大學數學學習中的“知其所以然”

謝如龍 戴澤儉 陳侃

（巢湖學院數學系，安徽 巢湖 238000）

大學數學學習中的“知其所以然”

謝如龍 戴澤儉 陳侃

（巢湖學院數學系，安徽 巢湖 238000）

在學習大學數學的過程中，很多學生只知道套用某種方法解決問題或者硬記一些結論，即知其然，但是并不知這種方法的深層次含義，也不知這些結論成立的背景，即并不知其所以然。本文通過幾個例題來說明一些數學方法的深層次含義和某些結論成立的背景。

大學數學學習；知其所以然；方法

很多學生在解決大學數學問題時總是按照固定的模式去套用公式或方法，但并不知這樣做的理由，只知道硬記一些結論，但不知這些定理成立的實際背景，這種學習數學的方法是機械的，致使知識掌握不牢，也不能應用知識靈活解決問題，所以要強調在學習過程中“知其所以然”，不僅要知道如何去解決問題，還要知道這樣處理的理由.不僅要知道定理的結論，還要思考結論成立的實際背景.只有這樣，才能做到融匯貫通，舉一反三，真正的學好大學數學.下面通過幾個不同數學學科的例題來說明一些數學方法的深層次涵義和某些結論成立的實際背景.

例1利用高斯公式計算

不少學生做法如下：

解 由于

所以

于是由高斯公式得

其中V為S所圍成的空間區域.

上述做法是錯誤的，高斯公式的內容如下：

定理1[1]設空間區域V由分片光滑的雙側封閉曲面S圍成，若函數P，Q，R在V上連續，且有一階連續偏導數，則

其中S取外側.

這種做法錯誤的原因是函數P，Q，R在S內部的點 （1，2，3）處無定義且不是可去間斷點，也不在此點連續，故不能直接使用高斯公式.

正確解法如下：

解 在S上r=1，先化簡后再使用高斯公式，得

得B的全部特征值為-2，x，1.

因為相似的矩陣有相同的特征值（包括重數），而A與B相似，故他們的特征值全部相同，于是得x=-2.

事實上，以上的做法是錯誤的，錯誤的原因就是沒有認清到充分條件與必要條件的關系.有相同的特征值只是矩陣相似的必要條件而非充分條件[2].若將x=-2代入B，得對角矩陣.而對A的二重特征值

故A不能對角化，即A不能與對角矩陣B相似，所以x=-2不符合條件，因此本題滿足條件的x不存在.

在解題時，一定要弄清楚充分條件與必要條件的關系，否則就會出現多解或漏解.

很多學生都能寫出sin2z+cos2z=1（z為復數），卻不知為何跟實數域中的結論完全相同，這是因為在《復變函數》中有如下的解析函數的唯一性定理.

定理2[3]設在區域D內解析的函數f1（z），f2（z）在D內的某一子區域（或一小段弧）上相等，則它們在區域D內恒等.

故一切在實軸上成立的恒等式在復平面上同樣成立，只要恒等式的等號兩邊在復平面上都是解析的，這也是很多函數在復數域中的Taylor展式與實數域中的Taylor展式結構相同的原因.

實際上，通過復變函數的學習，我們還知道收斂半徑的另一層涵義.

設f（z）在點a解析，b是f（z）的奇點中距a最近的一個奇點，則的冪級數的收斂半徑.

例5 在《數學分析》中學習的柯西收斂準則在任何情況下都能判斷收斂性嗎？

學生們在學習《數學分析》課程中接觸到了柯西收斂準則，就以為在任何情況下都能用它來判斷收斂性，這是錯誤的理解.在《數學分析》中可以大膽運用柯西收斂準則是因為Rn本身是一個完備度量空間的緣故，在《泛函分析》中，給出了完備度量空間的涵義.

如果度量空間（X，d）中的每個柯西點列都在（X，d）中收斂，則稱（X，d）是完備的度量空間[4].

實際上，收斂點列一定是柯西點列，但柯西點列并不一定是收斂的，只有在完備空間的基礎上兩者才等價，也只有在完備的前提下才會有柯西收斂準則，也有利于理解在《數學分析》中柯西收斂準則是實數的完備性的性質之一，同樣，因為全體復數形成的空間是完備空間，所以也有柯西收斂準則和復數的完備性.

不少學生做法如下：

解 因為

所以收斂半徑R=2.

上述做法的思路來源于下面的定理.

定理3[1]對于冪級數若

則當

（ii） ρ=0時，原冪級數的收斂半徑 R=+∞；

（iii）ρ=+∞時，原冪級數的收斂半徑R=0.

值得一提的是，定理3是對不缺項的冪級數求收斂半徑有效，對于缺項的情況就不能再用這個定理來求解，所以例6按定理3方法來求解是錯誤的，正確的做法如下：

解 由于

例7甲、乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現已知目標被擊中，求它被甲射中的概率.

不少學生有如下解法：

解 令A=｛目標被擊中｝，B｛甲命中目標｝，C=｛乙命中目標｝，于是由貝葉斯公式得

以上解法看起來正確，但實際上，在本題中事件B/C并不構成完備事件組，故不能硬搬貝葉斯公式，正確解法應該是：

通過以上例題的學習，啟發我們要想在數學學習中“知其所以然”，就必須要從兩個方面下功夫，一要勤于思考，平時遇到一個數學問題，不能解答完就丟在一邊，要多問幾個為什么，考慮這種解法的深層次涵義和結論成立的各種條件；二要拓寬數學知識面，很多當時疑惑的問題就會在進一步的學習或者在新的課程的學習中得到解決，并對當初的問題有更深更全面的理解.

[1]華東師范大學數學系.數學分析(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]鐘玉泉.復變函數論(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]程其襄，張奠宙，魏國強，胡善文，王潄石.實變函數與泛函分析基礎(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[5]魏宗舒.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，1983.

TALKING WITH “KNOWING THE REAL REASONS”IN COLLEGE MATHEMATICAL LEARNING

XIE Ru-long DAI Ze-jian CHEN Kan
(Department of Mathematics,Chaohu University,Chaohu Anhui 238000)

In the process of studying college mathematics,many students only know solving problems by simulating some methods or remembering some results,but not know the real meaning of this method and the background of results.In this paper,we interpret the real meaning of some method and the background of results by giving some examples.

college mathematical learning;knowing the real reasons;methods

G420 < class="emphasis_bold">文獻標識符：

符：A

1672－2868（2011）03－0128－04

2010-11-16

巢湖學院院級重點課程（高等數學）；安徽省教研項目（項目編號：2008jyxm438）

謝如龍（1982-），男，安徽懷寧人。講師，碩士，研究方向：調和分析

責任編輯：陳 鳳