分段函數在分段點的求導

陳佩樹

（巢湖學院，安徽 巢湖 238000）

分段函數在分段點的求導

陳佩樹

（巢湖學院，安徽 巢湖 238000）

分段函數的可導性問題是高等數學中的一個重點和難點.本文研究分段函數在分段點的可導性、導數的求法,并給出相應的例子。

分段函數；導數；連續

分段函數是一類常見的函數，雖然有的分段函數在每一段上的表達式都不復雜，但是分段函數在分段點的極限是否存在、是否連續以及是否可導等問題都比一般初等函數復雜的多,常常讓初學者感到一片茫然，搞不清其中的關系.由于分段函數在分段點的左右極限之間關系復雜，在分段點可能連續也可能不連續，有可能可導也有可能不可導，下面從三個定理出發，對分段函數在分段點的可導進行研究并給出相應的例子.

定理 1[1]若 f（x）在 x0處可導，則 f（x）在 x0處連續.反之，若 f（x）在 x0處不連續，則 f（x）在 x0處不可導.但即使f（x）在x0處連續，在 處也未必可導.

（1） 滿足什么條件時，f（x）在 x=0 連續；

（2） 滿足什么條件時，f（x）在 x=0 可導；

（3） 滿足什么條件時，f′（x）在 x=0 連續.

注：從上面例可以看出，當m≥1時，f（x）在x=0連續，但當m≥1時，f（x）在x=0未必可導，只有當m≥2時，f（x）在x=0才可導.即說明了f（x）在x=0處連續并不能確保f（x）在x=0處可導，另一方面也驗證了f（x）在x=0處可導，則f（x）在x=0處一定連續.極限、連續、導數的概念是關系到學生能否學好微積分的極其重要、最基本的概念.

解：當 x≠0 時，f′（x）=3x2，由于則有函數 f（x）在 x=0 處左右極限不相等，顯然有f（x）在x=0處不連續.從而f（x）在x=0處不可導.綜上所述，當x≠0時，f′（x）=3x2，且 f（x）在 x=0 處不可導.

定理 2[1]存在當且僅當 f-′（x0），f+′（x0）存在，且有 f-′（x0）=f+′（x0）=f′（x0）

注：定理2說明了若分段函數在分段點的左右導數雖然存在但不相等或至少有某一側導數不存在，那么分段函數在這一分斷點的導數就不存在.

楊凱讓司機開車帶著錢按照綁匪指定的地點駛去，在連續轉換了三個交錢地點之后，綁匪把司機指引到六環邊的一條小河邊，讓司機將裝錢的旅行包放在小橋中間后離開。此時已是傍晚7點，楊梅見綁匪已經拿到錢，最擔心綁匪殺人滅口，她不敢觸動綁匪的神經，只是輕輕咳了一聲。操著北京口音的綁匪回頭一看，扭頭對東北口音的綁匪說：“哥，這女孩說得有道理，咱不能把事鬧大了，不然不好收場，錢拿到了，送這女孩回去吧。”東北口音的綁匪想了想說：“那好吧。”隨后，兩個綁匪在南三環的一家汽配城門口停下車，把手機還給楊梅，開車離開。

注：此題是首先判斷函數在分段點連續，再通過求分段點兩側導數的極限存在且相等，進一步地有此函數在分段點兩側的導數存在且相等.故有函數在此分段點可導，且求出其導數.但是，分段點兩側的導數的極限存在是分段點可導的充分條件而非必要條件.

進一步考察f（x）在x=2點的導數：

所以 f-′（2）≠ f+′（2），即 f（x）在 x=2 處不可導.

注：雖然f（x）在x=2處連續，但是f（x）在x=2處不可導.如果直接地對例5中函數f（x）中的分段函數進行求導，得到進而想當然地認為f′（2）=2，那就出錯了.只有當 f+′（2）=f-′（2）=2 的情況下，才有f′（2）=2.而實際上 f-′（2）=2；f+′（2）=4.利用左右導數來確定分段函數在分段點處的導數是行之有效的方法，在實際解題中必須小心謹慎.

證明：?x∈（x0-δ，x0），由于f（x）在 x=x0處連續，g（x）在（x0-δ，x0）內可導.所以 g（x）在[x，x0]上連續且在（x，x0）內可導.由微分中值定理知?ξ∈（x，x0），使得由于當時，必有

即 f-′（x0）存在且有

通過該定理我們可以直接求解一些分段函數在分段點的的導數問題.

（1）如果分段函數在分段點單側連續，且在這一側的導函數的極限存在，則可以直接利用該定理.

（2）如果分段函數在分段點連續，且在兩側導數的極限均存在，那么左、右導數都可用該定理的求得.

（3）如果函數在分段點的兩側由同一表達式表示，且在分段點連續，如果存在，則有 f′

[1]華東師范大學數學系.數學分析(上冊)[M].高等教育出版社.2003.

[2]吉米多維奇,費定暉,周學圣.數學分析習題集題解(2)[M].濟南：山東科學技術出版社,1999：58.

[3]同濟大學應用數學系.高等數學(第五版)[M].北京：高等教育出版社,2002：78-82.

[4]袁文俊,鄧小成.極限的求導剝離法則[J].廣州大學學報：自然科學版,2006，(3).

[5]程黃金,陳偉.分段函數求導問題的多種解法[J].中國科技信息,2006，(16).

[6]王大榮,艾素梅.分段函數在分段點處的求導方法芻議[J].滄州師范專科學校校報,2005,21(3).

[7]劉其林,唐亮.一種分段函數分段點的求導方法及注意的問題[J].株洲師范高等專科學校學報,2007,(4).

RESEARCH DERIVATIVE OF PIECEWISE FUNCTION AT THE DEMARCATION

CHEN Pei-shu
(Chaohu University,Chaohu Anhui 238000)

Derivative of piecewise function at the demarcation is an important and difficult problem in higher mathematics.The purpose of this paper is to study the differentiability of piecewise function at the point of demarcation,and we give the corresponding examples.

piecewise function;differential coefficient;continuous function

O172.1 < class="emphasis_bold">文獻標識符：

符：A

1672－2868（2011）03－0124－04

2011-3-6

安徽省2010年高校省級優秀青年人才基金項目（項目編號：2010SQRL129）;巢湖學院科研啟動基金項目，巢湖學院院級重點課程（高等數學）

陳佩樹（1979-），男，安徽來安人。講師，博士,研究方向：隨機網絡

責任編輯：陳 鳳