頻譜概念的建立及其教學法探討

張玉山 劉純利

（安徽科技學院，安徽 鳳陽 233100）

頻譜概念的建立及其教學法探討

張玉山 劉純利

（安徽科技學院，安徽 鳳陽 233100）

頻譜分析是信號與系統課程中基本理論，在通信學、控制學、測試學等學科都具有重要地位。本文提出一種頻譜分析的概念建立的教學方法，該方法利用前修課程如電路分析、電子技術等課程的相關知識，結合具體電路與信號循序漸進地給出頻譜及頻譜分析的物理意義，然后再給出頻譜分析的數學方法。本方法可以讓學生更深刻地認識頻譜的物理意義，亦在教學中取得了較好的效果。

頻譜分析；教學方法；信號與系統

信號與系統是電子信息、通信工程、自動控制類專業的一門十分重要的專業基礎課程。是數字信號處理、通信原理、自動控制原理等課程的必須的前修課程。本課程主要研究信號與線性系統的基本理論以及基本分析方法。初步認識如何建立信號與系統的數學模型，經適當的數學分析求解，對所求的結果給以物理解釋、賦予物理意義[1]。

在信號與系統中，信號頻譜分析這一章節又是重中之重。尤其對于通信類專業而言。因為通信中各種信號的頻譜分析是分析信號變化的最基本的分析手段。如果學生不能很好地理解信號頻譜的概念，對后續相關課程的學習的影響是巨大而深遠的。頻譜的概念之所以難講，是因為一方面頻譜的概念相對比較抽象的，計算公式比較復雜；另一重要因素是學生對用時間來描述信號的特征這一固定思維模式，會認為描述信號就是將信號描述為隨時間變化的函數，而不能很好理解信號的本質屬性也可以用頻率來進行描述。

基于上述原因，在教學過程中絕對不能通過數學公式來強制灌輸信號頻譜的概念，因為這樣學生只是記住了一個公式而已，并沒有理解其本質，這會讓學生困惑，進而影響其學習的興趣。本人在近年來的教學實踐中總結出一種較好的教學方法，此方法按如下四步進行。

1 由電路分析知識引出幅頻特性的概念

首先給學生展示圖1和圖2所示兩張電路圖，這是簡單的RC電路。

圖1

圖2

以電路圖1為例，當輸入信號為單頻正弦信號時輸出響應的幅值與輸入正弦信號幅值之間有著特定的關系。根據電路理論知識，可以得到如下關系式：

據根公式1，易知正弦信號角頻率越大，輸出正弦信號幅值越小，反之，輸出正弦信號幅值越大。輸出信號的幅值因輸入信號頻率變化而變，即輸出信號的幅值是信號頻率的函數。

為了分析的結論更具有一般性（輸入正弦信號幅值為任意值），現在不妨以頻率f=ω/2π為橫坐標，并定義輸出信號與輸入信號的幅值之比為縱坐標，根據上面的分析可作出關系曲線圖如圖3所示：

圖3

圖4

通過圖3可以很直觀地看出輸出信號幅度與頻率之間的變化關系。我們把這種關系稱之為系統的幅頻特性。同理也可以得到圖2所示電路的幅頻特性如圖4所示。

2 由幅頻特性引出濾波器的概念

由圖3和圖4幅頻特性圖，可以看出當頻率較小時，因為輸入信號的幅值是一定的，A值大則輸出信號幅度大，表明信號可以很好地通過系統；但頻率較大時，輸出信號幅度小，信號則被系統所抑制。這種可以讓特定頻率通過，而抑制其它頻率信號通過的器件，稱之為濾波器。具有類似圖1電路可以讓低頻信號通過而抑制高頻信號的幅頻特性的濾波器，稱之為低通濾波器。具有類似圖2電路可以讓高頻信號通過而抑制低頻信號的幅頻特性的濾波器，稱之為高通濾波器。同理根據頻率截止特性的不同，還可得到帶通以及帶阻兩種濾波器。

為了便于從數學模型的角度分析問題，不妨把濾波器的特性理想化，即具有如圖5和圖6所示的幅頻特性，這樣便得到了相應的理想濾波器。

圖5

圖6

在這里，我們很自然地引出了濾波器的概念，為下面進一步引出頻譜的概念作好鋪墊。

3 由方波通過特定濾波器引出頻譜的概念

為了引出頻譜的概念，我們把上面的問題拓展一下：如果是任意的周期信號（比如方波）通過理想的濾波器后又會出現什么現象呢？

為了分析問題的方便，不妨通過采用1KHz方波通過不同特性的帶通濾波器為例解釋以上問題。為了使學生更易理解，可以選用運放構成有源帶通濾波器，仿真軟件使用界面直觀，測試儀器豐富，易于上手的multisim8。構成的帶通濾波器如圖7所示[2]。該濾波器為多路負反饋二階有源帶通濾波器，它使用單個通用運算放大器（通用運放）接成單電源供電模式，易于實現。它的上限截止頻率和下限截止頻率可以非常近，具有很好的頻率選擇性。該濾波器中心頻率fc=品質因數，帶寬其中可以適當地設置 R1，R2，R3，C1，C2這幾個元件的參數使濾波器的頻率截止特性滿足要求。

根據計算可得到中心頻率為1KHz，帶寬為100Hz時電路各元件參數如圖7所示：圖8為圖7通過交流小信號分析得到的該濾波器的幅頻特性（幅度的單位為dB）：

圖7

從圖7中可以看出當1KHz方波 （見函數信號發生器）通過該帶通濾波器后輸出信號的波形是正弦波（見示波器），其頻率為1KHz（見頻率計）。

依次類推，可以通過計算改變元件的參數使得該濾波器的中心頻率分別為 2KHz，3KHz，4KHz，5KHz……，重復以上實驗。結果是當濾波器中心頻率為2，4，6等偶數千Hz時，其輸出幅度很小（因為截止特性不可能理想）甚至可以忽略；而當濾波器中心頻率為1，3，5等奇數千Hz時，其輸出為幅度較大的正弦波，而且隨著中心頻率的增大，輸出信號的幅度逐漸減小。

此時向學生啟發性地提出問題：方波通過濾波器后為什么會出現上述現象？這是因為方波中包含有多個不同頻率的正弦分量，這些頻率分量有大有小，方波通過濾波器時，在濾波器通頻帶內的頻率分量可以通過，而帶外分量則被抑制，故而出現上述現象。

4 給出信號頻譜的數學分析方法及其意義[3]

至此，大部分同學都能明白方波中包含了各種不同的頻率分量。那如何知道方波中包含了哪些頻率成分以及各頻率信號的大小呢？這就需要借助于數學分析方法，對于周期性信號可以通過傅立葉級數展開式來分析其中包含的頻率分量以及各頻率信號的大小。那么在這里就可以很自然地引出利用傅立葉級數展開式來分析周期信號的頻譜。

為了讓學生更好地理解傅立葉級數展開式，有兩個問題應該向學生交待清楚：

4.1 為什么周期信號可以用不同頻率的正弦波相疊加的形式表示；

4.2 為什么傅立葉級數采用正弦波作為基函數？

前一個問題可以通過數學中信號空間以及完備正交函數集的概念進行解釋。對于周期函數而言，三角函數集是完備的正交函數集。而第二個問題是因為正弦信號所獨有的高保真度，即正弦信號作相加（同頻）、微分或積分運算后得到的仍然是同頻正弦信號。這個特性使得正弦信號通過線性系統后，輸出信號仍是正弦信號，只是幅度和相位可能發生變化。所以采用正弦波作為傅立葉級數的基函數。

在學生掌握了傅立葉級數展開式之后，再通過正弦諧波合成方波的例子給學生建立相頻特性重要性就比較容易了。這樣學生就可以在頭腦中建立一個深刻的、完整的頻譜分析的概念。

5 總結

本教學方法首先借助于《電路分析》課程中中正弦穩態分析相關知識因勢利導給學生建立幅頻特性的概念，然后引出濾波器的概念，并由方波通過帶通濾波器的例子給學生初步建立頻譜的概念，讓學生理解頻譜是什么，有什么作用，最后再給出給出求解信號頻譜的公式，讓學生知道怎么通過數學方法來求解信號的頻譜。這種方法突出了承上啟下、循序漸進的教學理念，在實際的教學過程中亦取得了較好的教學效果。

[1]張培玲.信號與系統課程教學改革初探[J].機械管理開發.2009,24（4）.

[2]康華光.電子技術基礎-模擬部分(第五版)[M].高等教育出版社.2010.

[3]袁建華.《信號與系統》中傅立葉級數的教學探討[J].中國科教創新導刊.2009，（31）.

PROBE INTO TEACHING METHODS OF ESTABLISHING SPECTRUM CONCEPT

ZHANG Yu-shan LIU Chun-li
(Anhui Science and Technology University,Fengyang Anhui 233100)

Spectrum analyzing is basic theory of the course of signal and systems.It plays an important role in communications,cybernetics and metrology.This article proposes a teaching method of establishing spectrum analyzing concept.This method utilizes the related knowledge of the former courses,such as circuit analysis and electronic technology,gives physical significance of spectrum step by step through physical circuit or signal,and finally gives the mathematical method for analyzing spectrum.This method can help students to realize physical interpretation of spectrum profoundly,also gets results in teaching.

Spectrum analyzing;teaching method;signals and systems

A

1672－2868（2011）03－0135－04

2011-3-29

安徽科技學院重點教研項目（項目編號：X201008）

張玉山（1981-），男，江蘇鹽城人。安徽科技學院工學院教師，研究方向：信號處理

責任編輯：陳 鳳