相同即h=h時，取值大小都無關， μ（t）也就是積累率最大值Max（μ（t））。這是因為兩個部類有機構成相同，每個部類的新增可變資本都是按照新增不變資本的1/hⅡ（1/hⅠ）比例匹配的；（1）式中全社會新增不變資本△C（t）是已經被確定的，所以全社會新增可變資本△V（t）也是按照△C（t）的 1/hⅡ匹配的，是個確定的數值；所以全社會積累率 μ（t）成為確定的數值。但是對于不同的年份 t，Max（μ（t））=μ（t）同樣可以看作是φ（t）的一元函數。

從Max（μ（t））的表達式看到，不管第Ⅰ、Ⅱ部類有機構成高低相比較怎樣不同，全社會最高、最低積累率都與兩個部類的資本利潤率有關。綜合以上關于第Ⅰ、Ⅱ部類有機構成高低比較的3種不同情形的解析，由于全社會積累率 μ（t）是的單調函數，同時的最大、最小值都可以看作是φ（t）的函數，所以，全社會積累率最大值 Max（μ（t））就可以看作是φ（t）的復合一元函數。 并且，Max（μ（t））是φ（t）的單調減函數。

5.4 區分不同情形確定全社會最低積累率

與以上關于第Ⅰ、Ⅱ部類有機構成高低比較的3種不同情形分析的方法相同，能夠分別獲得全社會積累率最小值 Min（μ（t））的表達式。當第Ⅰ部類有機構成高即 hⅠ＞hⅡ時，全社會積累率 μ（t）是的單調增函數，這時 Min（μ（t））的表達式與 hⅠ＜hⅡ情形下的 Max（μ（t））表達式完全相同；當第Ⅱ部類有機構成高即 hⅠ＜hⅡ時，μ（t）是的單調減函數，這時 Min（μ（t））的表達式與 hⅠ＞hⅡ情形下的 Max（μ（t））表達式完全相同；當兩個部類有機構成相同即hⅠ=hⅡ時，對于某個取定的t年，全社會積累率μ（t）是個確定的數值，與μ取值大小無關，Min（μ（t））的表達式與 μ（t）的表達式（17）完全相同。 綜合關于第Ⅰ、Ⅱ部類有機構成高低比較的 3種不同情形的解析，全社會積累率最小值 Min（μ（t））都可以看作是φ（t）的減函數。

表1 引用和借鑒《資本論》第二卷第二十一章中算例驗證

6 引用和借鑒《資本論》的算例驗證

下面引用和借鑒馬克思《資本論》第二卷第二十一章中的舉例，對以上論述與推導的部分關系式進行算例驗證，結果列于表1。馬克思在《資本論》第二卷第二十一章中舉了個的第二例，通過計算來說明兩個部類的擴大再生產過程。在這個第二例當中，馬克思設定基年的兩個部類結構參數是：hⅠ=5，hⅡ=5.0175，eⅠ=eⅡ=1。該例作了連續4年的擴大再生產計算。現在直接引用對前3年的計算結果列在表1中，作為全社會一般積累率的情形，與本文給出的全社會積累率最小值的情形對比。本文使用該例第1年的本原數據，僅僅換成按照本文給出的全社會積累率最小值算式條件，取值；再分別按照列出的算式，相應獲得全社會積累率最小值和第Ⅰ部類積累率值；照此以各部類自身的縱向傳遞關系計算3年，計算結果列在表1中，驗證了算出的各年全社會積累率都低于相應的馬克思例示積累率。算例也驗證了本文指出的積累率最小值可以看作是φ（t）的嚴格減函數的結論。

綜合以上研究有幾點結論：第一，由于馬克思的擴大再生產模型是一個具有特別結構的兩部類經濟增長模型，兩個部類的積累率是互相依賴、互為約束的，因而各部類積累率都有最大、最小值。第二，對于不同的年份t，兩個部類的積累率，的最大、最小值都可以看作是兩個部類新創造價值之比例φ（t）的一元單調函數，意味著為了實現兩個部類的擴大再生產或者簡單再生產，，取值都受到兩個部類新創造價值之比例關系的約束。第三，為了實現兩個部類的擴大再生產或者簡單再生產，任何年份φ（t）的取值都必須有上下界限。第四，由于全社會積累率是兩個部類積累率的加權平均數，因而也有最大、最小值，并且最大、最小值也都可以看作是φ（t）的一元單調函數。引入兩個部類新創造價值之比例關系φ（t）作為結構參數至關重要。實際上通過將兩個部類產出相對化，簡化為相當于單一部類的結構。總的來說，各部類積累率、全社會積累率的最大、最小值都是由兩部類經濟增長模型之結構參數所決定。當在動態意義下，兩個部類新創造價值之比例φ（t）會隨著此前年份的取值和兩個部類的積累而變化，所以這種情形下的兩個部類和全社會最高、最低積累率需要另做研究。

[1]張忠任.數理政治經濟學[M].北京:經濟科學出版社，2006.

[2]陶為群、陶川.馬克思經濟增長模型中的儲蓄與勞動就業關系[J].當代經濟研究，2010，（7）.

[3]陶為群、陶川.馬克思經濟增長模型中的特征值及其理論蘊含[J].經濟評論，2011，（3）.

[4]馬克思.資本論（第二卷）[M].北京:人民出版社，2004.

[5]陶為群.總供給總需求平衡與兩部類再生產的相合性[J].經濟師，2011，(1).

THE HIGHEST AND LOWEST RATE OF ACCUMULATION IN MARX′S REPRODUCTION MODEL

TAO Wei-qun
（Nanjing Branch,The People′s Bank of China,Nanjing Jiangsu 210004）

It is a difficult question which has not solved satisfactorily that the highest and lowest rate of accumulation in Marx′s reproduction model.By means of analyzing,and using the property of monotone function and method of seeking the maximum and minimum of a function, this paper gives function expressions about the relation of the highest and lowest rate of accumulation of each social production department and whole society with structural parameters of two departments,by meaning of static state.Finally,with reference to the Das Kapital,the paper exemplifies the above-mentioned.

Marx′s reproduction model;the rate of accumulation;maximum and minimum;structural parameters;monotone function

F0-0

A

1672－2868（2011）04－0025－07

2011-04-18

陶為群（1955-），男，江蘇南京人。中國人民銀行南京分行高級經濟師,安徽大學、安徽財經大學兼職教授，研究方向：社會再生產理論、數量經濟。

責任編輯：澍 斌